Velocità del baricentro. Esercizio.
In un piano verticale una lamina $ABC$, a forma di triangolo rettangolo di cateti $a$, $b$, ha il cateto maggiore vincolato a scorrere su una guida orizzontale liscia (asse $x$ in figura). Un'asta $CD$, di lunghezza $b$, ha un estremo incernierato al vertice superiore della lamina e l'altro estremo vincolato all'asse delle $y$ tramite un carrello. Determinare, in funzione di $theta$ e $dot(theta)$, la velocità di $D$ e del baricentro dell'asta.
Vorrei chiedervi per favore qualche consiglio su come iniziare a risolverlo.
Vorrei chiedervi per favore qualche consiglio su come iniziare a risolverlo.
Risposte
Trova il punto K, CIR del sistema, in funzione di $\theta$.
La velocita del baricentro X e', come al solito, $\vec{v_C}=\dot\thetatimes\vec{(X-K)}$
La velocita del baricentro X e', come al solito, $\vec{v_C}=\dot\thetatimes\vec{(X-K)}$
Sto cercando di trovare graficamente il punto K che poi è il CIR, ma non ci sto proprio riuscendo.....
Insomma, se il punto D può scorrere solo lungo l'asse delle $y$, vorrà dire che la perpendicolare ad $y$ è una parallela dell'asse delle $x$, mentre se voglio la velocità del baricentro dell'asta, come la devo pensare?
Penso che il baricentro dell'asta sia per definizione in $b/2$, e se così è allora devo pensare ad un movimento rotativo dell'asta intorno al punto C, ma non so se sono sulla giusta via risolutiva?
Ho fatto un disegno del sistema ed ho pensato che il punto K è in questo punto:
Cosa ne dite?
Se cosi fosse, potrei pensare a due possibili velocità, cioè alla velocità in $y$ del punto D che è:
$v_D = dot(y) j$
ed alla velocità del punto che si trova ad $l/2$ che sarà:
$v_(l/2) = v_C + omega xx (l/2 - C)$
Ho visto che la formula consigliata è la seguente:
ma io sinceramente non riesco a giustificarla perchè sicuramente stò pensando male al movimento del sistema.
Professorkappa, come hai pensato questa formula?
Dove sto sbagliando io?
Help!
Insomma, se il punto D può scorrere solo lungo l'asse delle $y$, vorrà dire che la perpendicolare ad $y$ è una parallela dell'asse delle $x$, mentre se voglio la velocità del baricentro dell'asta, come la devo pensare?
Penso che il baricentro dell'asta sia per definizione in $b/2$, e se così è allora devo pensare ad un movimento rotativo dell'asta intorno al punto C, ma non so se sono sulla giusta via risolutiva?
Ho fatto un disegno del sistema ed ho pensato che il punto K è in questo punto:
Cosa ne dite?
Se cosi fosse, potrei pensare a due possibili velocità, cioè alla velocità in $y$ del punto D che è:
$v_D = dot(y) j$
ed alla velocità del punto che si trova ad $l/2$ che sarà:
$v_(l/2) = v_C + omega xx (l/2 - C)$
Ho visto che la formula consigliata è la seguente:
La velocita del baricentro X e', come al solito, $\vec{v_C}=\dot\thetatimes\vec{(X-K)}$
ma io sinceramente non riesco a giustificarla perchè sicuramente stò pensando male al movimento del sistema.
Professorkappa, come hai pensato questa formula?
Dove sto sbagliando io?
Help!
"Antonio_80":
Sto cercando di trovare graficamente il punto K che poi è il CIR, ma non ci sto proprio riuscendo.....
Insomma, se il punto D può scorrere solo lungo l'asse delle $y$, vorrà dire che la perpendicolare ad $y$ è una parallela dell'asse delle $x$,
Fino a qui e' corretto. Per trovare il CIR devi trovare un altro punto la cui velocita' e' nota in direzione. Ovviamente non puo' essere il baricentro, dal momento che e' proprio quello che ti stanno chiedendo di ricavare.
"Antonio_80":.
Penso che il baricentro dell'asta sia per definizione in $b/2$, e se così è allora devo pensare ad un movimento rotativo dell'asta intorno al punto C, ma non so se sono sulla giusta via risolutiva?
No, il movimento e' rotativo puro intorno al CIR perche il CIR per definizione ha velocita' nulla (e' per quello che si usa quello, perche semplifica, vedi dopo). Rispetto agli altri punti del sistema non puoi assumere che il movimento sia rotativo
"Antonio_80":
Ho visto che la formula consigliata è la seguente:
La velocita del baricentro X e', come al solito, $\vec{v_C}=\dot\thetatimes\vec{(X-K)}$
ma io sinceramente non riesco a giustificarla perchè sicuramente stò pensando male al movimento del sistema.
Professorkappa, come hai pensato questa formula?
Perl'appunto, il CIR ha velocita nulla (istante per istante). Pertanto TUTTI i punti dell'asta (incluso il baricentro), ruotano intorno al CIR di moto circolare. Quindi la velocita' del baricentro C e' descritta da quella formuletta che altro non e' che la formula, in forma vettoriale, di un punto che ruota attorno al CIR.
Vai, riprova, trova il CIR per prima cosa.
Allora, pensando ancora e leggendo quello che mi hai scritto nell'ultimo messaggio, vedendo il disegno che ho fatto, noto che le due velocità traslative che si hanno sono lungo l'asse delle $y$ e quindi $v_D = dot(y) j$ mentre la velocità lungo l'asse delle $x$ è dato dalla $v_A= dot(x) i$, in effetti se l'asta assume dei movimenti, si hanno due movimenti traslatori, quindi il CIR è quello che si vede nella figura con la lettera K e che si trova all'intersezione delle linee tratteggiate che ho evidenziato:
Cosa ne dici?
Cosa ne dici?
Oh, perfetto, ora ci siamo.
Quello e' il CIR. Ora scrivine le coordinate IN FUNZIONE del paramtero che ti da il problema (l'angolo).
Una volta che hai le coordinate, il segmento CB e' individuato (B e' il baricentro dell'asta).
Quindi con pochi passaggi matematici puoi arrivare a $v_b= \dot\thetatimesvec{KB}$.
Vai, vediamo se ci arrivi senza ulteriori consigli dalla regia
Quello e' il CIR. Ora scrivine le coordinate IN FUNZIONE del paramtero che ti da il problema (l'angolo).
Una volta che hai le coordinate, il segmento CB e' individuato (B e' il baricentro dell'asta).
Quindi con pochi passaggi matematici puoi arrivare a $v_b= \dot\thetatimesvec{KB}$.
Vai, vediamo se ci arrivi senza ulteriori consigli dalla regia
Le coordinate del punto K penso si possano esprimere in questo modo:
$y_K = y_D = (y_C + l sen theta) j$
$x_K = x_A = (l cos theta) i$
va bene?
Professorkappa, scusami ma non sto capendo bene quando dici che una volta trovato le coordinate si ha $CB$ è individuato e che $B$ è il baricentro dell'asta! Ma se $B$ è un'angolo del triangolo rettangolo e che si vede nel disegno corrispondere ad un vincolo di appoggio, cosa centra con quello che hai detto tu?
In attesa di capire quello che hai detto, hai scritto la formula della velocità , considerando il fatto che secondo me la velocità dell'asta $v_b$ deve essere uguale a qualsiasi altro punto del sistema, in quanto il sistema ha dei legami che lo vincolano, quindi $v_b = v_C $, dico questo perchè cerco di ricostruire il fatto che hai scritto due formule e penso che volevi dire che
$\vec{v_C}=\dot\thetatimes\vec{(X-K)} = v_b= \dot\thetatimesvec{KB} $, scusami, ma perchè hai scritto due formule apparentemente diverse? Altra domanda che adesso mi faccio, dove si trova il baricentro dell'asta $CD$
Prima ho detto che il baricentro di $CD$ si trova ad $l/2$.
Sto cominciando a fare confusione!
Puoi aiutarmi a capire quello che vuoi dire?
$y_K = y_D = (y_C + l sen theta) j$
$x_K = x_A = (l cos theta) i$
va bene?
Professorkappa, scusami ma non sto capendo bene quando dici che una volta trovato le coordinate si ha $CB$ è individuato e che $B$ è il baricentro dell'asta! Ma se $B$ è un'angolo del triangolo rettangolo e che si vede nel disegno corrispondere ad un vincolo di appoggio, cosa centra con quello che hai detto tu?
In attesa di capire quello che hai detto, hai scritto la formula della velocità , considerando il fatto che secondo me la velocità dell'asta $v_b$ deve essere uguale a qualsiasi altro punto del sistema, in quanto il sistema ha dei legami che lo vincolano, quindi $v_b = v_C $, dico questo perchè cerco di ricostruire il fatto che hai scritto due formule e penso che volevi dire che
$\vec{v_C}=\dot\thetatimes\vec{(X-K)} = v_b= \dot\thetatimesvec{KB} $, scusami, ma perchè hai scritto due formule apparentemente diverse? Altra domanda che adesso mi faccio, dove si trova il baricentro dell'asta $CD$
Prima ho detto che il baricentro di $CD$ si trova ad $l/2$.Sto cominciando a fare confusione!
Puoi aiutarmi a capire quello che vuoi dire?
Si, il problema e' che mi son dimenticato che A, B e C le usa per il triangolo. Vado anche a memoria per non riprendere ogni volta dall'inizio, quindi volte mi dimentico i dettagli, ma la sostanza non cambia:
Detti K e P due punti generici in un sistema, la velocita di P si puo sempre scrivere come:
$\vec{v_P}=\vec{v_K}+\dot\theta\vec{k}times\vec{KP}$
Ora, se K e' il CIR, per definizione di CIR, $\vec{v_K}=0$
Quindi per trovare la velocita del baricentro P,
(1) individui le coordinate di P in funzione del parametro (esattamente come hai fatto con K sopra),
(2) Scrivi il vettore $\vec{KP}$
(3) Calcoli il vettore $\dot\theta\vec{k}times\vec{KP}$
e trovi $\vec{v_P}=\dot\theta\vec{k}times\vec{KP}$.
Il motivo per cui usi il CIR e' quello: la sua velocita e' nulla, quindi ti risparmia il calcolo della velocita di un punto.
Ma potresti risolvere l'esercizio rispetto a uno qualsiasi dei punti A, B, C del triangolo, non cambierebbe nulla, a patto di tenere a mente che le velocita' di A, B e c non sono nulle e quindi non ti si annulla il primo termine a secondo membro dell'equazione.
Per esempio, per il punto D, rispetto al CIR, deve valere:
$\vec{v_D}=\dot\theta\vec{k}times\vec{KD}$
KD e' orizzontale (lo vedi in figura). $\dot\theta\vec{k}$ e' un vettore ortogonale al piano del foglio. Quindi il prodotto vettoriale (e quindi $\vec{v_D}$) e' un vettore verticale. Infatti D si muove lungo l'asse verticale.
Detti K e P due punti generici in un sistema, la velocita di P si puo sempre scrivere come:
$\vec{v_P}=\vec{v_K}+\dot\theta\vec{k}times\vec{KP}$
Ora, se K e' il CIR, per definizione di CIR, $\vec{v_K}=0$
Quindi per trovare la velocita del baricentro P,
(1) individui le coordinate di P in funzione del parametro (esattamente come hai fatto con K sopra),
(2) Scrivi il vettore $\vec{KP}$
(3) Calcoli il vettore $\dot\theta\vec{k}times\vec{KP}$
e trovi $\vec{v_P}=\dot\theta\vec{k}times\vec{KP}$.
Il motivo per cui usi il CIR e' quello: la sua velocita e' nulla, quindi ti risparmia il calcolo della velocita di un punto.
Ma potresti risolvere l'esercizio rispetto a uno qualsiasi dei punti A, B, C del triangolo, non cambierebbe nulla, a patto di tenere a mente che le velocita' di A, B e c non sono nulle e quindi non ti si annulla il primo termine a secondo membro dell'equazione.
Per esempio, per il punto D, rispetto al CIR, deve valere:
$\vec{v_D}=\dot\theta\vec{k}times\vec{KD}$
KD e' orizzontale (lo vedi in figura). $\dot\theta\vec{k}$ e' un vettore ortogonale al piano del foglio. Quindi il prodotto vettoriale (e quindi $\vec{v_D}$) e' un vettore verticale. Infatti D si muove lungo l'asse verticale.
Ti ringrazio professorkappa, adesso è tutto chiaro!
Allora continuo con i calcoli che giustamente hai richiamato nel tuo ultimo messaggio con 1), 2) e 3), prendendo in considerazione il punto $b/2$ come baricentro e quindi il vettore $vec(K(b/(2))$, correggimi se sbaglio.
$y_K = y_D = (y_C + l sen theta) j$
$x_K = x_A = (l cos theta) i$
Se devo calcolare la velocità, allora considero la seguente:
$v_(b a r) = dot(theta) xx vec(K(b/2))$
Adesso scrivo le coordinate del baricentro $b$, considerando il seguente disegno dove si nota che la proiezione del baricentro sulla $x$ che si trova a $b/2$ è proprio $((b')/2)$ e dove considero la proiezione sull'asse delle $y$ la $((b'')/2)$:
Chiamo $b/2 = b a r$ che sta a baricentro ed ho che:
$b a r_x = ((b')/2 cos theta) i$ (coordinata in $x$)
$b a r_y = ((b'')/2 sen theta) j$ (coordinata in $y$)
Ecco quindi la formula della velocità che stiamo cercando:
$v_(b a r) = dot(theta) xx vec(K(b/2))$
$v_(b a r) = dot(theta) xx [(lcos theta i + (y_C + l sen theta)j) - ((b')/2 cos theta i + (b'')/2 sen thetaj)]$
Prima di compattare la formula, desidererei avere una conferma se quello che ho scritto fino ad adesso è tutto corretto?
Allora continuo con i calcoli che giustamente hai richiamato nel tuo ultimo messaggio con 1), 2) e 3), prendendo in considerazione il punto $b/2$ come baricentro e quindi il vettore $vec(K(b/(2))$, correggimi se sbaglio.
$y_K = y_D = (y_C + l sen theta) j$
$x_K = x_A = (l cos theta) i$
Se devo calcolare la velocità, allora considero la seguente:
$v_(b a r) = dot(theta) xx vec(K(b/2))$
Adesso scrivo le coordinate del baricentro $b$, considerando il seguente disegno dove si nota che la proiezione del baricentro sulla $x$ che si trova a $b/2$ è proprio $((b')/2)$ e dove considero la proiezione sull'asse delle $y$ la $((b'')/2)$:
Chiamo $b/2 = b a r$ che sta a baricentro ed ho che:
$b a r_x = ((b')/2 cos theta) i$ (coordinata in $x$)
$b a r_y = ((b'')/2 sen theta) j$ (coordinata in $y$)
Ecco quindi la formula della velocità che stiamo cercando:
$v_(b a r) = dot(theta) xx vec(K(b/2))$
$v_(b a r) = dot(theta) xx [(lcos theta i + (y_C + l sen theta)j) - ((b')/2 cos theta i + (b'')/2 sen thetaj)]$
Prima di compattare la formula, desidererei avere una conferma se quello che ho scritto fino ad adesso è tutto corretto?
Non esattamente.
Vorrei che scrivessi le coordinate del baricentro b (chiamiamole $x_b$ e $y_b$) in funzione di $\theta$, parametro.
La $x_b$ l'hai scritta corretta ($x_b=b/2cos\theta$)
Ma la $y_b$ non e corretta.
Poi cosa sono $b'$ e $b''$???
infine, $v_b=\dot\theta times vec{k(b/2)}$ mi sembra poco corretta formalmente (anche se poi nell'ultima formula l'hai scritta formalmente "giusta", se non fosse che hai sbagliato $y_b$).
Vorrei che scrivessi le coordinate del baricentro b (chiamiamole $x_b$ e $y_b$) in funzione di $\theta$, parametro.
La $x_b$ l'hai scritta corretta ($x_b=b/2cos\theta$)
Ma la $y_b$ non e corretta.
Poi cosa sono $b'$ e $b''$???
infine, $v_b=\dot\theta times vec{k(b/2)}$ mi sembra poco corretta formalmente (anche se poi nell'ultima formula l'hai scritta formalmente "giusta", se non fosse che hai sbagliato $y_b$).
Penso di aver capito dove ho sbagliato a scrivere la coordinata $y_b$, dammi conferma se adesso scrivo bene.
Sapendo che $(C - O) = y_C$, avrò che:
$P_y = (y_C + b/2 sen theta) j$
$P_x = (b/2 cos theta) i$
Adesso riscrivo tutto in modo corretto ringraziandoti per le correzioni che mi hai fatto
Chiamo $P$ il baricentro.
$y_K = y_D = (y_C + l sen theta) j$
$x_K = x_A = (l cos theta) i$
Dunque $b/2 = P$ che sta a baricentro ed ho che:
$P_x = (b/2 cos theta) i$ (coordinata in $x$)
$P_y = (y_C + b/2 sen theta) j$ (coordinata in $y$)
Ecco quindi la formula della velocità che stiamo cercando:
$v_P = dot(theta) xx vec(KP)$
$v_P = dot(theta) xx [(lcos theta i + (y_C + l sen theta)j) - (b/2 cos theta i + (y_C + b/2 sen theta) j)]$
Dammi conferma e poi compatto la formula.
Sapendo che $(C - O) = y_C$, avrò che:
$P_y = (y_C + b/2 sen theta) j$
$P_x = (b/2 cos theta) i$
Adesso riscrivo tutto in modo corretto ringraziandoti per le correzioni che mi hai fatto
Chiamo $P$ il baricentro.
$y_K = y_D = (y_C + l sen theta) j$
$x_K = x_A = (l cos theta) i$
Dunque $b/2 = P$ che sta a baricentro ed ho che:
$P_x = (b/2 cos theta) i$ (coordinata in $x$)
$P_y = (y_C + b/2 sen theta) j$ (coordinata in $y$)
Ecco quindi la formula della velocità che stiamo cercando:
$v_P = dot(theta) xx vec(KP)$
$v_P = dot(theta) xx [(lcos theta i + (y_C + l sen theta)j) - (b/2 cos theta i + (y_C + b/2 sen theta) j)]$
Dammi conferma e poi compatto la formula.
Molto meglio, pero' l'ultima formula e' leggermente sbagliata: hai scritto $\dot\thetatimes\vec{PK}$,mentre dovrebbe essere $\dot\thetatimes\vec{KP}$
In altri termini, $\vec{KP}$ che e' quello giusto da usare e' quello che, partendo da K "ha la punta" in P. Questo vettore si ottiene per differenza delle coordinate $[(x_b,y_b)-(x_k,y_k)]$ altrimenti ti viene un valore $v_P$ giusto in modulo, ma sbagliato in segno.
Un ultimo appuntino: non e' corretto, formalmente, scrivere $b/2=P$. So cosa intendi, ma $b/2$ e' una lunghezza (meta sbarra), mentre P ' il punto di coordinate $(x_P,y_P)$. Sono due oggetti completamente diversi.
In altri termini, $\vec{KP}$ che e' quello giusto da usare e' quello che, partendo da K "ha la punta" in P. Questo vettore si ottiene per differenza delle coordinate $[(x_b,y_b)-(x_k,y_k)]$ altrimenti ti viene un valore $v_P$ giusto in modulo, ma sbagliato in segno.
Un ultimo appuntino: non e' corretto, formalmente, scrivere $b/2=P$. So cosa intendi, ma $b/2$ e' una lunghezza (meta sbarra), mentre P ' il punto di coordinate $(x_P,y_P)$. Sono due oggetti completamente diversi.
E io ti ringrazio per le dritte datomi.
Adesso ho capito il senso di tutti i passaggi.
Adesso ho capito il senso di tutti i passaggi.
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