Velocità angolare in cinematica rigida e relativa
Ciao a tutti.
Scrivo per un chiarimento sul ruolo della velocità angolare nei due contesti che ora vi dico.
Indicherò con (O) un sistema di riferimento ortonormale fissato.
1) Moto di un corpo rigido C
Sia P un punto di C e sia (O1) un sistema di riferimento solidale con C. Allora la velocità di P rispetto a (O) è data dalla somma di due termini: la velocità di O1 rispetto a (O) e il prodotto vettoriale tra la velocità angolare di rotazione w e il vettore (P-O1), cioè $v(P)=v(O1)+w X (P-O1)$ ove con $ X $ ho indicato il prodotto vettoriale. Qui la velocità angolare è quella del corpo rigido attorno ad un asse o del corpo rigido rispetto al riferimento (O1)?
2) Accelerazione di Coriolis
La formula che ho visto a lezione è $a=2wXv1$ dove w è la velocità angolare e v1 è la velocità del punto P rispetto al riferimento mobile (cioè relativo). In questo caso la w è la velocità angolare rispetto al sistema fisso?
Propongo un esempio semplice che magari qualcuno può spiegarmi: un quadrato rigido che si muove nel piano. Se non ruota attorno al suo baricentro (cioè ogni lato rimane sempre parallelo a se stesso) allora posso dire che il corpo rigido si sta muovendo di pura traslazione e quindi la w del punto 1 è nulla?
Invece l'unico caso in cui non è soggetto a forza di Coriolis è quello in cui il moto del baricentro non ha componente rotatoria attorno all'origine del piano, giusto?
Il mio dubbio nasce dal fatto che questo quadrato può ruotare su se stesso (diciamo attorno ad un asse baricentrico) e/o attorno all'origine del piano, un po' come la terra attorno al sole. Mi pare che in gioco ci siano due diverse velocità angolari, se non sbaglio.
Grazie in anticipo! ciao!
Scrivo per un chiarimento sul ruolo della velocità angolare nei due contesti che ora vi dico.
Indicherò con (O) un sistema di riferimento ortonormale fissato.
1) Moto di un corpo rigido C
Sia P un punto di C e sia (O1) un sistema di riferimento solidale con C. Allora la velocità di P rispetto a (O) è data dalla somma di due termini: la velocità di O1 rispetto a (O) e il prodotto vettoriale tra la velocità angolare di rotazione w e il vettore (P-O1), cioè $v(P)=v(O1)+w X (P-O1)$ ove con $ X $ ho indicato il prodotto vettoriale. Qui la velocità angolare è quella del corpo rigido attorno ad un asse o del corpo rigido rispetto al riferimento (O1)?
2) Accelerazione di Coriolis
La formula che ho visto a lezione è $a=2wXv1$ dove w è la velocità angolare e v1 è la velocità del punto P rispetto al riferimento mobile (cioè relativo). In questo caso la w è la velocità angolare rispetto al sistema fisso?
Propongo un esempio semplice che magari qualcuno può spiegarmi: un quadrato rigido che si muove nel piano. Se non ruota attorno al suo baricentro (cioè ogni lato rimane sempre parallelo a se stesso) allora posso dire che il corpo rigido si sta muovendo di pura traslazione e quindi la w del punto 1 è nulla?
Invece l'unico caso in cui non è soggetto a forza di Coriolis è quello in cui il moto del baricentro non ha componente rotatoria attorno all'origine del piano, giusto?
Il mio dubbio nasce dal fatto che questo quadrato può ruotare su se stesso (diciamo attorno ad un asse baricentrico) e/o attorno all'origine del piano, un po' come la terra attorno al sole. Mi pare che in gioco ci siano due diverse velocità angolari, se non sbaglio.
Grazie in anticipo! ciao!
Risposte
In pratica dici che il quadrato ruota attorno ad un punto che è lontano dal centro del quadrato e quindi fuori dall'area del quadrato. Giusto?
Più che come la terra intorno al sole allora direi come la luna attorno alla terra. In pratica il quadrato, così come la luna, volge sempre la stessa faccia rispetto al punto attorno a cui ruota. Cioè il suo periodo di rotazione su su stesso coincide con il periodo di rotazione attorno al punto.
Bene per rispondere alla tua domanda in questo caso il quadrato possiede ovviamente una velocità angolare quindi in generale nel suo sistema di riferimento un punto che si muove è sottoposto alla forza di Coriolis.
Non esistono tipi diversi di velocità angolare e non importa attorno a quale punto "fisso" il sistema di riferimento solidale col corpo mobile ruoti. Ogni qualvolta i versori della terna mobile cambiano direzione rispetto ai versori della terna fissa, allora il sistema mobile possiede una velocità angolare.
Più che come la terra intorno al sole allora direi come la luna attorno alla terra. In pratica il quadrato, così come la luna, volge sempre la stessa faccia rispetto al punto attorno a cui ruota. Cioè il suo periodo di rotazione su su stesso coincide con il periodo di rotazione attorno al punto.
Bene per rispondere alla tua domanda in questo caso il quadrato possiede ovviamente una velocità angolare quindi in generale nel suo sistema di riferimento un punto che si muove è sottoposto alla forza di Coriolis.
Non esistono tipi diversi di velocità angolare e non importa attorno a quale punto "fisso" il sistema di riferimento solidale col corpo mobile ruoti. Ogni qualvolta i versori della terna mobile cambiano direzione rispetto ai versori della terna fissa, allora il sistema mobile possiede una velocità angolare.
Ciao Faussone.
Mi rendo conto che non è che mi sono spiegato benissimo nel proporre l'esempio, scusami.
Intendevo: prendiamo un piano con riferimento fisso (O) e una lamina quadrata rigida omogenea che si muove nel piano, con un punto P che si muove sulla lamina. Studiamo due possibili moti della lamina.
caso 1) Il baricentro del quadrato è immobile rispetto al sistema fisso (O) e il quadrato ruota attorno ad un asse perpendicolare al piano e passante per il proprio baricentro
caso 2) Il quadrato non ruota attorno al proprio baricentro (cioè ogni lato si mantiene parallelo a se stesso durante tutto il moto), ma il baricentro ruota rispetto all'origine del piano.
In quale dei due casi il moto del punto P sulla lamina è soggetto alla forza di Coriolis?
Un eventuale caso 3) potrebbe essere la somma dei due casi che ho appena detto, cioè il quadrato ruota su se stesso attorno al baricentro, e intanto il baricentro ruota attorno all'origine (in questo senso dicevo "come la Terra attorno al Sole"). Qui avrei due diverse velocità angolari: per esempio la terra gira con 360°/24h su se stessa e con 360°/365g attorno al sole. Quale delle due velocità angolari è quella che genera la forza di Coriolis su un punto P che si muove sulla lamina (o sulla superficie terrestre)?
La sostanza del mio problema è che ho queste tipologie di problemi di moto relativo, e mi si chiede di calcolare la velocità e l'accelerazione assoluta di un punto attraverso il calcolo della velocità e accelerazione di trascinamento e dell'accelerazione di Coriolis....ho tutte le formule, ma quando arrivo a dover calcolare l'accelerazione di Coriolis non so mai quale velocità angolare devo prendere
Grazie ciao!
Mi rendo conto che non è che mi sono spiegato benissimo nel proporre l'esempio, scusami.
Intendevo: prendiamo un piano con riferimento fisso (O) e una lamina quadrata rigida omogenea che si muove nel piano, con un punto P che si muove sulla lamina. Studiamo due possibili moti della lamina.
caso 1) Il baricentro del quadrato è immobile rispetto al sistema fisso (O) e il quadrato ruota attorno ad un asse perpendicolare al piano e passante per il proprio baricentro
caso 2) Il quadrato non ruota attorno al proprio baricentro (cioè ogni lato si mantiene parallelo a se stesso durante tutto il moto), ma il baricentro ruota rispetto all'origine del piano.
In quale dei due casi il moto del punto P sulla lamina è soggetto alla forza di Coriolis?
Un eventuale caso 3) potrebbe essere la somma dei due casi che ho appena detto, cioè il quadrato ruota su se stesso attorno al baricentro, e intanto il baricentro ruota attorno all'origine (in questo senso dicevo "come la Terra attorno al Sole"). Qui avrei due diverse velocità angolari: per esempio la terra gira con 360°/24h su se stessa e con 360°/365g attorno al sole. Quale delle due velocità angolari è quella che genera la forza di Coriolis su un punto P che si muove sulla lamina (o sulla superficie terrestre)?
La sostanza del mio problema è che ho queste tipologie di problemi di moto relativo, e mi si chiede di calcolare la velocità e l'accelerazione assoluta di un punto attraverso il calcolo della velocità e accelerazione di trascinamento e dell'accelerazione di Coriolis....ho tutte le formule, ma quando arrivo a dover calcolare l'accelerazione di Coriolis non so mai quale velocità angolare devo prendere
Grazie ciao!
Ciao,
il punto è che non esiste velocità angolare se non fissi un sistema fisso e uno mobile.
L'accelerazione centripeta e di Coriolis e le corrispondenti forze apparenti sono definite ed esistono solo una volta che hai definito questi sistemi di riferimento.
Nel primo caso la velocità angolare è molto intuitiva quindi non aggiungo altro, nel secondo caso se il sistema di riferimento mobile non cambia la direzione dei propri assi rispetto al fisso allora la velocità angolare di questo sistema di riferimento è nulla. ...ma attenzione che in questo caso le forze apparenti appaiono lo stesso visto che questo sistema non è inerziale dato che rispetto al fisso non si muove di moto rettilineo uniforme, anche se non puoi calcolarle direttamente con le formule che coinvolgono la $vec omega$ del sistema di riferimento solidale al quadrato rispetto al fisso.
Per calcolare le forze apparenti devi considerare che la velocità rispetto al sistema di riferimento fisso di un punto qualunque sarà:
$v=vec v_0+ vec omega times vec R=vec v_0$ pertanto le forze apparenti le ottieni considerando semplicemente l'accelerazione del centro di massa del quadrato, quindi dato che il centro di massa è fisso in un sistema di riferimento rotante con una data velocità angolare, c'è una $vec omega$ che rientra, ma attenzione non è la $vec omega$ del sistema di riferimento solidale col quadrato rispetto al fisso, ma quella di un sistema di riferimento che vede il centro del quadrato fermo). Per rispondere alla tua domanda no non esiste accelerazione di Coriolis nè forza di Coriolis qui, mentre esistono nel primo caso.
Il terzo caso è quello che ti dicevo all'inizio. Non esistono qui due velocità angolari ma una sola devi solo stare attento ai sistemi di riferimento, nell'esempio della terra la velocità angolare (rispetto ad un sistema di riferimento fisso, cioè solidale con le stelle "fisse") sarebbe la somma delle due che dici tu, ovviamente dato che una è molto maggiore praticamente ne conta solo una...
In pratica inconsciamente tu (ma non solo tu) ragioni con tre sistemi di riferimenti: il primo è fisso con le stelle fisse il secondo gira con la stessa velocità angolare che impiega la terra a girare attorno al sole e il terzo è solidale con quest'ultimo e come velocità angolare considera quella rispetto a quest'ultimo (che è quello che intendiamo per periodo di rotazione della terra attorno al proprio asse).
Ricorda che puoi comunque ragionare sempre considerando solo il sistema di riferimento relativo alla terra e quello fisso, senza mettere in mezzo il secondo e fare scomposizioni di moti. La velocità angolare totale (rispetto alle stesse fisse) la ottieni infatti considerando il giorno siderale e non quello solare, cioè il tempo necessario affinché una stella lontana si ritrovi esattamente nella stessa posizione sulla volta celeste (il giorno siderale infatti è più corto di poco rispetto al giorno solare).
Per l'esempio della luna invece, in sostanza la rotazione attorno al proprio asse è nulla... e la velocità angolare è data dalla rotazione attorno alla terra (trascuriamo ovviamente che tutto ruota attorno al sole). In pratica la velocità angolare del secondo sistema di riferimento di cui sopra rispetto al terzo è nulla.
il punto è che non esiste velocità angolare se non fissi un sistema fisso e uno mobile.
L'accelerazione centripeta e di Coriolis e le corrispondenti forze apparenti sono definite ed esistono solo una volta che hai definito questi sistemi di riferimento.
Nel primo caso la velocità angolare è molto intuitiva quindi non aggiungo altro, nel secondo caso se il sistema di riferimento mobile non cambia la direzione dei propri assi rispetto al fisso allora la velocità angolare di questo sistema di riferimento è nulla. ...ma attenzione che in questo caso le forze apparenti appaiono lo stesso visto che questo sistema non è inerziale dato che rispetto al fisso non si muove di moto rettilineo uniforme, anche se non puoi calcolarle direttamente con le formule che coinvolgono la $vec omega$ del sistema di riferimento solidale al quadrato rispetto al fisso.
Per calcolare le forze apparenti devi considerare che la velocità rispetto al sistema di riferimento fisso di un punto qualunque sarà:
$v=vec v_0+ vec omega times vec R=vec v_0$ pertanto le forze apparenti le ottieni considerando semplicemente l'accelerazione del centro di massa del quadrato, quindi dato che il centro di massa è fisso in un sistema di riferimento rotante con una data velocità angolare, c'è una $vec omega$ che rientra, ma attenzione non è la $vec omega$ del sistema di riferimento solidale col quadrato rispetto al fisso, ma quella di un sistema di riferimento che vede il centro del quadrato fermo). Per rispondere alla tua domanda no non esiste accelerazione di Coriolis nè forza di Coriolis qui, mentre esistono nel primo caso.
Il terzo caso è quello che ti dicevo all'inizio. Non esistono qui due velocità angolari ma una sola devi solo stare attento ai sistemi di riferimento, nell'esempio della terra la velocità angolare (rispetto ad un sistema di riferimento fisso, cioè solidale con le stelle "fisse") sarebbe la somma delle due che dici tu, ovviamente dato che una è molto maggiore praticamente ne conta solo una...
In pratica inconsciamente tu (ma non solo tu) ragioni con tre sistemi di riferimenti: il primo è fisso con le stelle fisse il secondo gira con la stessa velocità angolare che impiega la terra a girare attorno al sole e il terzo è solidale con quest'ultimo e come velocità angolare considera quella rispetto a quest'ultimo (che è quello che intendiamo per periodo di rotazione della terra attorno al proprio asse).
Ricorda che puoi comunque ragionare sempre considerando solo il sistema di riferimento relativo alla terra e quello fisso, senza mettere in mezzo il secondo e fare scomposizioni di moti. La velocità angolare totale (rispetto alle stesse fisse) la ottieni infatti considerando il giorno siderale e non quello solare, cioè il tempo necessario affinché una stella lontana si ritrovi esattamente nella stessa posizione sulla volta celeste (il giorno siderale infatti è più corto di poco rispetto al giorno solare).
Per l'esempio della luna invece, in sostanza la rotazione attorno al proprio asse è nulla... e la velocità angolare è data dalla rotazione attorno alla terra (trascuriamo ovviamente che tutto ruota attorno al sole). In pratica la velocità angolare del secondo sistema di riferimento di cui sopra rispetto al terzo è nulla.
Faussone ti ringrazio davvero per la pazienza e la chiarezza!!!
Quindi, per concludere (vediamo se adesso ho capito
), la velocità angolare $\omega$ "nel primo senso", cioè quello dell'accelerazione di Coriolis, si riferisce alla rotazione degli assi del sistema mobile rispetto agli assi del sistema fisso, è corretto? Un altro errore che facevo era riferire questa velocità angolare al moto del punto rispetto al sistema fisso, mentre, se ho capito bene, è un parametro che riguarda il moto reciproco dei due sistemi, e non c'entra col moto del punto P (a meno che io no vincoli il sistema mobile a dipendere dal moto del punto P). A livello di esercizi il punto sarà poi vedere se e come gli assi di un sistema ruotano rispetto a quelli dell'altro, mentre ciò non riguarda il fatto che magari il punto P ruota rispetto al sistema mobile. Tutto giusto quello che ho detto? Spero di sì, perché vorrebbe dire che ho capito Grazie mille ancora
Quindi, per concludere (vediamo se adesso ho capito
), la velocità angolare $\omega$ "nel primo senso", cioè quello dell'accelerazione di Coriolis, si riferisce alla rotazione degli assi del sistema mobile rispetto agli assi del sistema fisso, è corretto? Un altro errore che facevo era riferire questa velocità angolare al moto del punto rispetto al sistema fisso, mentre, se ho capito bene, è un parametro che riguarda il moto reciproco dei due sistemi, e non c'entra col moto del punto P (a meno che io no vincoli il sistema mobile a dipendere dal moto del punto P). A livello di esercizi il punto sarà poi vedere se e come gli assi di un sistema ruotano rispetto a quelli dell'altro, mentre ciò non riguarda il fatto che magari il punto P ruota rispetto al sistema mobile. Tutto giusto quello che ho detto? Spero di sì, perché vorrebbe dire che ho capito Grazie mille ancora
Sì è abbastanza corretto, anche se non hai diversi "sensi" per la velocità angolare, quello che tu chiami senso è forse il concetto di sistemi di riferimento differenti che puoi considerare.
Definisci chiaramente quali sono i tuoi sistemi di riferimento fisso e mobile, calcola la velocità angolare e poi le accelerazioni (incluso Coriolis) in maniera congruente con le scelte che hai fatto.
La cosa che devi avere a mente come "stella polare" (a proposito di stelle fisse
) è che la velocità angolare appartiene ad un sistema di riferimento rispetto ad un altro e non ad un punto.
Il punto poi potrà essere essere fisso o mobile rispetto ad un dato sistema di riferimento e a seconda del sistema di riferimento considerato per calcolare le accelerazioni del punto entrerà la giusta velocità angolare.
L'unica è provare a risolvere dei problemi specifici e vedrai che via via le idee ti si chiariranno.
Su questo tipo di dubbi sono molto disponibile a intervenire, perché quando ho studiato io è stato uno dei concetti che ho trovato più indigesti....
Definisci chiaramente quali sono i tuoi sistemi di riferimento fisso e mobile, calcola la velocità angolare e poi le accelerazioni (incluso Coriolis) in maniera congruente con le scelte che hai fatto.
La cosa che devi avere a mente come "stella polare" (a proposito di stelle fisse
) è che la velocità angolare appartiene ad un sistema di riferimento rispetto ad un altro e non ad un punto.Il punto poi potrà essere essere fisso o mobile rispetto ad un dato sistema di riferimento e a seconda del sistema di riferimento considerato per calcolare le accelerazioni del punto entrerà la giusta velocità angolare.
L'unica è provare a risolvere dei problemi specifici e vedrai che via via le idee ti si chiariranno.
Su questo tipo di dubbi sono molto disponibile a intervenire, perché quando ho studiato io è stato uno dei concetti che ho trovato più indigesti....
ok sì mi sono espresso un po' male però nel cervello mi sta girando l'idea giusta adesso me la devo solo fissare come si deve!
Sai cos'è? è che al liceo sta roba l'ho fatta per 3/4 anni quindi mi ero illuso di saperla e avevo preso l'esame un po' sotto gamba...invece ci sono diverse sottigliezze concettuali e di impostazione che determinano l'aver capito la materia o no! Per esempio il saper fissare e gestire più sistemi di riferimento contemporaneamente, il fatto che la velocità angolare è un concetto che si riferisce a sistemi di riferimento e non ai punti in moto...
Ti ringrazio davvero moltissimo!! e visto che oltre che bravo a spiegare sei anche disponibilissimo non mancherò di contattarti per future incomprensioni (adesso la tabella di marcia pre-esame prevede Lagrangiane e Hamiltoniane
)
Ciao!!
adesso me la devo solo fissare come si deve!Sai cos'è? è che al liceo sta roba l'ho fatta per 3/4 anni quindi mi ero illuso di saperla e avevo preso l'esame un po' sotto gamba...invece ci sono diverse sottigliezze concettuali e di impostazione che determinano l'aver capito la materia o no! Per esempio il saper fissare e gestire più sistemi di riferimento contemporaneamente, il fatto che la velocità angolare è un concetto che si riferisce a sistemi di riferimento e non ai punti in moto...
Ti ringrazio davvero moltissimo!! e visto che oltre che bravo a spiegare sei anche disponibilissimo non mancherò di contattarti per future incomprensioni (adesso la tabella di marcia pre-esame prevede Lagrangiane e Hamiltoniane
)Ciao!!
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