Velocità come funzione del tempo vs. velocità come funzione della posizione
Salve! Scrivo in cerca di un aiuto a comprendere questa parte di testo, che mi è oscura:
Mi sto chiedendo se effettivamente dire che $v[x(t)]=v(t)$ abbia senso: se penso ad un punto che si muove con legge oraria $x(t) = \sin(t)$, la formula precedente non è certo valida.
Ciò che non mi quadra è, appunto, valutare la funzione $v$ in $x(t)$, e ottenere lo stesso $v(t)$: $v$ è una funzione \(\text{[T]} \to \text{[L]}/\text{[T]}\) e sarebbe concettualmente sbagliato dargli impasto una lunghezza e non un tempo. Ovviamente, potrei immaginare un'altra funzione $v_x$ tale che $v(t) = v_x[x(t)]$, in questo modo:
[tex]\xymatrix{ {\text{[T]}} \ar[r]^{x} \ar[dr]_{v} & {\text{[L]}} \ar[d]^{v_x} \\ & {\frac{\text{[L]}}{\text{[T]}}} }[/tex]
Il che è quello che probabilmente l'autore intende.
In questo modo, ottengo: \[v'(t) = \frac{d}{dt}(v_x[x(t)]) = {v_x}'[x(t)] \cdot x'(t)\] e quindi posso dire che in un punto $x(t_0)$ dove la nostra particella ha all'istante $t_0$ velocità $v(t_0)$, l'accelerazione \(dv/dt\) del punto la potrò anche ottenere derivando la funzione $v_x$ rispetto al tempo.
Ha senso?
Mi sto chiedendo se effettivamente dire che $v[x(t)]=v(t)$ abbia senso: se penso ad un punto che si muove con legge oraria $x(t) = \sin(t)$, la formula precedente non è certo valida.
Ciò che non mi quadra è, appunto, valutare la funzione $v$ in $x(t)$, e ottenere lo stesso $v(t)$: $v$ è una funzione \(\text{[T]} \to \text{[L]}/\text{[T]}\) e sarebbe concettualmente sbagliato dargli impasto una lunghezza e non un tempo. Ovviamente, potrei immaginare un'altra funzione $v_x$ tale che $v(t) = v_x[x(t)]$, in questo modo:
[tex]\xymatrix{ {\text{[T]}} \ar[r]^{x} \ar[dr]_{v} & {\text{[L]}} \ar[d]^{v_x} \\ & {\frac{\text{[L]}}{\text{[T]}}} }[/tex]
Il che è quello che probabilmente l'autore intende.
In questo modo, ottengo: \[v'(t) = \frac{d}{dt}(v_x[x(t)]) = {v_x}'[x(t)] \cdot x'(t)\] e quindi posso dire che in un punto $x(t_0)$ dove la nostra particella ha all'istante $t_0$ velocità $v(t_0)$, l'accelerazione \(dv/dt\) del punto la potrò anche ottenere derivando la funzione $v_x$ rispetto al tempo.
Ha senso?
Risposte
"marco2132k":
se penso ad un punto che si muove con legge oraria $x(t)=sin(t)$, la formula precedente non è certo valida.
Considerando il caso monodimensionale per evitare la notazione vettoriale
$$ v = \frac {dx(t)}{dt} = \frac d {dt} sin(t) = cos(t) = v(t) $$
La velocità è la derivata del vettore posizione, che a sua volta è funzione del tempo... magari non ho capito il tuo problema, mi sembra molto intuitivo.
Se un punto materiale si muove lungo una retta con legge oraria $x(t) = \sin(t)$, abbiamo: \[\begin{split}v(t) = \cos(t) \\ (v \circ x)(t) = \cos[\sin(t)] \neq \cos(t)\end{split}\] Infatti \(\cos(\pi/2) = 0\), \(\cos[\sin(\pi/2)] \neq 0\).
Parafrasando in modo più diretto quanto sta scritto sopra, la domanda è: la "velocità del punto alla posizione $x(t)$" è o non è la funzione $(v \circ x)$? A me pare evidentemente di no, anche ragionando con le grandezze fisiche come nell'op, ma la foto/il testo mi sembra affermi proprio questo. E anzi, che "manipoli" simboli un po' a caso
Parafrasando in modo più diretto quanto sta scritto sopra, la domanda è: la "velocità del punto alla posizione $x(t)$" è o non è la funzione $(v \circ x)$? A me pare evidentemente di no, anche ragionando con le grandezze fisiche come nell'op, ma la foto/il testo mi sembra affermi proprio questo. E anzi, che "manipoli" simboli un po' a caso
$v$ è la derivata di $x(t)$ quindi ovvio che è funzione di $t$, non è che devi sostituirci $x(t)$ lì dentro.
PS: ho corretto il primo commento a scanso di equivoci
PS: ho corretto il primo commento a scanso di equivoci
Ignora quelle parentesi quadre che, in effetti, confondono e basta
Quindi, se ho capito bene, la funzione che deriva nell'immagine è proprio $v\circ x$, ottenendo:
\[ \left(\frac{dv[x(t)]}{dt}\right)_{t=t_0} = v'[x(t_0)] v(t_0) \]
Ma a me sembra sia proprio quello che fa lui. Quando, giustamente, come dici tu, la funzione che associa ogni istante $t$ alla velocità del punto materiale in quell'istante, e la funzione che alla posizione $x$ del punto materiale associa la velocità in quella posizione, sono due funzioni diverse. E certo quest'ultima non è data dalla composizione di $v(t)$ con $x(t)$, o se vuoi dirlo più schiettamente, "sostituendo $x(t)$ dentro v(t)".
\[ \left(\frac{dv[x(t)]}{dt}\right)_{t=t_0} = v'[x(t_0)] v(t_0) \]
"dRic":
$ v $ è la derivata di $ x(t) $ quindi ovvio che è funzione di $ t $, non è che devi sostituirci $ x(t) $ lì dentro
Ma a me sembra sia proprio quello che fa lui. Quando, giustamente, come dici tu, la funzione che associa ogni istante $t$ alla velocità del punto materiale in quell'istante, e la funzione che alla posizione $x$ del punto materiale associa la velocità in quella posizione, sono due funzioni diverse. E certo quest'ultima non è data dalla composizione di $v(t)$ con $x(t)$, o se vuoi dirlo più schiettamente, "sostituendo $x(t)$ dentro v(t)".
Non sono pratico delle lingua matematichese 
spero di chiarirti le idee con un esempio:
Consideriamo la seguente leggere oraria
$$ x = \alpha t^3$$
dove $\alpha$ è una apposita costante $[m/{s^3}]$. Calcoliamo accelerazione e velocità nel modo tradizionale:
$$v = \frac {dx}{dt} = 3\alpha t^2$$
$$a = \frac {dv}{dt} = 6 \alpha t$$
Adesso usiamo l'altro metodo:
$$a = \frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}$$
Per prima cosa riscriviamo la velocità $v$ in funzione di $x$: essendo $x = \alpha t^3$ e $v=3\alpha t^2$ possiamo scrivere
$$v = 3 \alpha^{1/3}x^{2/3}$$
Dunque
$$a = \frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt} = (3\alpha^{1/3}\frac 1 {x^{1/3}}\frac 2 3)(v)$$
$$... =(3\alpha^{1/3}\frac 1 {(\alpha t^3)^{1/3}}\frac 2 3)(3 \alpha t^2) = (\frac 2 t)(3 \alpha t^2) = 6 \alpha t$$
spero di chiarirti le idee con un esempio:Consideriamo la seguente leggere oraria
$$ x = \alpha t^3$$
dove $\alpha$ è una apposita costante $[m/{s^3}]$. Calcoliamo accelerazione e velocità nel modo tradizionale:
$$v = \frac {dx}{dt} = 3\alpha t^2$$
$$a = \frac {dv}{dt} = 6 \alpha t$$
Adesso usiamo l'altro metodo:
$$a = \frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}$$
Per prima cosa riscriviamo la velocità $v$ in funzione di $x$: essendo $x = \alpha t^3$ e $v=3\alpha t^2$ possiamo scrivere
$$v = 3 \alpha^{1/3}x^{2/3}$$
Dunque
$$a = \frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt} = (3\alpha^{1/3}\frac 1 {x^{1/3}}\frac 2 3)(v)$$
$$... =(3\alpha^{1/3}\frac 1 {(\alpha t^3)^{1/3}}\frac 2 3)(3 \alpha t^2) = (\frac 2 t)(3 \alpha t^2) = 6 \alpha t$$
Grazie mille per l'esempio (era proprio quello di cui avevo bisogno per capire questa cosa!), e scusami se rispondo solo ora, ma sono stato costretto lasciare in parte questo dubbio... Diciamo che "i calcoli" mi sono limpidi: se il punto al tempo \(t\) si trova nella posizione \(x = \alpha t^3\), allora esso è alla posizione \(x\) al tempo \(t=(x/\alpha)^{1/3}\); quindi dato che esso al tempo \(t\) ha velocità \(v=3\alpha t^2\), allora \(v=3\alpha \left[(x/\alpha)^{1/3}\right]^2\) è la velocità del punto al tempo in cui esso si trova nella posizione \(x\). In altre parole, quando calcolo quella \(v\), "le do in pasto" la posizione del punto, e mi trovo la velocità in quella posizione, ottenuta calcolando la velocità che il punto ha nell'istante in cui si trova in essa, cioè il \(t\) che ho scritto due righe sopra.
Mi è chiaro il metodo, grazie ancora! (anche se smette di esserlo non appena penso ad una legge oraria non iniettiva, ma shh..)
Mi è chiaro il metodo, grazie ancora! (anche se smette di esserlo non appena penso ad una legge oraria non iniettiva, ma shh..)
"marco2132k":
Mi è chiaro il metodo, grazie ancora! (anche se smette di esserlo non appena penso ad una legge oraria non iniettiva, ma shh..)
Tipo $x = sin(t)$ ? Secondo la mia modesta opinione esisteranno dei trick matematici per estendere la validità della cosa. Purtroppo non sono e non sono mai stato così attento alla matematica come te, quindi fin qui è quello che ti posso dire. In ogni caso se vuoi andare più a fondo magari dai una occhiata qua:
https://en.wikipedia.org/wiki/Chain_rule
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