Urto tra pendolo e disco
Salve a tutti, chiedo un aiuto per capire un esercizio sugli urti tra corpi rigidi. Il testo è il seguente:
Un pendolo semplice di massa m è inizialmente fermo con il filo inestensibile di lunghezza l che forma l'angolo $ Theta $ con la direzione verticale. Quando il pendolo raggiunge la posizione verticale, urta elasticamente un disco omogeneo di massa M e raggio R poggiato su un piano scabro. Il disco è inizialmente fermo. L'urto avviene nel punto P a quota R dal piano (ossia il punto P è alla stessa quota del centro del disco. Si determini la velocità angolare di rotazione $ omega $ del disco immediatamente dopo l'urto.
L'osservazione da fare era che siccome la forza impulsiva che si sviluppa nell'urto ha momento nullo rispetto al centro del disco e la forza d'attrito non è impulsiva, il momento delle forze esterne agenti sul disco è nullo e il momento angolare si conserva e, in conclusione, $ omega $ = 0.
Ora, il mio dubbio era: come avrei dovuto capire che la forza impulsiva che si sviluppa nell'urto ha momento nullo rispetto al centro del disco?
Un pendolo semplice di massa m è inizialmente fermo con il filo inestensibile di lunghezza l che forma l'angolo $ Theta $ con la direzione verticale. Quando il pendolo raggiunge la posizione verticale, urta elasticamente un disco omogeneo di massa M e raggio R poggiato su un piano scabro. Il disco è inizialmente fermo. L'urto avviene nel punto P a quota R dal piano (ossia il punto P è alla stessa quota del centro del disco. Si determini la velocità angolare di rotazione $ omega $ del disco immediatamente dopo l'urto.
L'osservazione da fare era che siccome la forza impulsiva che si sviluppa nell'urto ha momento nullo rispetto al centro del disco e la forza d'attrito non è impulsiva, il momento delle forze esterne agenti sul disco è nullo e il momento angolare si conserva e, in conclusione, $ omega $ = 0.
Ora, il mio dubbio era: come avrei dovuto capire che la forza impulsiva che si sviluppa nell'urto ha momento nullo rispetto al centro del disco?
Risposte
"Parlu10":
... come avrei dovuto capire ...
Osservando che, in assenza di attrito, la forza impulsiva interna, dovendo essere perpendicolare al profilo del disco, è necessariamente diretta lungo la direzione orizzontale.
"Parlu10":
e, in conclusione, $ omega $ = 0.
In che senso ?
Quindi il disco non si muove ?
"Noodles":
[quote="Parlu10"]
... come avrei dovuto capire ..
Osservando che, in assenza di attrito, la forza impulsiva interna, dovendo essere perpendicolare al profilo del disco, è necessariamente diretta lungo la direzione orizzontale.[/quote]
Non ho capito bene credo, potresti elaborare?
"Quinzio":
[quote="Parlu10"] e, in conclusione, $ omega $ = 0.
In che senso ?
Quindi il disco non si muove ?[/quote]
In realtà, stando alla soluzione del libro, il centro di massa del disco si muove e si può trovare questo usando la conservazione dell'energia cinetica (urto elastico) e conservazione della quantità di moto.
"Parlu10":
Non ho capito bene credo, potresti elaborare?
Direi che Noodles è stato chiaro. L'urto è elastico senza dissipazioni ed attrito e quindi l'unica forza che agisce è quella impulsiva dovuta all'urto, diretta verso il centro del disco, pertanto il suo momento rispetto al centro del disco stesso è nullo.
Non essendo presente un momento impulsivo la velocità angolare $omega$ non può cambiare istantaneamente e pertanto rimane nulla (inizialmente).
"Parlu10":
In realtà, stando alla soluzione del libro, il centro di massa del disco si muove e si può trovare questo usando la conservazione dell'energia cinetica (urto elastico) e conservazione della quantità di moto.
Inizialmente il disco si muove strisciando, con la velocità determinata dalle due leggi di conservazione, ma poichè il piano è scabro si creerà una forza di attrito e quindi un momento che lo farà ruotare aumentando $omega$, mentre la velocità di traslazione si ridurrà. Quando la velocità di traslazione uguaglierà la $omega*R$, in quell'istante cesserà lo strisciamento e da lì in poi si avrà un moto di puro rotolamento.
"ingres":
L'urto è elastico senza dissipazioni ed attrito e quindi l'unica forza che agisce è quella impulsiva dovuta all'urto, diretta verso il centro del disco, pertanto il suo momento rispetto al centro del disco stesso è nullo.
Ok, ma perché non possiamo usare come formula per trovare $ omega $ usando la conservazione del momento angolare includendo anche il pendolo, quindi:
$ lmv_i=lmv_f + I_D\omega $
In questo caso $ \omega $ viene diverso da 0, e non capisco perchè questa formula è sbagliata.
"Parlu10":
In questo caso ω viene diverso da 0, e non capisco perchè questa formula è sbagliata.
Per correttezza nell'equazione devi inserire anche la velocità traslazionale del disco per la distanza rispetto al punto a cui è appeso il pendolo, cioè anche il suo momento angolare rispetto al punto a cui è appeso il pendolo per il quale stai calcolando la conservazione del momento angolare. A questo punto scrivi anche la conservazione della quantità di moto e verifica cosa si ottiene per $omega$ unendo le due equazioni.
Scusate ma come dice noodles la forza impulsiva è diretta verso il centro perciò il braccio è nullo e quindi anche il momento è nullo.
Se il piano fosse liscio (ovvero senza attrito) il disco partirebbe via dritto senza rotolare ma dato che il piano è scabro (con attrito) se la forza impulsiva non è maggiore della forza dovuta all'attrito statico, il disco rimane fermo.
No?
Se il piano fosse liscio (ovvero senza attrito) il disco partirebbe via dritto senza rotolare ma dato che il piano è scabro (con attrito) se la forza impulsiva non è maggiore della forza dovuta all'attrito statico, il disco rimane fermo.
No?
"ingres":
Per correttezza nell'equazione devi inserire anche la velocità traslazionale del disco per la distanza rispetto al punto a cui è appeso il pendolo, cioè anche il suo momento angolare rispetto al punto a cui è appeso il pendolo per il quale stai calcolando la conservazione del momento angolare. A questo punto scrivi anche la conservazione della quantità di moto e verifica cosa si ottiene per $omega$ unendo le due equazioni.
Quindi in pratica io posso (anzi devo, visto che rende l'equazione molto più semplice) togliere i termini $ lmv_i $ $ lmv_f $ e quello che mi hai detto tu di mettere (ovvero io penso sia $ mv_(CM)sqrt(R^2+l^2) $) in quanto si riferiscono a un polo diverso da quello di $ I_d\omega_f $ che ha come polo il CM del disco. Dico bene?
"axpgn":
Se il piano fosse liscio (ovvero senza attrito) il disco partirebbe via dritto senza rotolare ma dato che il piano è scabro (con attrito) se la forza impulsiva non è maggiore della forza dovuta all'attrito statico, il disco rimane fermo.
No?
No, la forza di attrito è finita mentre l'impulso idealmente è infinito. Quindi nel tempo idealmente infinitesimo dell'urto il disco non può rimanere fermo in senso orizzontale, bensì deve acquistare istantaneamente una velocità orizzontale di strisciamento con il pendolo che cambia la propria velocità in modo da soddisfare complessivamente la conservazione della qdm e dell'energia. Solo dopo la forza di attrito comincia ad avere effetto.
"Parlu10":
Quindi in pratica ...
L'equazione della conservazione della quantità di moto fornisce
$m v_i = m v_f + M v_(CM)$
Invece per la conservazione del momento angolare risulta
$m v_i *l = m v_f * l + M v_(CM) * l + I_D * omega$
da cui si desume immediatamente $omega=0$
Nota: la distanza di CM è $sqrt(R^2+l^2)$ ma deve essere ancora moltiplicata per seno dell'angolo tra la velocità e il vettore posizione per cui il totale è $l$
"ingres":
No, la forza di attrito è finita mentre l'impulso idealmente è infinito. Quindi nel tempo idealmente infinitesimo dell'urto il disco non può rimanere fermo in senso orizzontale, bensì deve acquistare istantaneamente una velocità orizzontale di strisciamento con il pendolo che cambia la propria velocità in modo da soddisfare complessivamente la conservazione della qdm e dell'energia. Solo dopo la forza di attrito comincia ad avere effetto.
Ovvero all'atto pratico è come ho detto io
"axpgn":
Ovvero all'atto pratico è come ho detto io
Beh, Alex, mi sembra un quesito interessante.
All'atto pratico quale attrito o comunque quali condizioni sarebbero necessarie perchè il disco rimanga realmente fermo?
"Parlu10":
[quote="Noodles"][quote="Parlu10"]
... come avrei dovuto capire ..
Osservando che, in assenza di attrito, la forza impulsiva interna, dovendo essere perpendicolare al profilo del disco, è necessariamente diretta lungo la direzione orizzontale.[/quote]
Non ho capito bene credo, potresti elaborare?
"Quinzio":
[quote="Parlu10"] e, in conclusione, $ omega $ = 0.
In che senso ?
Quindi il disco non si muove ?[/quote]
In realtà, stando alla soluzione del libro, il centro di massa del disco si muove e si può trovare questo usando la conservazione dell'energia cinetica (urto elastico) e conservazione della quantità di moto.[/quote]
Fisica1...
Il piano e' scabro, quindi il disco non slitta mai.
Bisogna in qualche modo convertire il momento d'inerzia in una "massa equivalente".
Se il centro di rotazione e' il punto d'appoggio, per Huygens-Steiner l'inerzia del disco e'
$I = 1/2 MR^2 + MR^2 = 3/2 MR^2 $
da cui l'energia cinetica del disco:
$1/2 I \omega^2 = 3/4 MR^2 v_2^2 / R^2 = 3/4 Mv_2^2$
Poi si converte l'impulso angolare con l'impulso "lineare"
$r\times p = I\omega$
da cui
$p = (I \omega)/R = 3/2 MR^2 v_2/R 1/R = 3/2 M v_2$
Il pedice $1$ e' per la massa $m$ e il pedice $2$ e' per il disco.
Adesso impostiamo la conservazione dell'energia cinetica e del momento:
${ ( 1/2 m v_{1i}^2 + 3/4 M v_{2i}^2 = 1/2 m v_{1f}^2 + 3/4 M v_{2i}^2 ),
( m v_{1i} + 3/2 M v_{2i} = m v_{1f} + 3/2 M v_{2f} ):}$
Siccome il disco e' fermo all'inizio $v_{2i} = 0$:
${ ( 1/2 m v_{1i}^2 = 1/2 m v_{1f}^2 + 3/4 M v_{2i}^2 ),
( m v_{1i} = m v_{1f} + 3/2 M v_{2f} ):}$
Con qualche passaggio algebrico
${ ( m (v_{1i}^2 - v_{1f}^2) = 3/2 M v_{2i}^2 ),
( m (v_{1i} - v_{1f}) = 3/2 M v_{2f} ):}$
Ora dividiamo membro a membro e otteniamo
$v_{1i} + v_{1f} = v_{2f}$
sostituiamo questa nell'equazione dei momenti
$ 2m v_{1i} = (m + 3/2 M) v_{2f}$
da cui
$ v_{2f} = (2m)/(m + 3/2 M) v_{1i} = (4m)/(2m + 3 M) v_{1i}$
La velocita' inziale della massa $m$ viene dalla perdita di energia potenziale
$1/2 m v_{1i}^2 = (1- cos \theta) l mg$
ovvero
$ v_{1i} = \sqrt ( (1- cos \theta) l g )$
In definitiva la velocita' del baricentro del disco e'
$ v_{2f} = (4m)/(2m + 3 M) \sqrt ( (1- cos \theta) l g )$
Per la velocita' angolare dividiamo per $R$
$ \omega_f = (4m)/(2m + 3 M) \sqrt ( (1- cos \theta) l g )/R$
@ingres
In pratica, per esemplificare estremizzando, supponi di avere una palla da biliardo (su un biliardo) colpita in direzione esattamente radiale da un pendolo con la massa composta da una pallina da ping pong: col cavolo che la palla si muove al massimo ha un piccolo sussulto 
In pratica, per esemplificare estremizzando, supponi di avere una palla da biliardo (su un biliardo) colpita in direzione esattamente radiale da un pendolo con la massa composta da una pallina da ping pong: col cavolo che la palla si muove
al massimo ha un piccolo sussulto
Si ok, e' chiaro che l'attrito dovrebbe essere infinito e questo e' impossibile, ma questi sono esercizi semplici per fare pratica con le formule. IN questi esercizietti, quando scrivono che il piano e' scabro, significa che il disco non slitta.
"axpgn":
In pratica, per esemplificare estremizzando, supponi di avere una palla da biliardo (su un biliardo) colpita in direzione esattamente radiale da un pendolo con la massa composta da una pallina da ping pong: col cavolo che la palla si muove al massimo ha un piccolo sussulto
Il che vuol dire solo che essendo la massa della palla molto maggiore di quella della pallina. la palla acquista una velocità ridicola e quindi si muove di pochissimo, perchè l'attrito poi la ferma quasi immediatamente. Però questo è valido solo per velocità della pallina ragionevoli. Se la velocità è elevata anche la palla da biliardo si mette in moto. Quindi la domanda rimane.
Perché la palla deve muoversi comunque? Perché ipotizzi che l'impulso sia infinito; diversamente da ciò se la forza applicata dall'impulso non è abbastanza grande da superare quella opposta dall'attrito statico, la palla non si muove proprio.
Peraltro mi piacerebbe conoscere quale sia, precisamente, la risposta/commento "ufficiale"
Peraltro mi piacerebbe conoscere quale sia, precisamente, la risposta/commento "ufficiale"
@Alex
Anche all'atto pratico solitamente la forza d'urto è intesa e definita come una forza molto più grande di qualsiasi forza esterna agente sul sistema (gravità, attrito, ecc.) e applicata per tempi molto brevi. Quindi in questo breve intervallo il sistema usualmente viene considerato isolato.
Per questo il fatto che l'attrito riesca a sovrastare la forza d'urto è da considerarsi eccezionale (visto che il coefficiente di attrito è comunque limitato, questo potrebbe avvenire con una massa molto grande, per cui siamo sempre nel caso di una schematizzazione contro un'altra, ovvero di una forza irresistibile contro una massa inamovibile).
Detto questo anch'io sono curioso di vedere la soluzione "ufficiale".
Anche all'atto pratico solitamente la forza d'urto è intesa e definita come una forza molto più grande di qualsiasi forza esterna agente sul sistema (gravità, attrito, ecc.) e applicata per tempi molto brevi. Quindi in questo breve intervallo il sistema usualmente viene considerato isolato.
Per questo il fatto che l'attrito riesca a sovrastare la forza d'urto è da considerarsi eccezionale (visto che il coefficiente di attrito è comunque limitato, questo potrebbe avvenire con una massa molto grande, per cui siamo sempre nel caso di una schematizzazione contro un'altra, ovvero di una forza irresistibile contro una massa inamovibile
).Detto questo anch'io sono curioso di vedere la soluzione "ufficiale".
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Soluzione classica
Vabbé, le masse sono simili
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