Varifica esercizio guida circolare

[pallabo]

Salve, ho svolto un esercizio di fisica 1, ma non ho la soluzione, per cui posto qui testo e svolgimento sperando che qualcuno possa dirmi se ho fatto tutto bene o ho sbagliato qualcosa

Testo: Un corpo di massa m= 500 g, viene lanciato, con una velocità di modulo v0, verso una guida circolare liscia di R = 0,7m. Il blocco, prima di raggiungere la guida circolare, percorre un tratto orizzontale scabro di lunghezza d= 1,5 m e d coefficiente di attrito dinamico uk = 0,25. Determinare:
• la minima velocità v0 che la massa deve avere affinché compia un giro completo;
• la reazione della guida nel punto C corrispondente ad un angolo di 60° per la velocità v0 calcolata al punto precedente.

Svolgimento:
Ho chiamato A il punto dove il corpo si trova inizialmente, B il punto in cui inizia la guida circolare e C la cima della stessa.
Ho calcolato la forza di attrito del corpo nel tratto d: $F_(ad) = u_k * (mg) = 0.25*0.5*9.8 = 1.23N$
Da questa Forza ho ricavato l'accelerazione: $a = (F_(ad))/m = (1.23)/(0.5) = 2.45m/s^2$
Ho posto quindi: $F_p = F_c + F_v$ (in ordine forza peso, centrifuga, vincolare) e visto che chiede la velocità minima ho posto la vincolare = 0, per cui dalla relazione ricavo: $mg=(mV_b^2)/R => V_b^2 = gR = 2,62m/s$
Ho poi usato la formula $v^2 = v_0^2+2a(x-x_0)$ per trovarmi la velocità iniziale (mettendo come accelerazione il valore trovato prima col segno -) e mi sono trovato che $V_a = 3,25m/s$

Passando poi al secondo punto..
Ho utilizzato ancora la relazione $F_c = F_p + F_v$ da cui risulta in questo caso:
$F_p = mgsen(30°)$
$F_c = (mV_b^2)/R$
ho svolto i calcoli..e come risultato finale mi viene $F_v = 5,09N$

Che ne dite?

[donald_zeka]

Mi sembra ci sia qualche errore.

Sia $v_a$ la velocità con cui parte il corpo dal punto $A$. sia $v_b$ la velocità con cui il corpo entra nella guida nel punto B e $v_c$ la velocità che il corpo ha in cima alla guida.

Per determinare la velocità minima $v_c$ che il corpo deve avere in cima alla guida per superarla, si usa l'equazione

$P+N=mv_c^2/R$ essendo P la forza peso e N la reazione vincolare, ponendo N=0 si ha:

$v_c^2=gR$

Per trovare la velocità $v_b$ si una la conservazione dell'energia:

$1/2mv_b^2=1/2mv_c^2+mg2R$

E ancora per trovare la velocità richiesta dal problema, ossia v_a si usa ancora la conservazione dell'energia:

$1/2mv_a^2-mu_kmg=1/2mv_b^2=1/2mv_c^2+mg2R=5/2mgR$

Da cui:

$v_a=sqrt(5gR)$

Quando risolvi un problema di fisica non devi mai mettere i valori numerici prima di aver completamente risolto il problema con il calcolo letterale. Come vedi di tutti i valori numerici che tu hai trovato, nessuno era necessario. Un problema di fisica è completamente risolto quando si è trovata l'equazione finale in forma letterale, a nessuno interessa il valore numerico effettivo.

[pallabo]

Grazie Mille Vulplasir, vedrò di seguire il tuo consiglio nella risoluzione dei prossimi esercizi!
Pensavo che con attrito non si potesse utilizzare la conservazione dell'energia, invece basta semplicemente togliere l'energia dissipata e in effetti pensandoci ha senso..

Mi sai poi dire se il ragionamento per quanto riguarda il secondo punto è esatto?

[donald_zeka]

Non so dirti se è giusto o no perché non hai postato i calcoli, comunque si dovrebbe fare così:

Sia $N$ la reazione vincolare della guida e sia $mgsin(pi/6)$ la componente della forza peso perpendiolare alla guida e sia $v$ la velocità del corpo in quel punto della guida, allora vale:

$N-mgsin(pi/6)=(mv^2)/R$

Per trovare $v$ si usa ancora la conservazione dell'energia:

$1/2mv_a^2-mu_kmg=1/2mv^2+mgR(1-cos(pi/3))$

Da cui ti ricavi $v$ e quindi ti trovi $N$

[pallabo]

"Vulplasir":
E ancora per trovare la velocità richiesta dal problema, ossia v_a si usa ancora la conservazione dell'energia:

$1/2mv_a^2-mu_kmg=1/2mv_b^2=1/2mv_c^2+mg2R=5/2mgR$

Scusami ma l'energia dissipata non andrebbe sottratta all'energia nel punto B?
Cioé così:
$1/2mv_a^2=1/2mv_b^2-mu_kmg$

Secondo dubbio:

allora vale:

$N-mgsin(pi/6)=(mv^2)/R$

Per trovare $v$ si usa ancora la conservazione dell'energia:

$1/2mv_a^2-mu_kmg=1/2mv^2+mgR(1-cos(pi/3))$

Da cui ti ricavi $v$ e quindi ti trovi $N$

quel $mgR(1-cos(pi/3))$ è l'energia potenziale, ma non capisco bene come funziona il calcolo dell'altezza se non chiedo troppo potresti spiegarmelo?

[donald_zeka]

Scusami ma l'energia dissipata non andrebbe sottratta all'energia nel punto B?

No perché il punto B ha energia minore del punto A dato che lungo il percorso ha agito la forza d'attrito. Il modo più corretto di agre è questo: data una forza dissipativa che agisce lungo un percorso da A a B, la variazione di energia tra B e A è uguale al lavoro svolto dalla forza dissipativa:

$E(B)-E(A)=L_(diss)$

Nel nostro caso il lavoro svolto dalla forza d'attrito è $L_(diss)=-mu_kmgd$ (negativo perché si oppone al moto) e quindi si ha:

$1/2mv_b^2-1/2mv_a^2=-mu_kmgd$

Che è equivalente a quello che ho scritto io.

Riguardo all'energia potenziale, è solo trigonometria. disegna l'angolo di 60 gradi, vedi che la componente del raggio che forma l'angolo di 60 grado rispetto alla verticale è Rcos(60), e quindi l'altezza del punto è $R-Rcos(60)$

[pallabo]

Grazie mille per tutti i chiarimenti!

[pallabo]

Scusate ma all'improvviso mi ha assalito un dubbio..
per quale motivo allora il problema fornisce la lunghezza d se non ce n'è bisogno per la risoluzione?

Edit: ok, forse quando hai scritto
$1/2mv_a^2-mu_kmg=1/2mv_b^2$
hai semplicemente omesso la d vicino alla forza di attrito
quindi sarebbe:
$1/2mv_a^2-mu_kmg*d=1/2mv_b^2$

quindi alla fine verrebbe:
$v_a=sqrt(5gR+2u_kgd)$

dico bene?

[donald_zeka]

Si giusto. Chiaramente ho scordato la d che moltiplica la forza d'attrito, senza la d chiaramente quel termine non ha le dimensioni di un lavoro ma di una forza.