Variazione del campo elettrico tra le facce di un condensatore

[jakojako]

Salve!
Sto risolvendo il seguente esercizio:
Si consideri un condensatore a facce piane parallele le cui armature sono nel vuoto, hanno superficie di $5cm^2$ e sono separate da una distanza di $2mm$. La corrente di carica $I_C$ ha un valore costante di $1,8 mA$ e all'istante $t=0$ la carica sulle armature è nulla.

Si calcoli la carica sulle armature, il campo elettrico e la differenza di potenziale fra le armature all'istante $t=0,5\mu s$.
Si determini all'istante $t=0,5\mu s$ la rapidità di variazione del campo elettrico; questo valore varia nel tempo o rimane costante?[/list:u:3dyxi2xe]
Dopo aver risolto il primo punto, tenendo presente che il flusso del campo elettrico fra due armature di un condensatore a facce piane è pari a $\phi_E=EA$ e che la corrente di carica $I_C$ è uguale alla corrente di spostamento $I_S$, ho fatto uso della seguente formula per risolvere il secondo punto:
$$I_S=\epsilon_0\frac{d\phi_E}{dt}=\epsilon_0A\frac{dE}{dt}\Rightarrow \frac{dE}{dt}=\frac{I_S}{\epsilon_0A},$$
ottenendo il valore fornito dal testo come soluzione, ovvero $4,07\times10^{11} \frac{V}{ms}$. Tuttavia, il testo afferma che tale valore rimane costante. Potreste gentilmente spiegarmi perchè in un istante diverso tale valore dovrebbe rimanere costante? Grazie anticipatamente.

[mgrau]

Perchè l'espressione che hai trovato non contiene il tempo: è la derivata di una funzione lineare

[jakojako]

Hai ragione, ho trascurato il fatto che la corrente di conduzione, e quindi quella di spostamento, si mantiene costante al variare del tempo. Perdonami se ti disturbo ancora però, sapresti fornirmi un link dove posso trovare una dimostrazione analitica del fatto che corrente di conduzione e di spostamento sono uguali? Grazie.

[Maurizio Zani]

Prendi spunto da questa figura:



Applica il teorema di Ampère-Maxwell a parità di linea di integrazione (path) e quindi di circuitazione. Puoi scegliere due superfici di integrazione differenti che hanno quella linea come contorno: in un caso (plane surface) hai solo corrente di conduzione, nell'altro (bulging surface) hai solo corrente di spostamento

[mgrau]

Per altra via: se partiamo conoscendo già l'espressione della corrente di spostamento $I_s = epsilon_0 * frac{dE}{dt}A$,
calcoliamo $E$ per il condensatore piano: $E = sigma/epsilon_0 = frac{Q}{A epsilon_0} = frac{I_c * t}{A epsilon_0}$ (nel nostro caso di corrente costante),
da cui $I_s = frac{d}{dt} frac{I_c * t}{A epsilon_0}* A epsilon_0 = I_c$

[jakojako]

Grazie mille!