Velocità angolare e coordinate polari

[RuCoLa1]

Buonasera,
considerando il moto di un punto $P$ nel piano si può descrivere il moto in coordinate polari conoscendo la distanza $r(t)$ del punto dall'origine $O$ degli assi $xy$ istante per istante e l'angolo $\alpha(t)$ individuato dal segmento $OP$ e l'asse $x$. In questo caso si hanno due versori $\hat r$ e $\hat \alpha$ perpendicolari tra loro. Se la velocità del punto ha la stessa direzione e verso dello spostamento del vettore posizione $\vec R(t)$ (cioè $\vec v(t) = (\Delta \vec R(t))/(\Delta t)$) perchè la velocità angolare non ha la stessa caratteristica di avere la stessa direzione e verso dello spostamento del vettore $\hat \alpha(t)$ ( cioè $\vec \omega(t) = (\Delta \hat \alpha(t))/(\Delta t)$)? Perchè viene definita con direzione perpendicolare al piano?

Grazie

[professorkappa]

Perche' $vecv=vecomegaxxvecR$.

[RuCoLa1]

Ma il fatto che $vecv=vecomegaxxvecR$ non è il punto di arrivo? Cioè non si parte dalla definizione di $vecomega$ per poi arrivare a dimostrare ciò che hai scritto?
Grazie

[Shackle]

"RuCoLa":....... perchè la velocità angolare non ha la stessa caratteristica di avere la stessa direzione e verso dello spostamento del vettore $ \hat \alpha(t) $ ( cioè $ \vec \omega(t) = (\Delta \hat \alpha(t))/(\Delta t) $)? Perchè viene definita con direzione perpendicolare al piano?

Grazie

Il calcolo vettoriale è tutta una convenzione, che fa molto comodo. Se pensi ad un moto circolare, attorno ad un asse fisso (per far semplici le cose) , si definisce un vettore rotazione ( o, se preferisci, spostamento angolare) $\Delta \vec \alpha(t)$ giacente sull'asse , e questo è abbastanza naturale, pensando che il raggio vettore di un punto mobile descrive l'angolo in un piano perpendicolare all'asse, come si vede in [url=https://it.wikipedia.org/wiki/File:Moto_circolare.svg]questa figura[/url]. Un osservatore posto lungo l'asse vede il raggio vettore ruotare nel piano sotto suoi piedi.
Ma questo è convenzionale, perchè naturalmente un angolo è un angolo, non è tanto intuitivo come il vettore "spostamento" di un punto.

Poi, è naturale definire il vettore velocità angolare come $vec\omega = (d\vec\alpha)/(dt) $ , giacente sullo stesso asse, quindi collineare con il vettore spostamento angolare.

[RuCoLa1]

Non mi sembra proprio naturale visto che $\hat \alpha$ giace sul piano perpendicolare all'asse $z$ mi immaginerei che $\Delta \hat \alpha$ debba essere sullo stesso piano, però immagino che sia più comodo dargli direzione $\hat z$ per poter scrivere $\vec v = \vec \omega xx \vec R$.

Grazie mille

[Shackle]

Sicuramente l'angolo di rotazione $\hat\alpha$ è nel piano perpendicolare all'asse, ma se devi rappresentarlo con un vettore, questo vettore deve darti la "visione" della rotazione : io vedo una rotazione se guardo il piano in direzione ad esso perpendicolare, non certo tangente. Altrimenti, come lo metteresti tu un vettore che "rappresenti" la rotazione ?

Comunque, è una convenzione comoda, te l'ho detto. Tanto vale adeguarsi...!

[RuCoLa1]

Sicuramente non penserei di metterlo su un altro asse ahaha. Va bene ho capito dai. Grazie del chiarimento.

[donald_zeka]

Oltre ad essere comodo definirlo in quel modo, c'è proprio un motivo analitico, infatti la derivata temporale di un vettore costante, supponiamo un versore, è ortogonale al vettore stesso, quindi si può scrivere $(dvecu)/(dt)=vecomega ^^ vecu$, per qualche $vecomega$ ortogonale a $vecu$, quindi risulta naturale definire $vecomega$ in quel modo, inoltre quella equazione che ho scritto è molto particolare, infatti non vale solo per un solo versore $vecu$, ma per qualsiasi terna di versori mutualmente ortogonali $(vece_1, vece_2, vece_3)$ esiste ed è unico un $vecomega$ tale che $(dvece_i)/(dt)=vecomega ^^ vece_i$.

[RuCoLa1]

"Vulplasir":Oltre ad essere comodo definirlo in quel modo, c'è proprio un motivo analitico, infatti la derivata temporale di un vettore costante, supponiamo un versore, è ortogonale al vettore stesso, quindi si può scrivere $(dvecu)/(dt)=vecomega ^^ vecu$, per qualche $vecomega$ ortogonale a $vecu$

Si tratta comunque di una convenzione, non esiste una dimostrazione di questa se ho capito bene.

[donald_zeka]

E' proprio quella la dimostrazione, e sfrutta la proprietà del prodotto vettoriale di generare un vettore ortogonale a entrambi i vettori su cui opera. Quel teorema si chiama teorema di Poisson, ed è fondamentale nei moti dei corpi rigidi. La velocità angolare infatti è un concetto dei moti rigidi, in cui non c'è solo un vettore che ruota, ma ce ne sono 3 mutualmente ortogonali che definiscono l'orientazione del corpo rigido rispetto a una terna fissa; capisci che, se con un solo vettore che ruota potresti fare anche a meno di quel $vecomega$, con 3 vettori non puoi farne a meno, perché quel $omega$ ti indica in modo immediato il modo in cui la terna solidale si sta muovendo rispetto alla terna fissa, e non c'è modo più sintetico di farlo, perché facendo come dici te avremmo bisogno di 3 vettori, uno per ogni vettore della terna solidale al corpo rigido, mentre con quel $omega$ abbiamo tutte le informazioni che ci servono in un solo vettore. Ovviamente quindi, se si utilizza $omega$ per i corpi rigidi, tanto vale usarlo anche per il moto di un punto materiale nel piano, senza complicarsi troppo la vita.

[RuCoLa1]

Okay grazie ad entrambi.