Vel. angolare

[Malan1]

All’istante t i punti A = (3, 1, 0), B = (−2, −1, 1), C = (1, 1, −3) di
un sistema rigido hanno velocità istantanee:
vA = −e1 − 2e2 − e3, vB = −2e1 + e2, vC = −4e1 + 6e2 + e3
Determinare all’istante t il vettore velocità angolare istantanea?

Ho pensato che si potesse risolvere usando il teorema di Poisson, facendo un sistema con:
vA = vB + ω × (OA − OB)
vB = vC + ω × (OB − OC)
vC = vA + ω × (OC − OA)

ma non riesco a ricavare ω. Non capisco dove sbaglio nel risolverve. Mi aiutate per favore?

[Shackle]

Ora sono col telefonino, posso scrivere poco e male. Il vettore $vecomega$ ha tre componenti, giusto? Moltiplica scalarmente ognuna delle tre equazioni che hai scritto per questo vettore. I tre prodotti misti si annullano. Alla fine dovresti avere un sistema di tre equazioni nelle tre incognite, cioè le componenti di $vecomega$ .
Ti ricordo che il prodotto scalare di due vettori è uguale alla somma dei prodotti delle componenti con stesso indice.

Vai!!

[Malan1]

"Shackle":Ora sono col telefonino, posso scrivere poco e male. Il vettore $vecomega$ ha tre componenti, giusto? Moltiplica scalarmente ognuna delle tre equazioni che hai scritto per questo vettore. I tre prodotti misti si annullano. Alla fine dovresti avere un sistema di tre equazioni nelle tre incognite, cioè le componenti di $vecomega$ .
Ti ricordo che il prodotto scalare di due vettori è uguale alla somma dei prodotti delle componenti con stesso indice.

Vai!!

Ho provato a moltiplicare omega a sinistra (la differenza delle velocità)e a destra (la distanza), ottengo una cosa come, esempio della prima equazione:
1 w1 -3w2 -1w3 = (w1, w2, w3) ^ (5w1, 2w2,1w3)

facendo il prodotto vettoriale (^) ottengo :
1 w1 -3w2 -1w3 = ( w2w3-2w2w3 , -w1w3 +5w1w3 , w1 2w2 -5w1w2 )

dovrei fare lo stesso per le altre? e poi? scusa ma non ne esco da questo esercizio

[Shackle]

Non ne esci perché non hai capito che cosa ti ho detto. Devi fare tre prodotti scalari, non vettoriali. Hai bisogno di un approfondimento del calcolo vettoriale.
E poi, scrivi le formule con l’editor appropriato, per favore.

[Shackle]

Oppure, più semplicemente, siccome le coordinate di A,B,C, sono riferite ad una certo sistema di coordinate $(O,x,y,z)$ , del tutto imprecisato, e in quell’istante son note pure le velocità dei tre punti sempre rispetto a quel sistema, io posso anche dire che :

$vecv_A = vecomega\timesvecr_A$

e analoghe per gli altri due punti. Si intende che $vec(OA) = vecr_A$ .
Poi si può sviluppare il prodotto vettoriale come determinante simbolico (spero tu sappia di che cosa si tratta):

$vecomega \times vec(OA) = |(hati,hatj,hatk),(omega_x,omega_y,omega_z),(OA_x, OA_y, OA_z) | $

Infatti non si evince, dalla traccia che hai scritto, se e come si muove il sistema di coordinate. Perciò nessuno impedisce di supporre che sia “fisso” . Comunque, per essere più generale, puoi usare anche le formule di Poisson scritte considerando il moto relativo di un punto rispetto a un altro, e sempre sviluppando il prodotto vettoriale col determinante simbolico.

Alla fine, hai sempre un sistema di tre equazioni nelle tre incognite, cioe le componenti di $vecomega$ .