Velocità carica

[delbi]

Ho il seguente problema:
"Qual è la velocità acquistata da una particella carica $q$ che attraversa una differenza di potenziale $V$ considerando le correzioni relativistiche? Si consideri in particolare il caso in cui un elettrone venga accelerato da una differenza di potenziale di $10^4V$: si calcolino $\vecu$ e l'entità della correzione relativistica $\gamma-1$"

Non so bene come impostarlo...consigli?

[Sk_Anonymous]

Io direi semplicemente che, essendo l'energia di riposo uguale a : $E_0 = mc^2$ , ed essendo l'energia relativistica uguale a $E = \gammamc^2$ , si ha :

$E-E_0 = (\gamma -1)mc^2$

e che l'energia somministrata all'elettrone è proprio la quantità al primo membro , che puoi calcolare sapendo la differenza di potenziale $\DeltaV$ e la massa $m$ dell'elettrone .

Tieni presente che : $1eV = 1.6*10^(-19)C* 1V = 1.6*10^(-19) J $

Se la carica elettrica non è quella dell'elettrone $1.6*10^(-19)C$ , ci devi mettere la carica $q$ assegnata, per esprimere la massa in $(MeV)/c^2$ come si solito si fa :

http://it.wikipedia.org/wiki/Elettronvolt

(la massa dell'elettrone è circa $0.511(MeV)/c^2$ )

Nota che , dalla relazione : $K = mc^2 (1/sqrt(1-(v/c)^2) -1) $

potresti ottenere direttamente che : $v^2 = c^2(1-(mc^2)^2/(K + mc^2)^2 )$

[delbi]

ok ma quindi l'energia cinetica $K$ fornita alla carica è semplicemente $q\DeltaV$?

[Sk_Anonymous]

Si. Quando una particella di carica $q$ viene sottoposta a una differenza di potenziale $V$, acquista una energia cinetica data da : $K = qV$ . E siccome :

$K = mc^2(1/sqrt(1-(v/c)^2) -1) $

se si pone : $V_0 = (mc^2)/q$ , la relazione tra la velocità della particella $v$ e la differenza di potenziale si può anche scrivere come :

$v^2 = c^2 [1-1/(1+V/V_0)^2 ] $

e quindi l'energia totale della particella è data da :

$ E = K + mc^2 = mc^2(1 + V/V_0) $

La quantità : $ \alpha = V/V_0 = K/(mc^2) $ misura gli effetti relativistici. Il limite non relativistico si ha per $\alpha$ molto minore di 1 , se invece $\alpha> 2$ si è in regime ultrarelativistico.

Ovviamente , per quanto già detto, per l'elettrone è $V_0 = 0.511 MeV$

(Fonte : "Vincenzo Barone - Realtività )

[delbi]

ok l'avevo impostato giusto,la velocità mi risulta:
$u=csqrt(1-((m_0c^2)/(qV+m_0c^2))^2)$
Il problema è che inserendo i dati numerici il termine
$(m_0c^2)/(qV+m_0c^2)$ mi viene $>1$ e quindi il radicando $<0$
come dati ho
$m_0=9.109*10^(-31)Kg$
$q_e=-1.602*10^(-19)C$
$V=10^4V$

[Sk_Anonymous]

Credo che sia dovuto al fatto che hai messo il segno "meno" alla carica $q$ dell'elettrone.

È vero che la carica dell'elettrone è negativa, ma questa è una nostra convenzione. Devi considerare che l'elettrone si sposta per l'azione del campo elettrico, che compie il lavoro e quindi cede energia alla particella, proprio come nel caso non relativistico, no ?
Insomma , devi assumere $qV > 0 $ .

[delbi]

ok perfetto grazie mille!