Urto tra punto materiale ed asta
Ciao, ho un dubbio sul seguente esercizio.
Abbiamo un disco omogeneo di raggio $R$ e massa $M$ che è imperniato (perno ideale) in un piano verticale attraverso il centro $O$. Al punto $A$ posto sul bordo del disco è saldata un'asta omogenea $bar(AB)$, di spessore trascurabile, di lunghezza $R$ e massa $M$ (come il disco).
L'estremo $B$ è sospeso per mezzo di una molla ideale di costante elastica $k$ e lunghezza a riposo nulla.
IL sistema è descritto dall'angolo $vartheta$ che l'asta $bar(AB)$ forma con l'orizzontale.
Fissiamo un sistema ortonormale destrorso in $O$ con asse $x$ crescente verso destra, asse $y$ crescente verso l'alto, asse $z$ uscente dalla figura, e $vartheta$ crescente in senso antiorario.
Supponendo che il sistema parta da fermo con $vartheta=pi/6$, si consideri il caso in cui il corpo viene urtato in $B$ da un punto materiale di massa $M$ (come il disco).
Il punto materiale si muove inizialmente dal basso verso l'alto con velocità $v_0$.
L'urto è completamente anelastico, il punto rimane saldato all'asta.
Viene chiesto di calcolare la velocità angolare del sistema dopo l'urto e le componenti lungo $y$ dell'impulso della reazione vincolare in $O$.
Per quanto concerne la velocità angolare finale, ovvero $dot(vartheta)_f$, ho utilizzato la conservazione del momento angolare, ovvero
$K(t)=K(t+Deltat)$
$2Rcos(vartheta)Mv_0 = I_Odot(vartheta)_f$
$dot(vartheta)_f=(2Rcos(vartheta)Mv_0)/I_O$
Questo risultato non va bene perché dovrei ottenere lo stesso risultato ma con segno negativo, ovvero :
$dot(vartheta)_f= - (2Rcos(vartheta)Mv_0)/I_O$
Nasce dunque il dubbio:
Perché? Dove sbaglio? Come faccio a scrivere a priori $I_Odot(vartheta)$ con segno negativo?
Immagino che un'asta che cade in basso sulla quale si va a conficcare un punto materiale possa proseguire il suo moto.
Per quanto riguarda l'impulso $J$ in $O$, avrei bisogno solamente di commentare una frase.
$DeltaP = J$
$3Mdot(y)_[gf] - Mv_0 = J_y$
dove $dot(y)_[gf] = -7/6 Rdot(vartheta)_fcos(vartheta)$
La frase da commentare è la seguente:
"Se anziché scrivere $3Mdot(y)_[gf] - Mv_0 = J_y$ avessi scritto $3Mdot(y)_[gf] = J_y$, non considerando dunque la quantità di moto del punto materiale $Mv_0$, sarebbe stato un errore, perché..."
Abbiamo un disco omogeneo di raggio $R$ e massa $M$ che è imperniato (perno ideale) in un piano verticale attraverso il centro $O$. Al punto $A$ posto sul bordo del disco è saldata un'asta omogenea $bar(AB)$, di spessore trascurabile, di lunghezza $R$ e massa $M$ (come il disco).
L'estremo $B$ è sospeso per mezzo di una molla ideale di costante elastica $k$ e lunghezza a riposo nulla.
IL sistema è descritto dall'angolo $vartheta$ che l'asta $bar(AB)$ forma con l'orizzontale.
Fissiamo un sistema ortonormale destrorso in $O$ con asse $x$ crescente verso destra, asse $y$ crescente verso l'alto, asse $z$ uscente dalla figura, e $vartheta$ crescente in senso antiorario.
Supponendo che il sistema parta da fermo con $vartheta=pi/6$, si consideri il caso in cui il corpo viene urtato in $B$ da un punto materiale di massa $M$ (come il disco).
Il punto materiale si muove inizialmente dal basso verso l'alto con velocità $v_0$.
L'urto è completamente anelastico, il punto rimane saldato all'asta.
Viene chiesto di calcolare la velocità angolare del sistema dopo l'urto e le componenti lungo $y$ dell'impulso della reazione vincolare in $O$.
Per quanto concerne la velocità angolare finale, ovvero $dot(vartheta)_f$, ho utilizzato la conservazione del momento angolare, ovvero
$K(t)=K(t+Deltat)$
$2Rcos(vartheta)Mv_0 = I_Odot(vartheta)_f$
$dot(vartheta)_f=(2Rcos(vartheta)Mv_0)/I_O$
Questo risultato non va bene perché dovrei ottenere lo stesso risultato ma con segno negativo, ovvero :
$dot(vartheta)_f= - (2Rcos(vartheta)Mv_0)/I_O$
Nasce dunque il dubbio:
Perché? Dove sbaglio? Come faccio a scrivere a priori $I_Odot(vartheta)$ con segno negativo?
Immagino che un'asta che cade in basso sulla quale si va a conficcare un punto materiale possa proseguire il suo moto.
Per quanto riguarda l'impulso $J$ in $O$, avrei bisogno solamente di commentare una frase.
$DeltaP = J$
$3Mdot(y)_[gf] - Mv_0 = J_y$
dove $dot(y)_[gf] = -7/6 Rdot(vartheta)_fcos(vartheta)$
La frase da commentare è la seguente:
"Se anziché scrivere $3Mdot(y)_[gf] - Mv_0 = J_y$ avessi scritto $3Mdot(y)_[gf] = J_y$, non considerando dunque la quantità di moto del punto materiale $Mv_0$, sarebbe stato un errore, perché..."
Risposte
Hai detto tu stesso che le rotazioni positive sono antiorarie. Il momento del corpo contundente è quindi negativo
"professorkappa":
Hai detto tu stesso che le rotazioni positive sono antiorarie. Il momento del corpo contundente è quindi negativo
Maledizione.
Dunque avrei dovuto scrivere:
$-2Rcos(vartheta)Mv_0 = I_Odot(vartheta)_f$
Con il meno nel termine a sinistra, che viene appunto dalla regola della mano destra e dalla convenzione da me adottata. "Raggio vettore punto materiale" prodotto vettoriale "quantità di moto punto materiale" mi da come risultato un vettore entrante nel disegno. Quindi avrei dovuto mettere un meno.
E' giusto quello che ho scritto?
Si, mannaggia!!! 
"professorkappa":
Si, mannaggia!!!
Perfetto grazie mille professorkappa!
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