VariazionE potenziale
Scusate ragazzi, come da titolo ho bisogno di una mano su questo argomento.
Ho una distribuzione lineare di carica con densità lineare $\lambda$ devo calcolare la variazione di Ep di una carica q che si allontana da $r_1$ e $r_2$... una mano?
Ho una distribuzione lineare di carica con densità lineare $\lambda$ devo calcolare la variazione di Ep di una carica q che si allontana da $r_1$ e $r_2$... una mano?
Risposte
te cosa hai pensato di fare?
Allora io so che l'energia potenziale elettrostatica prodotta da una distribuzione lineare continua ad una distanza r su un punto p è uguale a :
$ 1/(4\pi\epsilon_0)int(dq)/r$ .
Ora però ho 2 problemi: non ho un punto ma una carica e la mia distribuzione è $\lambda$ su un filo indefinito quindi devo considerare:
1) il contributo della carica q
2) il campo è prodotto dalla sommatoria di tutti i contributi infinitesimi su un filo indefinito.
Allora penso di fare:
$\Delta_e= q_0q/(4\pi\epsilon_0r_2) -q_0q/(4\pi\epsilon_0r_1)$
il problema è qui la carica è q e non $\lambda$ e so come utilizzare l'informazione della distribuzione lineare per ricavarmi q visto che il filo è indefinito.
Potrei sostituire a $q \rightarrow sum(q)$ ma poi dovrei considerare le infinite variazioni angolari della forza elettrostatica mi sembra.
Giunto a questo ho deciso di affidarmi al forum ...
$ 1/(4\pi\epsilon_0)int(dq)/r$ .
Ora però ho 2 problemi: non ho un punto ma una carica e la mia distribuzione è $\lambda$ su un filo indefinito quindi devo considerare:
1) il contributo della carica q
2) il campo è prodotto dalla sommatoria di tutti i contributi infinitesimi su un filo indefinito.
Allora penso di fare:
$\Delta_e= q_0q/(4\pi\epsilon_0r_2) -q_0q/(4\pi\epsilon_0r_1)$
il problema è qui la carica è q e non $\lambda$ e so come utilizzare l'informazione della distribuzione lineare per ricavarmi q visto che il filo è indefinito.
Potrei sostituire a $q \rightarrow sum(q)$ ma poi dovrei considerare le infinite variazioni angolari della forza elettrostatica mi sembra.
Giunto a questo ho deciso di affidarmi al forum ...
per definizione di densità di carica $lambda = (d q)/(d l)$
a questo punto il potenziale del tratto infinitisimo è $d Phi(vec(r)) = 1/(4 pi epsilon_0) dq = 1/(4 pi epsilon_0) (lambda dl)/(|vec(r)-vec(r)'|)$
quindi non ti resta che fare la trasformazione $int_Q dq -> int_L lambda dl$ e hai
$Phi(vec(r)) = 1/(4 pi epsilon_0) int_L (lambda(vec(r)'))/(|vec(r)-vec(r)'|) dl$ se poi $lambda$ è costante puoi portarla anche fuori dall'integrale
avrai $Delta Phi = Phi (vec(r)_2) - Phi(vec(r)_1)$
a questo punto il potenziale del tratto infinitisimo è $d Phi(vec(r)) = 1/(4 pi epsilon_0) dq = 1/(4 pi epsilon_0) (lambda dl)/(|vec(r)-vec(r)'|)$
quindi non ti resta che fare la trasformazione $int_Q dq -> int_L lambda dl$ e hai
$Phi(vec(r)) = 1/(4 pi epsilon_0) int_L (lambda(vec(r)'))/(|vec(r)-vec(r)'|) dl$ se poi $lambda$ è costante puoi portarla anche fuori dall'integrale
avrai $Delta Phi = Phi (vec(r)_2) - Phi(vec(r)_1)$
No non riesco a capire, come lo calcolo l'integrale con l'estremo L se il mio filo è indefinito?, e poi $r $e $r'$(vettori9 nell'integrale sono i miei $r_1$ ed $r_2$ oppure uno dei 2 è costante? Un altra cosa perchè hai messo integrale in $dl$? ...Non mi risulta chiaro il tuo procedimento per questo ho fatto tutte queste domande.
...Non mi risulta chiaro il tuo procedimento per questo ho fatto tutte queste domande.
L indica che l'integrale va fatto lungo il filo,
praticamente il significato di quell'integrale è sommare la carica di ogni tratto infinitesimo del filo.
ma poichè hai la densità, sapendo che il tratto infinitesimo del filo $dl$ ha carica $dq=lambda * dl$ allora come fai a sommare tutti i contributi? banalmente integrando lungo il filo la carica di un tratto infinitesimo dl cioè $Q=int_L dq = int_L lambda dl$
se poi in particolare il tuo filo è infinito avrai come estremi di integrazione $-oo$ e $+oo$ cioè $int_(-oo)^(+oo) lambda dl$.
$vec(r)$ è la posizione del punto in cui calcoli il potenziale e $vec(r)'$ è la posizione della carica di cui stai calcolando il contributo, cosi il potenziale di una carica $dq$ sarà $d Phi(vec(r)) = (dq)/(4 pi epsilon_0) 1/(|vec(r) - vec(r)'|)$ infatti $|vec(r)-vec(r)'|$ è la distanza tra dq e il punto su cui stai calcolando il potenziale.
allora considerando un filo dovrai "sommare tutti i contributi $dPhi$ e allora $Phi(vec(r)) = int_L d Phi = int_(-oo)^(+oo) (dq)/(4 pi epsilon_0) 1/(|vec(r) - vec(r)'|) =1/(4 pi epsilon_0) int_(-oo)^(+oo) lambda/(|vec(r) - vec(r)'|) dl$ chiaramente anche $vec(r)'$ varierà al variare di dl poichè indica la stessa posizione.
ora, considera un punto P distante $d$ dal filo. se $O$ è il punto di incidenza tra il filo e la normale al filo da P allora $d=|P-O|$ e preso un riferimento con origine in O, asse y lungo il filo e asse x verso P si ha $vec(r)' = y$ cioè l'ordinata del dl che si considera, $x_P=d$ e $vec(r)-vec(r') = xvec(i) - yvec(j)$ cioè $|vec(r)-vec(r')|=sqrt(x^2 + y^2)$
allora applicando la definizione integrale di prima
$Phi(P) = 1/(4 pi epsilon_0) int_(a)^(b) lambda/(|vec(r) - vec(r)'|) dl = 1/(4 pi epsilon_0) int_(a)^(b) lambda/sqrt(x^2 + y^2) dy $
qui puoi fare in due modi, o trovi la primitiva di $1/sqrt(x^2 + y^2)$ oppure scrivi la geometria rispetto un angolo ad esempio tra $(P-O)$ e $vec(r)$ e poi risolvi per sostituzione.
io trovo la primitiva, si ha $(dy)/sqrt(x^2 + y^2) = d( ln(y + sqrt(x^2 + y^2)) )$ allora si ha, essendo P=(x,0) $Phi(x,0) = lambda/(4 pi epsilon_0) ln(y + sqrt(x^2 + y^2)) $ se integro tra $0$ e $a$, (charamente se il filo è infinito sarà $a=+oo$) comunque si ha = $2* lambda/(4 pi epsilon_0) ln((a+sqrt(a^2 + x^2))/x)$
per $x < < a$ si ha $Phi(x,0) = lambda/(2 pi epsilon_0) ln((2a)/x)$
allora hai $Phi(vec(r)_2) - Phi(vec(r)_2) = lambda/(2 pi epsilon_0) ln(x_2/x_1)$ poichè $ln((2a)/x_1) -ln((2a)/x_2) = ln (2a) - ln (2a) - ln (x_1) + ln (x_2) = ln (x_2/x_1)$
praticamente il significato di quell'integrale è sommare la carica di ogni tratto infinitesimo del filo.
ma poichè hai la densità, sapendo che il tratto infinitesimo del filo $dl$ ha carica $dq=lambda * dl$ allora come fai a sommare tutti i contributi? banalmente integrando lungo il filo la carica di un tratto infinitesimo dl cioè $Q=int_L dq = int_L lambda dl$
se poi in particolare il tuo filo è infinito avrai come estremi di integrazione $-oo$ e $+oo$ cioè $int_(-oo)^(+oo) lambda dl$.
$vec(r)$ è la posizione del punto in cui calcoli il potenziale e $vec(r)'$ è la posizione della carica di cui stai calcolando il contributo, cosi il potenziale di una carica $dq$ sarà $d Phi(vec(r)) = (dq)/(4 pi epsilon_0) 1/(|vec(r) - vec(r)'|)$ infatti $|vec(r)-vec(r)'|$ è la distanza tra dq e il punto su cui stai calcolando il potenziale.
allora considerando un filo dovrai "sommare tutti i contributi $dPhi$ e allora $Phi(vec(r)) = int_L d Phi = int_(-oo)^(+oo) (dq)/(4 pi epsilon_0) 1/(|vec(r) - vec(r)'|) =1/(4 pi epsilon_0) int_(-oo)^(+oo) lambda/(|vec(r) - vec(r)'|) dl$ chiaramente anche $vec(r)'$ varierà al variare di dl poichè indica la stessa posizione.
ora, considera un punto P distante $d$ dal filo. se $O$ è il punto di incidenza tra il filo e la normale al filo da P allora $d=|P-O|$ e preso un riferimento con origine in O, asse y lungo il filo e asse x verso P si ha $vec(r)' = y$ cioè l'ordinata del dl che si considera, $x_P=d$ e $vec(r)-vec(r') = xvec(i) - yvec(j)$ cioè $|vec(r)-vec(r')|=sqrt(x^2 + y^2)$
allora applicando la definizione integrale di prima
$Phi(P) = 1/(4 pi epsilon_0) int_(a)^(b) lambda/(|vec(r) - vec(r)'|) dl = 1/(4 pi epsilon_0) int_(a)^(b) lambda/sqrt(x^2 + y^2) dy $
qui puoi fare in due modi, o trovi la primitiva di $1/sqrt(x^2 + y^2)$ oppure scrivi la geometria rispetto un angolo ad esempio tra $(P-O)$ e $vec(r)$ e poi risolvi per sostituzione.
io trovo la primitiva, si ha $(dy)/sqrt(x^2 + y^2) = d( ln(y + sqrt(x^2 + y^2)) )$ allora si ha, essendo P=(x,0) $Phi(x,0) = lambda/(4 pi epsilon_0) ln(y + sqrt(x^2 + y^2)) $ se integro tra $0$ e $a$, (charamente se il filo è infinito sarà $a=+oo$) comunque si ha = $2* lambda/(4 pi epsilon_0) ln((a+sqrt(a^2 + x^2))/x)$
per $x < < a$ si ha $Phi(x,0) = lambda/(2 pi epsilon_0) ln((2a)/x)$
allora hai $Phi(vec(r)_2) - Phi(vec(r)_2) = lambda/(2 pi epsilon_0) ln(x_2/x_1)$ poichè $ln((2a)/x_1) -ln((2a)/x_2) = ln (2a) - ln (2a) - ln (x_1) + ln (x_2) = ln (x_2/x_1)$
Wow, che spiegazione ,comunque ora ho capito il discorso sull'integrazione lungo tutto il filo.
Quello che hai scritto tu è pero e la variazione del campo elettrostatico giusto?
Quella del potenziale mi basta moltiplicare per la carica q nel campo E.
Grazie, e scusa se ti ho fatto perdere tempo.
Quello che hai scritto tu è pero e la variazione del campo elettrostatico giusto?
Quella del potenziale mi basta moltiplicare per la carica q nel campo E.
Grazie, e scusa se ti ho fatto perdere tempo.
no, del potenziale.
per la variazione dell'energia potenziale, si moltiplichi per la carica
per la variazione dell'energia potenziale, si moltiplichi per la carica
A ok...grazie mille, mi confondo sempre...
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