Valore medio di impulso su uno stato di oscillatore armonico unidimensionale
Ciao! Sono al primo post (anche se sono un lettore da tempo), ho letto il regolamento ma in ogni caso se scrivo qualcosa di sbagliato fatemelo sapere.
Sto studiando meccanica quantistica unidimensionale e sto avendo un problemino con un quesito, magari è solo un errore di calcolo (se così fosse chiedo scusa in anticipo
).
Ho un sistema descritto dall'Hamiltoniana dell'oscillatore armonico \( H= \frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}\ m \omega^2 x^2 \) preparato nello stato \( \mid \psi > = \frac{1}{\sqrt{3}}\ \mid 0> + e^{i\varphi}\sqrt{\frac{2}{3}}\mid 1> \) dove "0" e "1" sono lo stato fondamentale e il primo stato eccitato. Devo calcolare il valore medio dell'operatore impulso su questo stato, ecco come ho fatto:
Esprimendo l'operatore in funzione degli operatori di creazione e distruzione:
\[ p=-i\sqrt{\frac{m\hbar \omega}{2}}(a-a^{\dagger}) \]
così facendo posso esprimere gli elementi di matrice di \(p\) come:
\[ = -i\sqrt{\frac{m\hbar \omega}{2}}(\delta_{k,s-1} \sqrt{s}-\delta_{k, s+1} \sqrt{s+1} ) \]
Quindi:
\[ < \psi \mid p \mid \psi > = \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-i\varphi}<1\mid p\mid 0>+\frac{\sqrt{2}}{3}e^{i\varphi}<0\mid p\mid 1> = i \frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{\frac{m\hbar \omega}{2}} (e^{-i\varphi}-e^{i\varphi}) = - \frac{i}{3}\sqrt{m\hbar \omega} sin \varphi \]
La soluzione data dal professore però è: \(
Sto studiando meccanica quantistica unidimensionale e sto avendo un problemino con un quesito, magari è solo un errore di calcolo (se così fosse chiedo scusa in anticipo
).Ho un sistema descritto dall'Hamiltoniana dell'oscillatore armonico \( H= \frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}\ m \omega^2 x^2 \) preparato nello stato \( \mid \psi > = \frac{1}{\sqrt{3}}\ \mid 0> + e^{i\varphi}\sqrt{\frac{2}{3}}\mid 1> \) dove "0" e "1" sono lo stato fondamentale e il primo stato eccitato. Devo calcolare il valore medio dell'operatore impulso su questo stato, ecco come ho fatto:
Esprimendo l'operatore in funzione degli operatori di creazione e distruzione:
\[ p=-i\sqrt{\frac{m\hbar \omega}{2}}(a-a^{\dagger}) \]
così facendo posso esprimere gli elementi di matrice di \(p\) come:
\[
Quindi:
\[ < \psi \mid p \mid \psi > = \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-i\varphi}<1\mid p\mid 0>+\frac{\sqrt{2}}{3}e^{i\varphi}<0\mid p\mid 1> = i \frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{\frac{m\hbar \omega}{2}} (e^{-i\varphi}-e^{i\varphi}) = - \frac{i}{3}\sqrt{m\hbar \omega} sin \varphi \]
La soluzione data dal professore però è: \(
= -\frac{2}{3}\sqrt{m\hbar \omega} sin \varphi \)
Mi sono perso un -2i ??
Grazie mille in anticipo
Risposte
Ciao,
si, proprio nell'ultimo passaggio quando passi da notazione esponenziale a trigonometrica
si, proprio nell'ultimo passaggio quando passi da notazione esponenziale a trigonometrica
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