Velocità degli animali piccoli e animali grandi - SNS 1987
"Su un terreno pianeggiante la velocità $v$ di un quadrupede non troppo piccolo (lepre) e non troppo grande (cavallo) è approssimativamente indipendente dalla dimensione $L$ dell'animale, mentre su una salita ripida la velocità è circa proporzionale a $L^(-1)$ (le lepri non rallentano, i cavalli sì). Si giustifichi questa osservazione sulla base delle seguenti ipotesi.
(i) Un quadrupede può essere approssimativamente caratterizzato da una sola lunghezza $L$ e la sua densità media è circa indipendente da $L$.
(ii) La stessa frazione $x$ della potenza sviluppata da ogni quadrupede va dissipata sotto forma di calore
(iii) Su una salita ripida, la potenza occorrente per vincere la resistenza dell'aria è trascurabile rispetto a quella occorrente a salire"
Innanzitutto, cerco di tradurre le 3 ipotesi che ho:
1) Dire questo credo che significhi dire che posso calcolare la massa del quadrupede come $m= d * L$, con $d$ la densità media ed $L$ l'unica lunghezza che caratterizza il quadrupede
2) La seconda ipotesi si tramuta nel dire che, detta $P$ la potenza totale che sviluppa un quadrupede e $P_e$ quella effettiva, si ha: $P_e=P-x$
3) Nel calcolo delle forze del quadrupede in salita non devo considerare la forza d'attrito dell'aria.
Quindi sul quadrupede che viaggia in salita (supponiamo una salita di angolo $alpha$), lungo la direzione della sua velocità $v$ agiscono due forze: una componente della forza peso e la forza data dalla potenza sviluppata dal quadrupede. La loro risultante è zero poiché il quadrupede viaggia di velocità $v$ costante.
$(P-x)/v = d*L senalpha$
da cui la tesi $v=(P-x)/(d*senalpha)*L^(-1)$
E' giusto?
Grazie mille.
(i) Un quadrupede può essere approssimativamente caratterizzato da una sola lunghezza $L$ e la sua densità media è circa indipendente da $L$.
(ii) La stessa frazione $x$ della potenza sviluppata da ogni quadrupede va dissipata sotto forma di calore
(iii) Su una salita ripida, la potenza occorrente per vincere la resistenza dell'aria è trascurabile rispetto a quella occorrente a salire"
Innanzitutto, cerco di tradurre le 3 ipotesi che ho:
1) Dire questo credo che significhi dire che posso calcolare la massa del quadrupede come $m= d * L$, con $d$ la densità media ed $L$ l'unica lunghezza che caratterizza il quadrupede
2) La seconda ipotesi si tramuta nel dire che, detta $P$ la potenza totale che sviluppa un quadrupede e $P_e$ quella effettiva, si ha: $P_e=P-x$
3) Nel calcolo delle forze del quadrupede in salita non devo considerare la forza d'attrito dell'aria.
Quindi sul quadrupede che viaggia in salita (supponiamo una salita di angolo $alpha$), lungo la direzione della sua velocità $v$ agiscono due forze: una componente della forza peso e la forza data dalla potenza sviluppata dal quadrupede. La loro risultante è zero poiché il quadrupede viaggia di velocità $v$ costante.
$(P-x)/v = d*L senalpha$
da cui la tesi $v=(P-x)/(d*senalpha)*L^(-1)$
E' giusto?
Grazie mille.
Risposte
Se posso dire una banalità:
in pianura la forza che si oppone non dipende dal peso dell'animale, in salita sì. Per questo i ciclisti leggeri vincono le tappe di salita, mentre quelli muscolosi le tappe di pianura.
in pianura la forza che si oppone non dipende dal peso dell'animale, in salita sì. Per questo i ciclisti leggeri vincono le tappe di salita, mentre quelli muscolosi le tappe di pianura.
@elios
Trovo parecchi punti deboli nel tuo ragionamento.
1. Poiché si dice che la "frazione" di potenza dissipata nei due casi è la stessa e la si chiama x, la potenza efficace è $P_e=P(1-x)$ e non P-x.
2. Poiché si dice che l'unico parametro per identificare l'animale è la sua lunghezza L, si sottintende che le altre dimensioni dell'animale sono proporzionali a L secondo una costante di proporzionalità unica. Per cui il volume dell'animale di qualunque dimensione può essere scritto $V=kL^3$, con k costante universale valida per tutti gli animali grandi e piccoli. Poiché la densità è il rapporto tra massa e volume non puoi scrivere m=dL, non ci sta neanche dimensionalmente, devi invece scrivere $m=kdL^3$
3. La potenza è la forza per la velocità, dunque la formula corretta è $P_e=mgvsin\alpha$, nella tua formula manca la gravità.
4. Nella tua formula finale sembra che la velocità dipenda da $L^(-1)$ a pari potenza efficace, cosa che non tiene conto del fatto che la potenza della lepre non può essere la stessa di quella del cavallo!
Ti consiglio dunque di rivedere il tutto.
Ciao
Trovo parecchi punti deboli nel tuo ragionamento.
1. Poiché si dice che la "frazione" di potenza dissipata nei due casi è la stessa e la si chiama x, la potenza efficace è $P_e=P(1-x)$ e non P-x.
2. Poiché si dice che l'unico parametro per identificare l'animale è la sua lunghezza L, si sottintende che le altre dimensioni dell'animale sono proporzionali a L secondo una costante di proporzionalità unica. Per cui il volume dell'animale di qualunque dimensione può essere scritto $V=kL^3$, con k costante universale valida per tutti gli animali grandi e piccoli. Poiché la densità è il rapporto tra massa e volume non puoi scrivere m=dL, non ci sta neanche dimensionalmente, devi invece scrivere $m=kdL^3$
3. La potenza è la forza per la velocità, dunque la formula corretta è $P_e=mgvsin\alpha$, nella tua formula manca la gravità.
4. Nella tua formula finale sembra che la velocità dipenda da $L^(-1)$ a pari potenza efficace, cosa che non tiene conto del fatto che la potenza della lepre non può essere la stessa di quella del cavallo!
Ti consiglio dunque di rivedere il tutto.
Ciao
V. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, p. 51-52. Purtroppo p. 51 non è visualizzabile nell'anteprima Google Books, ma l'edizione italiana del libro la trovi in molte biblioteche.
"Falco5x":
3. La potenza è la forza per la velocità, dunque la formula corretta è $P_e=mgvsin\alpha$, nella tua formula manca la gravità.
Io ho considerato che la forza sviluppata dall'animale sia quella che si può scrivere in funzione della potenza, la quale forza deve bilanciare la forza peso dell'animale (non capisco perché tu scrivi la potenza in funzione della forza peso..). Per questo ho considerato che la forza verso "l'alto" della salita sia quella data dalla "spinta" dell'animale, e cioè
$F=P_e/v=P(1-x)/v$ (ho applicato la tua correzione sulla frazione $x$)
e invece la forza verso il "basso", ma sempre lungo la direzione della velocità, è la componente della forza peso:
$P_x=mgsinalpha$
E poi ho posto queste due forze uguali in modulo, dovendo essere bilanciate:
$P(1-x)/v=mgsinalpha$, che, seguendo le tue correzioni viene
$P(1-x)/v=kdL^3gsinalpha$
cioè $v=P(1-x)/(kdgsinalpha)*1/(L^3)$
A questo punto posso usare la tua osservazione (le altre dimensioni dell'animale sono proporzionali a $L$) per giustificare la proporzionalità rispetto a $L^(-3)$ invece che a $L^(-1)$?
Hai capito in che modo ho considerato la gravità? Pensi che sia sbagliato?
"elios":
[quote="Falco5x"] 3. La potenza è la forza per la velocità, dunque la formula corretta è $P_e=mgvsin\alpha$, nella tua formula manca la gravità.
Io ho considerato che la forza sviluppata dall'animale sia quella che si può scrivere in funzione della potenza, la quale forza deve bilanciare la forza peso dell'animale (non capisco perché tu scrivi la potenza in funzione della forza peso..). Per questo ho considerato che la forza verso "l'alto" della salita sia quella data dalla "spinta" dell'animale, e cioè
$F=P_e/v=P(1-x)/v$ (ho applicato la tua correzione sulla frazione $x$)
e invece la forza verso il "basso", ma sempre lungo la direzione della velocità, è la componente della forza peso:
$P_x=mgsinalpha$
E poi ho posto queste due forze uguali in modulo, dovendo essere bilanciate:
$P(1-x)/v=mgsinalpha$, che, seguendo le tue correzioni viene
$P(1-x)/v=kdL^3gsinalpha$
cioè $v=P(1-x)/(kdgsinalpha)*1/(L^3)$
A questo punto posso usare la tua osservazione (le altre dimensioni dell'animale sono proporzionali a $L$) per giustificare la proporzionalità rispetto a $L^(-3)$ invece che a $L^(-1)$?
Hai capito in che modo ho considerato la gravità? Pensi che sia sbagliato?[/quote]
Riguardo alla gravità va tutto bene, ti volevo solo far osservare che nelle tue formule originarie avevi dimenticato il $g$!!!
La tua ultima conclusione però è sbagliata nel senso che P non è una costante per tutti gli animali (il cavallo non ha mica la stessa potenza della lepre!), per cui anche P va considerato funzione di L facendo alcune considerazioni (io non ho in mano la soluzione del problema per cui posso solo immaginare come la P dipenda da L, ma prima di dirtelo vorrei sentire come la pensi tu in merito).
Riguardo alla $g$, mi sono completamente dimenticata =D
Per quanto riguarda la $P$ che non è costante per tutti gli animali, ad esempio anche la densità non lo è, però credo che il problema non pretende che io ponga l'attenzione su di essa, ma solo sulla proporzionalità con la $L$.. Comunque se fosse corretto il tuo ragionamento, cioè se dovessi trovare il rapporto che sia effettivamente costante per tutti gli animali, questo dovrebbe essere $P/(k*d*L^2)=(P*L)/V$ per far riportare la velocità effettivamente proporzionale a $L^(-1)$. Infatti se chiamiamo $r$ questo rapporto si ha $v=r*(1-x)/(gsinalpha)*L^(-1)$.
Credi che questo sia il modo di ragionare, oppure non devo concentrarmi su quelle grandezze che non sono costanti per tutti i quadrupedi ma solo sulla lunghezza?
Per quanto riguarda la $P$ che non è costante per tutti gli animali, ad esempio anche la densità non lo è, però credo che il problema non pretende che io ponga l'attenzione su di essa, ma solo sulla proporzionalità con la $L$.. Comunque se fosse corretto il tuo ragionamento, cioè se dovessi trovare il rapporto che sia effettivamente costante per tutti gli animali, questo dovrebbe essere $P/(k*d*L^2)=(P*L)/V$ per far riportare la velocità effettivamente proporzionale a $L^(-1)$. Infatti se chiamiamo $r$ questo rapporto si ha $v=r*(1-x)/(gsinalpha)*L^(-1)$.
Credi che questo sia il modo di ragionare, oppure non devo concentrarmi su quelle grandezze che non sono costanti per tutti i quadrupedi ma solo sulla lunghezza?
La densità uguale per tutti gli animali è verosimile, poiché è una grandezza intensiva, un rapporto.
La potenza uguale per tutti invece è irrealistica, dunque va rapportata alla dimensione in qualche modo.
Perché esca il risultato previsto occorre, come hai detto tu, che la potenza dipenda da $L^2$ e qui occorre giustificarlo in qualche modo.
L'unica giustificazione che mi viene in mente è la seguente.
Supponiamo che le fibre muscolari siano tutte ugualmente potenti e che siano uguali in tutti gli animali. Però è ovvio che un muscolo di cavallo è ben più grosso di un muscolo di lepre, dunque il cavallo è più potente. Allora la potenza la fa il numero di fibre contenute in un muscolo.
Ma il numero di fibre però non dipende dalla lunghezza del muscolo, ma solo dalla sua sezione trasversale che, a parità di arto, in ogni animale è dunque proporzionale a $L^2$.
Non so se sta in piedi, però non mi viene in mente nulla di meglio.
La potenza uguale per tutti invece è irrealistica, dunque va rapportata alla dimensione in qualche modo.
Perché esca il risultato previsto occorre, come hai detto tu, che la potenza dipenda da $L^2$ e qui occorre giustificarlo in qualche modo.
L'unica giustificazione che mi viene in mente è la seguente.
Supponiamo che le fibre muscolari siano tutte ugualmente potenti e che siano uguali in tutti gli animali. Però è ovvio che un muscolo di cavallo è ben più grosso di un muscolo di lepre, dunque il cavallo è più potente. Allora la potenza la fa il numero di fibre contenute in un muscolo.
Ma il numero di fibre però non dipende dalla lunghezza del muscolo, ma solo dalla sua sezione trasversale che, a parità di arto, in ogni animale è dunque proporzionale a $L^2$.
Non so se sta in piedi, però non mi viene in mente nulla di meglio.
Beh, forse potrebbe starci anche se è una cosa che suona un po' strana 
Io però ancora non ho ben capito cosa sia effettivamente $L$, se la lunghezza o l'altezza dell'animale.. E oltretutto, avendo definito le altre due lunghezze dell'animale come dipendenti da $L$ attraverso una costante $k$, credi che la potenza, sempre seguendo il tuo ragionamento, debba dipendere da $k*L^2$, più che solo da $L^$?
Io però ancora non ho ben capito cosa sia effettivamente $L$, se la lunghezza o l'altezza dell'animale.. E oltretutto, avendo definito le altre due lunghezze dell'animale come dipendenti da $L$ attraverso una costante $k$, credi che la potenza, sempre seguendo il tuo ragionamento, debba dipendere da $k*L^2$, più che solo da $L^$?
"elios":
Beh, forse potrebbe starci anche se è una cosa che suona un po' strana
Io però ancora non ho ben capito cosa sia effettivamente $L$, se la lunghezza o l'altezza dell'animale.. E oltretutto, avendo definito le altre due lunghezze dell'animale come dipendenti da $L$ attraverso una costante $k$, credi che la potenza, sempre seguendo il tuo ragionamento, debba dipendere da $k*L^2$, più che solo da $L^$?
Il mio ragionamento è il seguente.
Detta L la lunghezza, dalla testa alla coda, se abbiamo due animali in rapporti 1 a 2 in lunghezza il secondo è lungo il doppio del primo, ma è anche alto il doppio del primo, ha le zampe lunghe il doppio, e il diametro di queste zampe è pure lui il doppio di quello dell'animale piccolo.
Se prendiamo una singola zampa, questa avendo un diametro doppio ha una sezione (area trasversale) quadrupla, per una elementare legge geometrica. Un un'area quadrupla ci sta il quadruplo di fibre muscolari, dunque se tutte le fibre hanno la stessa potenza, l'animale lungo il doppio ha 4 volte la potenza dell'animale piccolo.
Però il suo volume è 8 volte di quello dell'animale piccolo (il volume dipende dal cubo della lunghezza) e siccome le densità sono uguali allora anche la massa dell'animale grande è 8 volte quella dell'animale piccolo.
Dunque l'animale grande è sfavorito dal punto di vista del rapporto potenza/massa, perché se questo rapporto nell'animale piccolo vale ad esempio x, per quanto detto sopra nell'animale grande vale x/2.
Sì, concordo con il tuo ragionamento...! Quindi direi che mi basta dire che è il rapporto $P/L^2$ ad essere costante per il ragionamento sulle fibre muscolari che dicevi tu.. Ed il tutto riporta!
Grazie!! =)
Grazie!! =)
Scusate se mi intrometto nella discussione, ma nella richiesta del testo si dice di trovare che il rapporto è circa proporzionale a $L^-1$, con L pari alla dimensione dell'animale. Il problema è che poi il testo chiama $L$ anche la lunghezza, nelle ipotesi. ma se dite che il cubo della lunghezza è la dimensione dell'animale, allora siete a posto, avete provato quello che chiedeva il libro, senza ragionamenti sui muscoli. Sbaglio?
"Zkeggia":
ma se dite che il cubo della lunghezza è la dimensione dell'animale, allora siete a posto, avete provato quello che chiedeva il libro, senza ragionamenti sui muscoli.
dici che la dimensione dell'animale sia il volume?
Diciamo che mi sembra un po' più regolare come richiesta, rispetto a quella di dover fare discorsi sulle fibre muscolari ecc ecc...
Beh, effettivamente se il testo intendesse con "dimensione" il volume dell'animale e lo chiamasse L, basterebbe il mio ragionamento iniziale..
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