Velocità angolare corpo rigido
Ciao a tutti! Avrei bisogno di un chiarimento riguardo il concetto di velocità angolare come vettore, per i corpi rigidi.
Scrivendo $vec \omega=(\omega_x,\omega_y,\omega_z)$ stiamo semplicemente esprimendo il vettore velocità angolare in un riferimento cartesiano, ma questo non vuol dire che la 'rotazione generata' da $vec \omega$ (cioè rotazione con frequenza $|vec \omega|$ attorno all'asse $hat \omega$) è uguale a quella generata dalla somma vettoriale delle 3 velocità angolari $\omega_x hat e_x+\omega_y hat e_y+\omega_z hat e_z$ (cioè la composizione della rotazione con frequenza $\omega_x$ attorno all'asse $hat e_x$ e lo stesso per $y$ e $z$) è corretto?
Forse scritta così può sembrare assurda, provo a esprimermi meglio con un esempio:
a)Un cilindro ruota attorno al proprio asse $hat a$ (che forma un angolo con l'asse verticale z) con velocità angolare $vec \omega=\omega hat a$ e precede attorno all'asse z con velocità angolare $vec \Omega=\Omega hat e_z$
b) Lo stesso cilindro ruota con frequenza $|vec \omega_r|=|vec \omega +vec \Omega|$ attorno all'asse $ hat \omega_r$ (i punti del cilindro descrivono delle circonferenze attorno a $ hat \omega_r$)
Mi sembra che le due rotazioni siano completamente diverse, nonostante i punti del cilindro nei due casi abbiano la stessa velocità angolare. Volevo chiedervi se è effettivamente così e di conseguenza le componenti della velocità angolare non sono le velocità angolari lungo gli assi del sistema di riferimento, quindi non si possono sommare alla leggera le velocità angolari.
Non capisco se sto dicendo una cosa completamente banale, se non ci ho capito nulla oppure se la questione non è così semplice , dato che non ho trovato da nessuna parte questa cosa scritta esplicitamente nè mi ricordo di averla letta sui libri che ho studiato
Grazie!
Scrivendo $vec \omega=(\omega_x,\omega_y,\omega_z)$ stiamo semplicemente esprimendo il vettore velocità angolare in un riferimento cartesiano, ma questo non vuol dire che la 'rotazione generata' da $vec \omega$ (cioè rotazione con frequenza $|vec \omega|$ attorno all'asse $hat \omega$) è uguale a quella generata dalla somma vettoriale delle 3 velocità angolari $\omega_x hat e_x+\omega_y hat e_y+\omega_z hat e_z$ (cioè la composizione della rotazione con frequenza $\omega_x$ attorno all'asse $hat e_x$ e lo stesso per $y$ e $z$) è corretto?
Forse scritta così può sembrare assurda, provo a esprimermi meglio con un esempio:
a)Un cilindro ruota attorno al proprio asse $hat a$ (che forma un angolo con l'asse verticale z) con velocità angolare $vec \omega=\omega hat a$ e precede attorno all'asse z con velocità angolare $vec \Omega=\Omega hat e_z$
b) Lo stesso cilindro ruota con frequenza $|vec \omega_r|=|vec \omega +vec \Omega|$ attorno all'asse $ hat \omega_r$ (i punti del cilindro descrivono delle circonferenze attorno a $ hat \omega_r$)
Mi sembra che le due rotazioni siano completamente diverse, nonostante i punti del cilindro nei due casi abbiano la stessa velocità angolare. Volevo chiedervi se è effettivamente così e di conseguenza le componenti della velocità angolare non sono le velocità angolari lungo gli assi del sistema di riferimento, quindi non si possono sommare alla leggera le velocità angolari.
Non capisco se sto dicendo una cosa completamente banale, se non ci ho capito nulla oppure se la questione non è così semplice , dato che non ho trovato da nessuna parte questa cosa scritta esplicitamente nè mi ricordo di averla letta sui libri che ho studiato
Grazie!
Risposte
Le velocità angolari di un corpo rigido si compongono.
http://web.math.unifi.it/~ricci/sisdin/ ... rigidi.pdf
Certo, nulla va fatto alla leggera.
http://web.math.unifi.it/~ricci/sisdin/ ... rigidi.pdf
Certo, nulla va fatto alla leggera.
Ma le situazioni a) e b) che ho descritto sono effettivamente due cose diverse? O sono io che non riesco a visualizzare che si tratta dello stesso identico moto? A me sembrano molto diverse
Devi chiarirti bene le idee. Prima di tutto , non parlare di "frequenza" , dici semplicemente "velocità angolare" . Poi, che cosa vuol dire :
I punti del cilindro non hanno una velocità angolare . LA velocità angolare , se c'è , compete al corpo rigido, non ai punti singoli, e può variare sia rispetto al corpo che rispetto allo spazio assoluto a cui si riferisce il moto del corpo. La relazione cinematica fondamentale tra le velocità assolute di due punti $P$ e $Q$ di un corpo rigido è la seguente (che alcuni chiamano equazione di Poisson) :
$vecv_P = vecv_Q + vecomega times (P-Q) $
Se un corpo a struttura giroscopica ha una velocità angolare di spin $vec\Omega$ , e l'asse di spin precede rispetto a un certo asse $z$ con velocità angolare $vecomega_z =omega_zhatk$ , la velocità angolare assoluta che ne risulta è il risultante vettoriale delle due. Per vederlo in maniera semplice, supponi che il punto $Q$ sia fisso, come ad es il punto di appoggio dell'asse di rotazione della trottola sul piano. Allora $vecv_Q =0 $ . Un punto $P$ del corpo, per effetto di $vecOmega$ , ha , in un certo istante :
$vecvv_P(1) = vecOmega times (P-Q) $
nello stesso istante , per effetto di $vecomega_z$ , ha velocita :
$vecvv_P(2) = vecomega_z times (P-Q) $
sommando le due velocità assolute di $P$ si ha una velocita lineare risultante :
$vecv_P =vecvv_P(1) + vecv_P(2) = vecOmega times (P-Q)+vecomega_z times (P-Q) =(vecOmega+vecomega_z)times (P-Q) = vecomega times (P-Q) $
dove $vecomega= (vecOmega+vecomega_z) $ è la velocità angolare risultante, in quell'istante.
Se vuoi approfondire tante questioni , oltre al link che ti ho già dato ( metto dei link affinché la dispensa sia letta...) te ne do un altro , preso da un testo di David Morin , sul momento angolare .
nonostante i punti del cilindro nei due casi abbiano la stessa velocità angolare.
I punti del cilindro non hanno una velocità angolare . LA velocità angolare , se c'è , compete al corpo rigido, non ai punti singoli, e può variare sia rispetto al corpo che rispetto allo spazio assoluto a cui si riferisce il moto del corpo. La relazione cinematica fondamentale tra le velocità assolute di due punti $P$ e $Q$ di un corpo rigido è la seguente (che alcuni chiamano equazione di Poisson) :
$vecv_P = vecv_Q + vecomega times (P-Q) $
Se un corpo a struttura giroscopica ha una velocità angolare di spin $vec\Omega$ , e l'asse di spin precede rispetto a un certo asse $z$ con velocità angolare $vecomega_z =omega_zhatk$ , la velocità angolare assoluta che ne risulta è il risultante vettoriale delle due. Per vederlo in maniera semplice, supponi che il punto $Q$ sia fisso, come ad es il punto di appoggio dell'asse di rotazione della trottola sul piano. Allora $vecv_Q =0 $ . Un punto $P$ del corpo, per effetto di $vecOmega$ , ha , in un certo istante :
$vecvv_P(1) = vecOmega times (P-Q) $
nello stesso istante , per effetto di $vecomega_z$ , ha velocita :
$vecvv_P(2) = vecomega_z times (P-Q) $
sommando le due velocità assolute di $P$ si ha una velocita lineare risultante :
$vecv_P =vecvv_P(1) + vecv_P(2) = vecOmega times (P-Q)+vecomega_z times (P-Q) =(vecOmega+vecomega_z)times (P-Q) = vecomega times (P-Q) $
dove $vecomega= (vecOmega+vecomega_z) $ è la velocità angolare risultante, in quell'istante.
Se vuoi approfondire tante questioni , oltre al link che ti ho già dato ( metto dei link affinché la dispensa sia letta...) te ne do un altro , preso da un testo di David Morin , sul momento angolare .
Hai ragione mi sono espresso male dicendo che i punti del cilindro hanno la stessa velocità angolare.
La dispensa che mi hai mandato all'inizio l'avevo già letta tempo fa, e la sto rileggendo dato che me l'hai linkata.
Per quanto riguarda la domanda iniziale, che le velocità angolari si compongono mi è chiaro, non è questo quello che mi crea dei dubbi.
La cosa che mi sembra strana è che, riprendendo l'esempio fatto da te, un conto è dire che la trottola ha velocità angolare di spin e velocità angolare di precessione, dunque la velocità di un generico punto P è quella da te indicata $vec v_P= vec \omega \times \(vec P-vec Q)$.
Altro discorso è dire che la trottola ha velocità angolare $vec \omega$ e basta, nonostante la velocità dello stesso punto P sia sempre $vec v_P$; in questo secondo caso la trottola non ha velocità di spin, quindi la proiezione di $vec omega$ sull'asse della trottola non indica niente di fisico (al contrario di quello che accade ad esempio con la proiezione della velocità lineare lungo un asse). Ecco, quest'ultima affermazione è corretta?
La dispensa che mi hai mandato all'inizio l'avevo già letta tempo fa, e la sto rileggendo dato che me l'hai linkata.
Per quanto riguarda la domanda iniziale, che le velocità angolari si compongono mi è chiaro, non è questo quello che mi crea dei dubbi.
La cosa che mi sembra strana è che, riprendendo l'esempio fatto da te, un conto è dire che la trottola ha velocità angolare di spin e velocità angolare di precessione, dunque la velocità di un generico punto P è quella da te indicata $vec v_P= vec \omega \times \(vec P-vec Q)$.
Altro discorso è dire che la trottola ha velocità angolare $vec \omega$ e basta, nonostante la velocità dello stesso punto P sia sempre $vec v_P$; in questo secondo caso la trottola non ha velocità di spin, quindi la proiezione di $vec omega$ sull'asse della trottola non indica niente di fisico (al contrario di quello che accade ad esempio con la proiezione della velocità lineare lungo un asse). Ecco, quest'ultima affermazione è corretta?
"Cuppls":
La cosa che mi sembra strana è che, riprendendo l'esempio fatto da te, un conto è dire che la trottola ha velocità angolare di spin e velocità angolare di precessione, dunque la velocità di un generico punto P è quella da te indicata $vec v_P= vec \omega \times \(vec P-vec Q)$.
Altro discorso è dire che la trottola ha velocità angolare $vec \omega$ e basta, nonostante la velocità dello stesso punto P sia sempre $vec v_P$; in questo secondo caso la trottola non ha velocità di spin, quindi la proiezione di $vec omega$ sull'asse della trottola non indica niente di fisico (al contrario di quello che accade ad esempio con la proiezione della velocità lineare lungo un asse). Ecco, quest'ultima affermazione è corretta?
No, non lo e' . La proiezione di $vecomega$ sull'asse della trottola da' la velocita' angolare di spin, la proiezione sulla direzione del vettore momento angolare (che il Landau indica con $M$ , vedi pagine allegate) da' la velocita angolare di precessione . Con i simboli adottati dal Landau :
$Omega_3 = M_3/I_3 = M/I_3 cos theta$
$Omega_(pr) = M/I_1 $
Nota che il Landau adopera le parentesi quadre per indicare il prodotto vettoriale. LE pagine sono prese dal testo "Meccanica" , del corso di fisica teorica di Landau- Lifshitz :
"Shackle":
No, non lo e' . La proiezione di $vecomega$ sull'asse della trottola da' la velocita' angolare di spin, la proiezione sulla direzione del vettore momento angolare (che il Landau indica con $M$ , vedi pagine allegate) da' la velocita angolare di precessione...
Vale anche in questo caso col manubrio rigido?
considerando l'asta massiva (un cilindretto ad esempio), posso dire che la proiezione di $vec \omega$ sulla retta che collega le due masse $m$ sia la velocità angolare di spin del cilindro?
A me sembra molto diverso questo moto rispetto a un moto in cui si compongono una velocità angolare di spin e una di precessione attorno al momento angolare $vec P$ , in modo che la risultante delle due abbia lo stesso modulo di e sia diretta come $vec \omega$ .
Nel primo caso le masse descrivono la circonferenza tratteggiata di raggio $dsin\theta$, nel secondo caso le masse (oltre a ruotare su se stesse) descrivono delle circonferenze di raggio $d$ sul piano ortogonale a $vec P$; non riesco proprio a visualizzare come le due cose possano essere uguali.
Cosa c'è di sbagliato nel mio ragionamento?
Devi chiarirti le idee, te l'ho gia' detto. Stai confondendo due situazioni diverse.
Ritorniamo alle pagine del Landau, e alla sua figura. E' chiaro di che cosa stiamo parlando? Stiamo parlando del moto di un corpo rigido con un punto fisso, che e' origine delle coordinate e polo dei momenti , e spesso (ma non e' obbligatorio) si assume coincidente col CM del corpo. Perché ? Nel caso più generale di moto di un corpo rigido libero, la parte traslatoria del moto si tratta applicando la prima equazione cardinale della dinamica, quella che dice che il CM si muove come se ad esso fossero applicate tutte le forze agenti, e quindi il loro risultante. E questo da' modo di calcolare l'accelerazione del CM , e cosi via. Una volta sistemato il moto del CM, si tratta la rotazione del rigido rispetto al CM, considerandolo come punto fisso. La scelta del CM come polo non e' obbligatoria , ma semplifica la vita ( che già è complicata qui: equazioni di Eulero) , visto che la parte traslatoria e' gia' stata trattata; ma ora non voglio dilungarmi su questo, la dispensa di Morin e' molto dettagliata al riguardo , te la raccomando. Ti faccio notare, per ultimo, che nella pagina di Landau il momento angolare del corpo, rispetto al polo, e' il vettore $vecM$ fisso nello spazio assoluto , perché non si considera alcun momento di forze esterne che lo faccia variare. A questo caso si riferiscono le mie parole.
Il caso che invece proponi tu , con l'immagine del manubrio saldato con angolo $theta$ all'asse verticale , e' diverso(c’è una buona trattazione sul Menc. Silv. ) . Si tratta di un moto "rotatorio con un asse fisso" . L'asse di rotazione e' obbligato, qui, ed e' quello verticale , supportato agli estremi da una coppia di cuscinetti, che impediscono all'asse qualunque rotazione nel piano "del foglio" , e per fare cio' devono esercitare una coppia di forze $(vecf , -vecf)$. Ma un momento di forze esterne causa variazione del momento angolare ( indicato in figura con $vecP$ ) , il quale infatti varia perche ruota , nello spazio assoluto, descrivendo un cono, di semiangolo al vertice $90º-theta$ . Si può scomporre $vecP$ in una direzione assiale e una ortogonale: è questa che ruota a causa del momento delle forze esterne. Guarda sul Menc.Silv. per la parte analitica.
Non e' il caso di parlare , qui, di spin , poiché il corpo non e' libero con un punto fisso, ha un asse fisso. Tuttavia, puoi scomporre $vecomega$ come ti pare, ma non ha molto senso. Hai detto che ti sembra un caso diverso : certamente e' un caso diverso!
Spero sia un po' piu chiaro ora.
Ritorniamo alle pagine del Landau, e alla sua figura. E' chiaro di che cosa stiamo parlando? Stiamo parlando del moto di un corpo rigido con un punto fisso, che e' origine delle coordinate e polo dei momenti , e spesso (ma non e' obbligatorio) si assume coincidente col CM del corpo. Perché ? Nel caso più generale di moto di un corpo rigido libero, la parte traslatoria del moto si tratta applicando la prima equazione cardinale della dinamica, quella che dice che il CM si muove come se ad esso fossero applicate tutte le forze agenti, e quindi il loro risultante. E questo da' modo di calcolare l'accelerazione del CM , e cosi via. Una volta sistemato il moto del CM, si tratta la rotazione del rigido rispetto al CM, considerandolo come punto fisso. La scelta del CM come polo non e' obbligatoria , ma semplifica la vita ( che già è complicata qui: equazioni di Eulero) , visto che la parte traslatoria e' gia' stata trattata; ma ora non voglio dilungarmi su questo, la dispensa di Morin e' molto dettagliata al riguardo , te la raccomando. Ti faccio notare, per ultimo, che nella pagina di Landau il momento angolare del corpo, rispetto al polo, e' il vettore $vecM$ fisso nello spazio assoluto , perché non si considera alcun momento di forze esterne che lo faccia variare. A questo caso si riferiscono le mie parole.
Il caso che invece proponi tu , con l'immagine del manubrio saldato con angolo $theta$ all'asse verticale , e' diverso(c’è una buona trattazione sul Menc. Silv. ) . Si tratta di un moto "rotatorio con un asse fisso" . L'asse di rotazione e' obbligato, qui, ed e' quello verticale , supportato agli estremi da una coppia di cuscinetti, che impediscono all'asse qualunque rotazione nel piano "del foglio" , e per fare cio' devono esercitare una coppia di forze $(vecf , -vecf)$. Ma un momento di forze esterne causa variazione del momento angolare ( indicato in figura con $vecP$ ) , il quale infatti varia perche ruota , nello spazio assoluto, descrivendo un cono, di semiangolo al vertice $90º-theta$ . Si può scomporre $vecP$ in una direzione assiale e una ortogonale: è questa che ruota a causa del momento delle forze esterne. Guarda sul Menc.Silv. per la parte analitica.
Non e' il caso di parlare , qui, di spin , poiché il corpo non e' libero con un punto fisso, ha un asse fisso. Tuttavia, puoi scomporre $vecomega$ come ti pare, ma non ha molto senso. Hai detto che ti sembra un caso diverso : certamente e' un caso diverso!
Spero sia un po' piu chiaro ora.
Ok ho capito dove facevo confusione.
Nella dispensa che mi hai linkato, Morin spiega molto dettagliatamente anche i significati dei vari modi di proiettare velocità angolare: ad esempio il significato della proiezione sull'asse $x_1$ del disegno del Landau, che è la velocità angolare istantanea della trottola intorno all'asse $x_1$ con frequenza (a mia difesa anche Morin usa varie volte questo linguaggio
) $vec \omega *\hat x_1$, solo che non visualizziamo questo moto dato che l'asse $x_1$ si sposta continuamente.
Ti ringrazio per la tua pazienza Shackle e per la dispensa di Morin che è stupenda!
Nella dispensa che mi hai linkato, Morin spiega molto dettagliatamente anche i significati dei vari modi di proiettare velocità angolare: ad esempio il significato della proiezione sull'asse $x_1$ del disegno del Landau, che è la velocità angolare istantanea della trottola intorno all'asse $x_1$ con frequenza (a mia difesa anche Morin usa varie volte questo linguaggio
) $vec \omega *\hat x_1$, solo che non visualizziamo questo moto dato che l'asse $x_1$ si sposta continuamente.Ti ringrazio per la tua pazienza Shackle e per la dispensa di Morin che è stupenda!
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