Velocità angolare della sbarra dopo l'urto
Sopra un piano orizzontale liscio è posto un disco, di massa m= 0.1 kg e raggio R= 10 cm, che ruota con velocità angolare costante ω= 40 rad/s attorno ad un asse verticale passante per il centro O. Una sbarretta di massa m e lunghezza R si muove sul piano con velocità costante v= 4 m/s lungo una linea retta passante per O. Ad un certo istante la sbarretta urta il bordo del disco e vi rimane attaccata in direzione radiale. calcolare la velocità angolare ω’ e la variazione di energia cinetica.
ho provato a svolgerlo in questo modo.
utilizzo il teorema degli assei paralleli (o di Steiner): il momento d'inerzia della sola sbarra per la rotazione intorno all'asse, è Y=1/12*mr^2 + mr^2= 1,08*10^-3.
Essendo ivece il momento d’inerzia del disco 1/2mr^2, l’energia cinetica del solo disco è 1/2i*w^2=0,4j.
Quindi la velocità angolare w1 del sistema disco sbarra dopo l’urto è [2*0,4j/(Y+1/2mr^2)]^(1/2)=22,5 rad/s.
Potete rispondere anche con descrizione...
ho provato a svolgerlo in questo modo.
utilizzo il teorema degli assei paralleli (o di Steiner): il momento d'inerzia della sola sbarra per la rotazione intorno all'asse, è Y=1/12*mr^2 + mr^2= 1,08*10^-3.
Essendo ivece il momento d’inerzia del disco 1/2mr^2, l’energia cinetica del solo disco è 1/2i*w^2=0,4j.
Quindi la velocità angolare w1 del sistema disco sbarra dopo l’urto è [2*0,4j/(Y+1/2mr^2)]^(1/2)=22,5 rad/s.
Potete rispondere anche con descrizione...
Risposte
Il disco è libero di muoversi sul piano, o l'asse è fisso?
L'asta ha ugual massa e lunghezza uguale al raggio del disco?
Fai attenzione: il termine "di trasporto" del momento di inerzia dell'asta, dopo che si è attaccata al disco, è errato.
Che tipo di urto è questo? Che cosa si conserva, che cosa si perde?
L'asta ha ugual massa e lunghezza uguale al raggio del disco?
Fai attenzione: il termine "di trasporto" del momento di inerzia dell'asta, dopo che si è attaccata al disco, è errato.
Che tipo di urto è questo? Che cosa si conserva, che cosa si perde?
Devo cercare la velocità angolare sia che il disco sia libero di muoversi sul piano, sia che l'asse è fisso.
l'asta ha ugual massa e lunghezza uguale al raggio del disco..
non so che tipo di urto è,sò soltanto che si conservazione della quantità di moto...
se potete spiegarmi voi sono in pallone totale...
aiutatemi vi prego...
l'asta ha ugual massa e lunghezza uguale al raggio del disco..
non so che tipo di urto è,sò soltanto che si conservazione della quantità di moto...
se potete spiegarmi voi sono in pallone totale...
aiutatemi vi prego...
Vediamo prima di stabilire per bene le caratteristiche geometriche e meccaniche del sistema.
Supponiamo dapprima che l'asse del disco sia fisso.
Quando l'asta si è conficcata radialmente nel disco, il momento di inerzia dell'asta rispetto all'asse di rotazione fisso del disco è la somma di due termini: momento di inerzia "proprio" $1/(12)mR^2$ e termine di "trasporto": per scrivere questo, consideriamo che la distanza del centro di massa dell'asta dall'asse è uguale a $R/2+R = 3/2R$. Perciò : $I_a = 1/(12)mR^2 + m(3/2R)^2 = ...=7/3mR^2$
Quindi il momento di inerzia del sistema disco+asta rispetto all'asse fisso è ora :
$I' = 1/2mR^2 + 7/3mR^2 = ....=17/6mR^2$-----(1)
L' urto è completamente anelastico perchè i due corpi rimangono attaccati. Però essendo l'asse fisso non c'è conservazione della quantità di moto, poichè l'asse "assorbe" l'urto, cioè ha una reazione di tipo impulsivo all'urto. Ma c'è invece conservazione del momento angolare rispetto all'asse, poichè non c'è momento di forze esterne.
Perciò sarà : $I\omega = I'\omega'$----(2)
dove al primo membro c'è il momento di inerzia e la velocità angolare del disco prima dell'urto, al secondo membro il momento d'inerzia dato dalla (1) e la velocità angolare del sistema dopo l'urto. L'asta ha momento angolarre nullo rispetto al cnetro del disco. Il sistema ruota "squilibrato" , poichè l'asse di rotazione, pur essendo "principale di inerzia", non è asse centrale : il centro di massa del sistema non è sull'asse. La velocità angolare è quindi : $ \omega' = (12)/(17) \omega$ ( se non ho sbagliato i conti...)
Ora hai la velocità angolare e il momento di inerzia dopo l'urto : è facile ricavare l'energia cinetica.
Supponiamo ora che l'asse del disco non sia fisso. Che cosa cambia rispetto a prima?
L'urto è sempre completamente anelastico. Ora però c'è conservazione della quantità di moto, e anche del momento angolare. Il sistema (disco+asta) dopo l'urto si muove di moto "roto-traslatorio".
La parte traslatoria del moto è semplice: la conservazione della quantità di moto ci dice che :$m*v = (m+m)*v'= 2m*v'$
Per quanto riguarda la parte rotatoria, consideriamo che dopo l'urto il sistema è "libero" perchè non ci sono altre forze o momenti agenti : esso quindi si metterà a ruotare attorno ad un asse libero di rotazione, cioè l'asse centrale di inerzia, perpendicolare al piano e passante per il centro di massa $C$ del sistema.
Perciò dobbiamo determinare la posizione di $C$ dopo l'urto. Detta $AB$ l'asta, con $A$ primo estremo e $B$ secondo estremo, cioè quello a contatto col disco, e detto $O$ il centro del disco, il cdm $C$ del sistema si trova all'interno del disco, sul prolungamento di $AB$, e risulta: $BC = 0.25R$ ; quindi $CO= 0.75R$.
Ci serve ora il momento centrale di inerzia del sistema rispetto all'asse passante per $C$, che è parallelo a quello passante per il centro $O$ del disco : prima avevamo determinato $I'$ dato dalla (1). Applicando il teor del trasporto all'inverso abbiamo allora che : $ I_C = I' - 2m*OC^2$ ----(3). Se ho fatto bene i conti, dovrebbe essere : $I_C = (41)/(24)*mR^2$ .
Applicando ancora la conservazione del momento angolare, deve essere : $I_C*\omega_C = I*\omega$ , da cui si può ricavare la vel angolare $\omega_C$ . (L'asta ha momento angolare nullo rispetto a $C$ )
Supponiamo dapprima che l'asse del disco sia fisso.
Quando l'asta si è conficcata radialmente nel disco, il momento di inerzia dell'asta rispetto all'asse di rotazione fisso del disco è la somma di due termini: momento di inerzia "proprio" $1/(12)mR^2$ e termine di "trasporto": per scrivere questo, consideriamo che la distanza del centro di massa dell'asta dall'asse è uguale a $R/2+R = 3/2R$. Perciò : $I_a = 1/(12)mR^2 + m(3/2R)^2 = ...=7/3mR^2$
Quindi il momento di inerzia del sistema disco+asta rispetto all'asse fisso è ora :
$I' = 1/2mR^2 + 7/3mR^2 = ....=17/6mR^2$-----(1)
L' urto è completamente anelastico perchè i due corpi rimangono attaccati. Però essendo l'asse fisso non c'è conservazione della quantità di moto, poichè l'asse "assorbe" l'urto, cioè ha una reazione di tipo impulsivo all'urto. Ma c'è invece conservazione del momento angolare rispetto all'asse, poichè non c'è momento di forze esterne.
Perciò sarà : $I\omega = I'\omega'$----(2)
dove al primo membro c'è il momento di inerzia e la velocità angolare del disco prima dell'urto, al secondo membro il momento d'inerzia dato dalla (1) e la velocità angolare del sistema dopo l'urto. L'asta ha momento angolarre nullo rispetto al cnetro del disco. Il sistema ruota "squilibrato" , poichè l'asse di rotazione, pur essendo "principale di inerzia", non è asse centrale : il centro di massa del sistema non è sull'asse. La velocità angolare è quindi : $ \omega' = (12)/(17) \omega$ ( se non ho sbagliato i conti...)
Ora hai la velocità angolare e il momento di inerzia dopo l'urto : è facile ricavare l'energia cinetica.
Supponiamo ora che l'asse del disco non sia fisso. Che cosa cambia rispetto a prima?
L'urto è sempre completamente anelastico. Ora però c'è conservazione della quantità di moto, e anche del momento angolare. Il sistema (disco+asta) dopo l'urto si muove di moto "roto-traslatorio".
La parte traslatoria del moto è semplice: la conservazione della quantità di moto ci dice che :$m*v = (m+m)*v'= 2m*v'$
Per quanto riguarda la parte rotatoria, consideriamo che dopo l'urto il sistema è "libero" perchè non ci sono altre forze o momenti agenti : esso quindi si metterà a ruotare attorno ad un asse libero di rotazione, cioè l'asse centrale di inerzia, perpendicolare al piano e passante per il centro di massa $C$ del sistema.
Perciò dobbiamo determinare la posizione di $C$ dopo l'urto. Detta $AB$ l'asta, con $A$ primo estremo e $B$ secondo estremo, cioè quello a contatto col disco, e detto $O$ il centro del disco, il cdm $C$ del sistema si trova all'interno del disco, sul prolungamento di $AB$, e risulta: $BC = 0.25R$ ; quindi $CO= 0.75R$.
Ci serve ora il momento centrale di inerzia del sistema rispetto all'asse passante per $C$, che è parallelo a quello passante per il centro $O$ del disco : prima avevamo determinato $I'$ dato dalla (1). Applicando il teor del trasporto all'inverso abbiamo allora che : $ I_C = I' - 2m*OC^2$ ----(3). Se ho fatto bene i conti, dovrebbe essere : $I_C = (41)/(24)*mR^2$ .
Applicando ancora la conservazione del momento angolare, deve essere : $I_C*\omega_C = I*\omega$ , da cui si può ricavare la vel angolare $\omega_C$ . (L'asta ha momento angolare nullo rispetto a $C$ )
per quanto riguarda la variazione di energia cinetica cosa devo considerare...
l'immagine del problema...
"reanto":
per quanto riguarda la variazione di energia cinetica cosa devo considerare...
L'immagine non occorre. La variazione di energia cinetica del sistema è la differenza tra quella prima dell'urto e quello dopo l'urto. Spero tu sappia calcolare i relativi termini : moto traslatorio..moto rotatorio...
mi potete gentilmente ricavare la variazione di energia cinetica..
L'en cinetica totale iniziale, in entrambi i casi ( asse fisso, asse mobile) è data dalla somma di due termini :
1) en cinetica dell'asta in moto traslatorio con vel $v$ ; 2) en cinetica del disco che ruota attorno all'asse centrale con vel angolare $\omega$
L'en cinetica finale, nel primo caso ( asse fisso) è data dall'energia del solido rotante sempre attorno allo stesso asse, ma con momento di inerzia e velocità angolare diversi, calcolati come detto.
Nel secondo caso, il solido si muove di moto rototraslatorio : devi sommare l'en cinetica "traslatoria"del solido, come se in $C$ fosse concentrata tutta la massa, e l'en cinetica di rotazione attorno all'asse passante per $C$, introducendo anche qui il momento di inerzia e la vel angolare finale.
Dai, che non è difficile.
1) en cinetica dell'asta in moto traslatorio con vel $v$ ; 2) en cinetica del disco che ruota attorno all'asse centrale con vel angolare $\omega$
L'en cinetica finale, nel primo caso ( asse fisso) è data dall'energia del solido rotante sempre attorno allo stesso asse, ma con momento di inerzia e velocità angolare diversi, calcolati come detto.
Nel secondo caso, il solido si muove di moto rototraslatorio : devi sommare l'en cinetica "traslatoria"del solido, come se in $C$ fosse concentrata tutta la massa, e l'en cinetica di rotazione attorno all'asse passante per $C$, introducendo anche qui il momento di inerzia e la vel angolare finale.
Dai, che non è difficile.
per quanto riguarda la variazione di energia cinetica mi potete scrivere le formule vi prego non sto capendo...inoltre cosa intendi con il termine "trasporto"????
per quanto riguarda la velocità angolare per l'asse fisso non é ω′=3/17ω???
Si, avevo sbagliato io a fare i conti, hai ragione tu, è proprio quel valore che dici, ma ho già buttato via gli appunti...
Col termine " trasporto" si intende il termine aggiuntivo che si somma al momento d' inerzia proprio quando applichi il teorema di Huygens sugli assi paralleli.
Dai, dai, che ce la fai! Te l'ho spiegato tutto, l'esercizio !
Col termine " trasporto" si intende il termine aggiuntivo che si somma al momento d' inerzia proprio quando applichi il teorema di Huygens sugli assi paralleli.
Dai, dai, che ce la fai! Te l'ho spiegato tutto, l'esercizio !
mi potete scrivere le formule della variazione di energia cinetica...vi prego non sto capendo...
rispondete vi prego..mi serve per domani che ho l'esame di riparazione...
Perché nel calcolo della velocità del centro di massa si considera soltanto la componente radiale? Non dovrebbe esserci anche m*omega*R = 2m*v dove v è la velocità del centro di massa tangenziale ?
Salve a tutti!
Rileggendo la soluzione del problema non riesco a capire perché alla fine si eguaglino i due momenti angolari rispetto a due poli diversi.
Non si dovrebbe calcolare il momento angolare del disco iniziale rispetto al centro di massa del sistema e porlo uguale a quello finale?
Grazie
Rileggendo la soluzione del problema non riesco a capire perché alla fine si eguaglino i due momenti angolari rispetto a due poli diversi.
Non si dovrebbe calcolare il momento angolare del disco iniziale rispetto al centro di massa del sistema e porlo uguale a quello finale?
Grazie
"Maschinna":
Salve a tutti!
Rileggendo la soluzione del problema non riesco a capire perché alla fine si eguaglino i due momenti angolari rispetto a due poli diversi.
Non si dovrebbe calcolare il momento angolare del disco iniziale rispetto al centro di massa del sistema e porlo uguale a quello finale?
Grazie
Ti riferisci al caso in cui l'asse non è fissa?
@vicia Non è una cosa molto furba riaprire discussioni vecchie di mesi e anni...
Se è un problema non lo faccio più. Era magari per qualcuno che ne avrà bisogno in futuro. Scusatemi
No, non è un problema, è che trattandosi di post vecchi è molto probabile che nessuno ti risponda...
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