Urto tra un proiettile e una sfera
"Un proiettile di massa $m = 10 g$ e di dimensioni trascurabili, viene lanciato contro una sfera omogenea di massa $M = 1 kg$ e raggio $R$; immediatamente prima dell’urto la sua velocità $v_0 = 50 m/s$, è diretta parallelamente al piano orizzontale di appoggio della sfera verso il centro della sfera stessa. Quest’ultima è inizialmente ferma su tale piano, sul quale può muoversi rotolando senza strisciare. Il proiettile non penetra all’interno della sfera, ma resta solidale con questa, conficcato sulla sua superficie; si determini la velocità v con cui si muove il centro C della sfera, subito dopo l’urto. [NB: poichè si richiede la velocità subito dopo l’urto, si trascuri l’effetto della forza peso sul proiettile stesso]."
Si tratta di un urto, quindi ho conservato la quantità di moto lungo l'asse orizzontale:
Prima dell'urto: $Q_i = mv_0$
Dopo l'urto abbiamo un sistema formato da due corpi. Pertanto la quantità di moto sarà data da
$Q_f$$= (M+m)v'$ (primo teorema del centro di massa), dove $v'$ è la velocità del nuovo centro di massa.
Io ho delle difficoltà a capire il moto del sistema. Poichè $m$ è molto minore di $M$ si ha che il nuovo centro di massa e il centro della sfera coincidono, pertanto il problema è risolto, seppur con approssimazione, ed è ricondotto ad un banalissimo urto totalmente anelastico. Poichè questo è un problema d'esame (studio Fisica), mi sembra strano che la soluzione sia così semplice. Quale sarebbe il moto del sistema se $m$ non fosse trascurabile rispetto a $M$? E come farei a calcolare la velocità del centro C della sfera, visto che non varrebbe più la coincidenza tra centro di massa e centro della sfera?
Si tratta di un urto, quindi ho conservato la quantità di moto lungo l'asse orizzontale:
Prima dell'urto: $Q_i = mv_0$
Dopo l'urto abbiamo un sistema formato da due corpi. Pertanto la quantità di moto sarà data da
$Q_f$$= (M+m)v'$ (primo teorema del centro di massa), dove $v'$ è la velocità del nuovo centro di massa.
Io ho delle difficoltà a capire il moto del sistema. Poichè $m$ è molto minore di $M$ si ha che il nuovo centro di massa e il centro della sfera coincidono, pertanto il problema è risolto, seppur con approssimazione, ed è ricondotto ad un banalissimo urto totalmente anelastico. Poichè questo è un problema d'esame (studio Fisica), mi sembra strano che la soluzione sia così semplice. Quale sarebbe il moto del sistema se $m$ non fosse trascurabile rispetto a $M$? E come farei a calcolare la velocità del centro C della sfera, visto che non varrebbe più la coincidenza tra centro di massa e centro della sfera?
Risposte
Io direi che, anziché pensare a quello che accade se la massa del proiettile non è trascurabile rispetto alla massa della sfera, anche nel caso di massa $m$ piccola il problema vada risolto considerando il momento angolare rispetto al punto $P$ di contatto tra sfera e piano.
L'impulso del proiettile $\Deltap = m\Deltav = mv$ ha un momento rispetto a $P$ , uguale a $mvR$ . Tale momento di impulso causa variazione del momento angolare della sfera (con l'aggiunta del proiettile conficcato) rispetto a $P$:
$R\Deltap =mvR = \DeltaL = (I_p + md^2)*\Delta\omega$
dove $I_p = 7/5MR^2$ è il momento di inerzia della sfera rispetto al punto $P$. Il termine aggiuntivo $md^2$ è il momento di inerzia del proiettile rispetto a $P$ , essendo $d$ la distanza del punto di impatto da $P$. Comunque tale termine è piccolo.
Dico questo visto che la durata dell'impulso del proiettile è breve, e si può trascurare la rotazione durante tale breve intervallo di tempo. Naturalmente assumo anche che non ci sia strisciamento iniziale della sfera sul piano, anche se forse uno strisciamento iniziale c'è.
Siccome $\Delta\omega = \omega $ è la velocità angolare con cui inizia il rotolamento della sfera, la velocità iniziale del CM , che nella ipotesi di massa $m$ piccola praticamente coincide col centro della sfera, è determinabile con $v = \omegaR$ .
Ecco, io avrei fatto così.
L'impulso del proiettile $\Deltap = m\Deltav = mv$ ha un momento rispetto a $P$ , uguale a $mvR$ . Tale momento di impulso causa variazione del momento angolare della sfera (con l'aggiunta del proiettile conficcato) rispetto a $P$:
$R\Deltap =mvR = \DeltaL = (I_p + md^2)*\Delta\omega$
dove $I_p = 7/5MR^2$ è il momento di inerzia della sfera rispetto al punto $P$. Il termine aggiuntivo $md^2$ è il momento di inerzia del proiettile rispetto a $P$ , essendo $d$ la distanza del punto di impatto da $P$. Comunque tale termine è piccolo.
Dico questo visto che la durata dell'impulso del proiettile è breve, e si può trascurare la rotazione durante tale breve intervallo di tempo. Naturalmente assumo anche che non ci sia strisciamento iniziale della sfera sul piano, anche se forse uno strisciamento iniziale c'è.
Siccome $\Delta\omega = \omega $ è la velocità angolare con cui inizia il rotolamento della sfera, la velocità iniziale del CM , che nella ipotesi di massa $m$ piccola praticamente coincide col centro della sfera, è determinabile con $v = \omegaR$ .
Ecco, io avrei fatto così.
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