Variabili angolo-azione, periodicità e perturbazioni hamiltoniane
Salve a tutti, spero possiate aiutarmi con un dettaglio (fondamentale!) che non sono riuscito a cogliere nello studio delle variabili angolo-azione di un sistema hamiltoniano. Attraverso una trasformazione simplettica, è possibile passare dalle coordinate simplettiche $(q,p)$ (rispettivamente, coordinate lagrangiane e momenti cinetici associati) alle coordinate $(I,\theta) $ tale che le equazioni di Hamilton dipendano solo dalla $I$ e siano integrabili "a vista". E fin qui ci siamo. Nel capitolo successivo del mio libro di testo, tuttavia, in merito alle perturbazioni hamiltoniane, viene dato per scontato un dettaglio decisivo: cito,
Il punto è fondamentale per le dimostrazioni a seguire in quanto partono tutte da uno sviluppo in serie di Fourier, nell'intervallo di periodicità delle $\theta$ che è proprio $2\pi$. Mi chiedevo: perché le variabili angolo hanno periodicità $2\pi$? Vale sempre? O è semplicemente un caso a parte, e ho mal interpretato io il testo?
Ringrazio in anticipo per le risposte
[...]poiché $(\theta,I)$ e $(\theta+2\pi,I)$ individuano lo stesso punto nello spazio delle fasi,[...]
Il punto è fondamentale per le dimostrazioni a seguire in quanto partono tutte da uno sviluppo in serie di Fourier, nell'intervallo di periodicità delle $\theta$ che è proprio $2\pi$. Mi chiedevo: perché le variabili angolo hanno periodicità $2\pi$? Vale sempre? O è semplicemente un caso a parte, e ho mal interpretato io il testo?
Ringrazio in anticipo per le risposte
Risposte
Perdonatemi l'UP, ma nessuno è in grado di aiutarmi? Forse è più una domanda da inserire nella sezione di matematica che di fisica?
"Lele0012":
Mi chiedevo: perché le variabili angolo hanno periodicità $2\pi$? Vale sempre? O è semplicemente un caso a parte, e ho mal interpretato io il testo?
Beh, l'importante è che siano periodiche (e lo sono essendo coordinate su un toro), poi la periodicità giusta la fai definendo opportunamente i coefficienti. Peraltro anche con una periodicità diversa potresti comunque scrivere una serie di Fourier, no?
Quindi le variabili $(I,\theta)$ mi definiscono ancora punti del toro? E perché non dovrebbero essere periodiche le $I$, allora? Anche perché le $I$ sono definite come gli integrali su curve chiuse abbraccianti il toro, le $\theta$ come semplici valori ottenuti dalla trasformazione simplettica una volta definite le I: come conosco i dettagli della loro natura, tanto da sapere che sono periodiche (di periodo $2\pi$, poi!)?
"Lele0012":
Quindi le variabili $(I,\theta)$ mi definiscono ancora punti del toro? E perché non dovrebbero essere periodiche le $I$, allora?
No, le variabili angolo definiscono delle coordinate su un toro. Le variabili azione sono costanti del moto invece.
Anche perché le $I$ sono definite come gli integrali su curve chiuse abbraccianti il toro, le $\theta$ come semplici valori ottenuti dalla trasformazione simplettica una volta definite le I: come conosco i dettagli della loro natura, tanto da sapere che sono periodiche (di periodo $2\pi$, poi!)?
Beh, già per il fatto che definisci le variabili azione come integrale su un percorso chiuso ti dovrebbe suonare un campanello di allarme. Comunque questa faccenda del toro viene dalla teoria dei sistemi hamiltoniani integrabili. Io me ne preoccuperei solo in una seconda fase.
Per quanto riguarda il periodo $2\pi$, non vedo un grande problema: se anche fosse di periodicità diversa sarebbe sufficiente cambiare la normalizzazione dell'integrale, perché il periodo dipende da come normalizzi l'integrale nella definizione delle variabili azione.
Ti chiedo scusa, ma continua a sfuggirmi perché le $\theta$ definiscano i punti del toro :/ il campanello di allarme non mi ha svegliato nulla :[
"Lele0012":
Ti chiedo scusa, ma continua a sfuggirmi perché le $\theta$ definiscano i punti del toro :/ il campanello di allarme non mi ha svegliato nulla :[
No, scusa tu, temo di non essere stato chiaro.
Se hai un sistema hamiltoniano n-dimensionale autonomo (l'hamiltoniana non dipende dal tempo) che sia completamente integrabile, allora se le superfici di livello degli integrali del moto (che poi sarebbero le variabili azione) sono regolari, connesse e compatte allora sono diffeomorfe a tori n-dimensionali. E' parte del contenuto del teorema di Liouville-Arnold. E le variabili angolo sono coordinate su questi tori (è la seconda parte del teorema).
Per questo dicevo che me ne sarei preoccupato in un secondo momento (insomma, l'avrei preso sulla fiducia in prima battuta per tornarci su dopo - che è ciò che ho fatto in effetti
).Se noti le variabili d'azione sono in genere definite con quell'integrale
[tex]J = \oint p \ dq[/tex]
Insomma già si capisce che la traiettoria debba essere periodica (altrimenti non puoi integrare su un circuito chiuso). Ok, non era tanto esplicito questo
Ti ringrazio, ora mi è chiaro! Sei stato gentilissimo!
Ti chiedo solo di dedicarmi un altro minutino affinché però possa comprendere bene una cosa. Le variabili azione si definiscono facilmente, e ok, ma il mio testo inserisce le variabili angolo come derivate della funzione generatrice: come faccio ad essere sicuro che proprio queste variabili sono quelle descriventi il toro?
"Lele0012":
Ti chiedo solo di dedicarmi un altro minutino affinché però possa comprendere bene una cosa. Le variabili azione si definiscono facilmente, e ok, ma il mio testo inserisce le variabili angolo come derivate della funzione generatrice: come faccio ad essere sicuro che proprio queste variabili sono quelle descriventi il toro?
Beh, il motivo per cui sono definite come una derivata è che stai facendo una trasformazione canonica (di tipo 2, per fare i pignoli), quindi dipende da i nuovi impulsi (cioè le variabili azione $J$) e dalle vecchie variabili posizione $F(q, J)$. Per cui la teoria delle trasformazioni canoniche ti dice che le nuove posizioni le ottieni con quella derivata $\frac{\partial F(q, J)}{\partial J}$.
Per quanto riguarda il fatto che siano coordinate sul toro è una delle conseguenze del teorema di Arnol'd-Liouville.
Il teorema di Arnol'd-Liouville, da come l'ho studiato, afferma che, dati n integrali primi indipendenti ed ivoluzione, se essi descrivono una superficie di livello compatta essa è un toro; dette $\phi_i$ le variabili del toro, per ogni integrale primo (diciamo, $f_i=c_i$) è possibile trovare un intorno $I(c_i)$ per cui le variabili $(c_1,...c_n,\phi_1,...,\phi_n)$ costituiscono un sistema di coordinate "integrabili a vista"; come so che, nel mio caso, le $\phi$ sono proprio le $\theta$?
"Lele0012":
come so che, nel mio caso, le $\phi$ sono proprio le $\theta$?
Ma, scusa, una volta che hai una trasformazione canonica che ti fornisce delle nuove coordinate in cui gli impulsi sono integrali del moto (e individuano delle sottovarietà), le posizioni coniugate (gli angoli) ti "spostano" lungo queste varietà, e hai l'assicurazione che il moto del sistema non lasci la superficie di livello (insomma, il toro).
Cosa non ti convince?
Non dimenticare che la varietà non è data dalle sue coordinate, puoi sempre fare una trasformazione, l'importante è trovare il set di coordinate angolo relativo alla definizione delle tue variabili azione, no?
Ti chiedo scusa se sono di coccio :[ Ma è proprio questo il fatto: dici "le posizioni coniugate (gli angoli) ti "spostano" lungo queste varietà", come faccio a sapere che gli angoli mi spostano su questa varietà? Io so solo che $\theta=(\partialF)/(\partialI)$, da cosa dovrei dedurre che sono le variabili angolari del toro?
"Lele0012":
Ti chiedo scusa se sono di coccio :[ Ma è proprio questo il fatto: dici "le posizioni coniugate (gli angoli) ti "spostano" lungo queste varietà", come faccio a sapere che gli angoli mi spostano su questa varietà? Io so solo che $\theta=(\partialF)/(\partialI)$, da cosa dovrei dedurre che sono le variabili angolari del toro?
Figurati, se uno non fa le domande non impara mai
Peraltro anche io per la fretta sono stato piuttosto ermetico (a parte che di certo non sono un esperto di queste cose, sicché...).Il fatto è che ti stai muovendo sulla superficie sulla quale le coordinate azione hanno dei valori fissati, restano da variare solo posizioni coniugate, cioè (per la definizione di trasformazioni canoniche) le variabili angolo. Non ci sono altre variabili, perché il sistema è completamente integrabile. Per cui variando gli angoli (quelli che trovi con la procedura standard) lasciando le $J$ costanti resti sul toro, per cui gli angoli sono coordinate sul toro. Che ciò sia possibile te lo dice il teorema A-L.
Poi credo si possa (lasciando la trasformazione canonica) trasformare le variabili azione, per esempio linearmente, e dovresti ottenere delle nuove variabili angolo, quindi vedi che il concetto di coordinata non è così fondamentale, è più fondamentale pensare in termini di varietà, più geometricamente, secondo me.
Credo finalmente di aver capito, ti ringrazio
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