Variabili canoniche: cosa sono, fisicamente?

[dissonance]

Vorrei riflettere con qualcuno più esperto di me in Meccanica Analitica su una trasformazione di coordinate che mi lascia perplesso.

Consideriamo un sistema costituito da un punto materiale libero di muoversi in un piano [tex]xy[/tex] e soggetto ad una forza conservativa. Nel formalismo Hamiltoniano possiamo descrivere questo sistema in termini delle variabili canoniche [tex]x, y, p_x, p_y[/tex]; oppure, introducendo coordinate polari, delle variabili canoniche [tex]r, \theta, p_r, p_\theta[/tex]. La trasformazione canonica tra i due sistemi di coordinate si può descrivere mediante la funzione generatrice

[tex]$F_2(r, \theta, p_x, p_y)=r p_x \cos \theta + r p_y \sin \theta[/tex] (vedi http://www.pv.infn.it/~biasi/dispense/c ... 9_es2.html ) ;

infatti, questo tipo di funzione generatrice porta alle equazioni

[tex]$\begin{cases} x= \frac{\partial F_2}{\partial p_x} = r \cos \theta \\ y = \frac{\partial F_2}{\partial p_y}=r \sin \theta \\ p_r = \frac{\partial F_2}{\partial r}= \cos \theta p_x + \sin \theta p_y \\ p_\theta=\frac{\partial F_2}{\partial \theta}= r \cos \theta p_y - r \sin \theta p_x \end{cases}[/tex]

proprio quello che ci aspettavamo.

***

Ora supponiamo di modificare leggermente la funzione generatrice, aggiungendo un [tex]+r[/tex]:

[tex]$F_2(r, \theta, p_x, p_y)=r \cos \theta p_x + r \sin \theta p_y + r[/tex];

questa è ancora una funzione generatrice valida, ma conduce ad equazioni diverse dalle precedenti, precisamente

[tex]$\begin{cases} x= \frac{\partial F_2}{\partial p_x} = r \cos \theta \\ y = \frac{\partial F_2}{\partial p_y}=r \sin \theta \\ p_r = \frac{\partial F_2}{\partial r}= \cos \theta p_x + \sin \theta p_y+1 \\ p_\theta= \frac{\partial F_2}{\partial p_y}=r \cos \theta p_y - r \sin \theta p_x \end{cases}[/tex]

...cosa significa? Chiaramente le variabili canoniche coinvolte in quest'ultima trasformazione non sono le stesse variabili canoniche del caso precedente, perché una delle equazioni è diversa. Ma allora cosa sono, fisicamente?

[dissonance]

Io penso, ma come dicevo mi farebbe piacere discuterne, che le variabili [tex]x, y[/tex] e [tex]r, \theta[/tex] siano sempre loro in entrambi i casi. Ciò che cambia infatti sono le altre variabili canoniche, le [tex]p_r, p_\theta, p_x, p_y[/tex]:

[*:336n2goy]nel primo caso sono i momenti canonici che avremmo trovato passando dalla Lagrangiana, e infatti hanno evidentemente il significato fisico di componenti della quantità di moto e del momento angolare;
[/*:m:336n2goy]
[*:336n2goy]nel secondo caso non hanno più questo significato, che difatti non quadra neanche dimensionalmente (che dimensioni avrebbe quell'[tex]1[/tex] nella terza equazione?): sono semplicemente delle nuove variabili, che condurranno a differenti equazioni del moto. Va da sè che le soluzioni di queste equazioni del moto devono essere sempre le stesse, ciò che cambia è il loro aspetto e le variabili da cui dipendono.[/*:m:336n2goy][/list:u:336n2goy]

Volendo riassumere, mi sono fatto l'idea che le variabili canoniche nascano come variabili generalizzate e momenti coniugati, ma poi perdano questo significato fisico dopo l'applicazione di trasformazioni di coordinate. Che ne pensate?