Variante del problema della scala
Salve a tutti! Provavo a svolgere il seguente esercizio di statica ma la mia soluzione differisce dal risultato proposto dal libro:
Una scala, la cui massa è distribuita uniformemente lungo tutta la sua lunghezza, poggia con un'estremità sopra un piano orizzontale scabro, con coefficiente d'attrito $\mu_s$, e con l'altra contro una parete verticale scabra, con lo stesso coefficiente di attrito. Si determini l'angolo di minima inclinazione $\theta_min$ che la scala può formare col piano orizzontale senza scivolare al suolo.
Io ho proceduto così: Chiamo con $1$ l'estremo dell'asta poggiato sulla parete e con $2$ l'estremo poggiato sul pavimento. Il sistema di riferimento da me utilizzato ha asse y rivolto verso il basso e asse x rivolto verso destra. La forza peso $mg$ dell'asta è concentrata nel suo centro di massa, che in questo caso è posto alla metà dell'asta. Sull'estremo 1 dell'asta agisce la reazione del piano che chiamo $R_1$ (perpendicolare alla parete) e la forza di attrito, opposta al movimento dell'asta (quindi rivolta verso l'alto), che chiamo $F_1$, mentre sull'estremo 2 ho la reazione del piano che chiamo $R_2$ (perpendicolare al pavimento) e la forza d'attrito $F_2$ rivolta verso sinistra. Tutto il sistema deve rimanere fermo, quindi la risultante delle forze e il momento devono essere nulli.
Calcolo il momento con polo in 1: $M_1= mgl/2sen(90-\theta) - R_2lsen(90-\theta) - \mu_s mglsen\theta =0$.
Calcolo la risultante delle forze, lungo x e lungo y: $R_x= R_1 - \mu_smg= 0$ da cui ricavo $R_1=\mu_s mg$;
$R_y= -R_2 -\mu_smg + mg=0$ da cui ricavo $-R_2= (\mu_s -1)mg$.
Sostituisco $-R_2$ nell'equazione del momento e svolgendo i calcoli ottengo:
$\theta_min = arctg ((2\mu_s -1)/(2\mu_s))$.
Il risultato che il libro propone è questo: $\theta_min= arctg ((1-\mu^2_s)/(2\mu_s))$. Vi è un errore nel risultato del libro, oppure ho commesso io qualche errore? Grazie per le eventuali risposte.
Una scala, la cui massa è distribuita uniformemente lungo tutta la sua lunghezza, poggia con un'estremità sopra un piano orizzontale scabro, con coefficiente d'attrito $\mu_s$, e con l'altra contro una parete verticale scabra, con lo stesso coefficiente di attrito. Si determini l'angolo di minima inclinazione $\theta_min$ che la scala può formare col piano orizzontale senza scivolare al suolo.
Io ho proceduto così: Chiamo con $1$ l'estremo dell'asta poggiato sulla parete e con $2$ l'estremo poggiato sul pavimento. Il sistema di riferimento da me utilizzato ha asse y rivolto verso il basso e asse x rivolto verso destra. La forza peso $mg$ dell'asta è concentrata nel suo centro di massa, che in questo caso è posto alla metà dell'asta. Sull'estremo 1 dell'asta agisce la reazione del piano che chiamo $R_1$ (perpendicolare alla parete) e la forza di attrito, opposta al movimento dell'asta (quindi rivolta verso l'alto), che chiamo $F_1$, mentre sull'estremo 2 ho la reazione del piano che chiamo $R_2$ (perpendicolare al pavimento) e la forza d'attrito $F_2$ rivolta verso sinistra. Tutto il sistema deve rimanere fermo, quindi la risultante delle forze e il momento devono essere nulli.
Calcolo il momento con polo in 1: $M_1= mgl/2sen(90-\theta) - R_2lsen(90-\theta) - \mu_s mglsen\theta =0$.
Calcolo la risultante delle forze, lungo x e lungo y: $R_x= R_1 - \mu_smg= 0$ da cui ricavo $R_1=\mu_s mg$;
$R_y= -R_2 -\mu_smg + mg=0$ da cui ricavo $-R_2= (\mu_s -1)mg$.
Sostituisco $-R_2$ nell'equazione del momento e svolgendo i calcoli ottengo:
$\theta_min = arctg ((2\mu_s -1)/(2\mu_s))$.
Il risultato che il libro propone è questo: $\theta_min= arctg ((1-\mu^2_s)/(2\mu_s))$. Vi è un errore nel risultato del libro, oppure ho commesso io qualche errore? Grazie per le eventuali risposte.
Risposte
Mi sembra che si possano scrivere le equazioni seguenti:
${((mgl)/2costheta-R_2lcos theta+F_2lsin theta=0), (R_1-F_2=0), (R_2+F_1-mg=0), (F_1=mu_sR_1), (F_2=mu_sR_2):}$.
Da cui, eliminando $F_1$ e $F_2$, si ottiene
${((mgl)/2costheta-R_2lcos theta+mu_sR_2lsin theta=0), (R_1=mu_sR_2), (R_2+mu_sR_1=mg):}$.
Ora, sostituendo $R_1$ dalla seconda nella terza, si ottiene
$R_2+mu_s^2R_2=mg->R_2=(mg)/(1+mu_s^2)$
e quindi, sostituendo $R_2$,
$1/2mglcostheta-(mg)/(1+mu_s^2)lcos theta+mu_s(mg)/(1+mu_s^2)lsin theta=0$
$1/2costheta-1/(1+mu_s^2)cos theta+mu_s1/(1+mu_s^2)sin theta=0$
$(1/(1+mu_s^2)-1/2)cos theta=mu_s1/(1+mu_s^2)sin theta$
$(1-(1+mu_s^2)/2)cos theta=mu_s sin theta$
$tan theta= 1/mu_s(1-(1+mu_s^2)/2)=1/(2mu_s)(2-1-mu_s^2)=1/(2mu_s)(1-mu_s^2)$.
${((mgl)/2costheta-R_2lcos theta+F_2lsin theta=0), (R_1-F_2=0), (R_2+F_1-mg=0), (F_1=mu_sR_1), (F_2=mu_sR_2):}$.
Da cui, eliminando $F_1$ e $F_2$, si ottiene
${((mgl)/2costheta-R_2lcos theta+mu_sR_2lsin theta=0), (R_1=mu_sR_2), (R_2+mu_sR_1=mg):}$.
Ora, sostituendo $R_1$ dalla seconda nella terza, si ottiene
$R_2+mu_s^2R_2=mg->R_2=(mg)/(1+mu_s^2)$
e quindi, sostituendo $R_2$,
$1/2mglcostheta-(mg)/(1+mu_s^2)lcos theta+mu_s(mg)/(1+mu_s^2)lsin theta=0$
$1/2costheta-1/(1+mu_s^2)cos theta+mu_s1/(1+mu_s^2)sin theta=0$
$(1/(1+mu_s^2)-1/2)cos theta=mu_s1/(1+mu_s^2)sin theta$
$(1-(1+mu_s^2)/2)cos theta=mu_s sin theta$
$tan theta= 1/mu_s(1-(1+mu_s^2)/2)=1/(2mu_s)(2-1-mu_s^2)=1/(2mu_s)(1-mu_s^2)$.
Grazie per la tua risposta...perché hai espresso $F_1$ ed $F_2$ in funzione delle reazioni? Non si può fare semplicemente come ho fatto io?cosa c'è di sbagliato? grazie..
"Lory_91":
... Non si può fare semplicemente come ho fatto io?cosa c'è di sbagliato? grazie..
Mi sembra che non sia vero che ambedue le forze d'attrito abbiano intensità $mumg$.
Inoltre il momento di $vec(F_2)$ rispetto a $1$ dovrebbe essere concorde con quello del peso della scala e non con quello di $vec(R_2)$.
Si,scusami, ero distratta. Grazie mille per la tua risposta:D
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