Urto tra due corpi
L’intuizione fisica a volte aiuta nel “vedere” certe soluzioni, a volte invece pare addirittura controproducente.
Mi sono posto ad esempio il semplice problema che vado a esporre.
Siamo in ambiente monodimensionale (asse x).
Un corpo di dimensioni trascurabili e massa $m1$ scivola senza attito lungo l’asse x, provenendo da $-\infty$ con velocità $v_0$. Ad un certo istante urta un secondo corpo inizialmente fermo di massa $m_2$. L’urto è perfettamente elastico e non ci sono attriti. Determinare le velocità $v_1$ e $v_2$ dei due corpi dopo l’urto.
Il problema è evidentemente di facile soluzione: basta applicare le consuete equazioni di conservazione.
Posto dunque $\beta = \frac{m_1}{m_2}$, la soluzione mi risulta:
$v_1 = v_0\frac{\beta - 1}{\beta + 1}$
$v_2 = v_0\frac{2\beta }{\beta + 1}$
Il risultato è rappresentato nel grafico sottostante.
E’ abbastanza intuitivo, e anche esperienza comune, che: se $\beta=1$ il corpo 1 si ferma e trasferisece l’intera quantità di moto al corpo 2; se $\beta \to 0$ (è il caso di massa $m_2$ molto maggiore di $m_1$), il corpo 1 rimbalza con velocità prossima a $-v_0$ mentre il corpo 2 tende a rimanere fermo.
Nel caso invece in cui $\beta \to \infty $ (cioè $m_2$ molto minore di $m_1$ e al limite tendente a zero), i calcoli dicono che $v_1 \to \+v_0$ mentre $v_2 \to \+2v_0$. Come dire che in questo caso il corpo 1 continua a correre senza venire minimamente disturbato dall’urto (e questo è intuibile), mentre il corpo 2 lo precede a velocità doppia. Ecco, è proprio questa tendenza $v_2 \to \+2v_0$ ciò che la mia intuizione fisica non riesce a “vedere".
La domanda che pongo è dunque questa: qualcuno riesce a darsi una spiegazione intuitiva di questo fatto? Oppure ho commesso qualche banale errore di calcolo del quale non mi sto accorgendo, anche se ci sto rimuginando sopra da un pezzo?
Io di solito mi affido molto all’intuizione come verifica della bontà dei calcoli eseguiti, ma in questo caso l’intuito non mi sta aiutando.
Mi sono posto ad esempio il semplice problema che vado a esporre.
Siamo in ambiente monodimensionale (asse x).
Un corpo di dimensioni trascurabili e massa $m1$ scivola senza attito lungo l’asse x, provenendo da $-\infty$ con velocità $v_0$. Ad un certo istante urta un secondo corpo inizialmente fermo di massa $m_2$. L’urto è perfettamente elastico e non ci sono attriti. Determinare le velocità $v_1$ e $v_2$ dei due corpi dopo l’urto.
Il problema è evidentemente di facile soluzione: basta applicare le consuete equazioni di conservazione.
Posto dunque $\beta = \frac{m_1}{m_2}$, la soluzione mi risulta:
$v_1 = v_0\frac{\beta - 1}{\beta + 1}$
$v_2 = v_0\frac{2\beta }{\beta + 1}$
Il risultato è rappresentato nel grafico sottostante.
E’ abbastanza intuitivo, e anche esperienza comune, che: se $\beta=1$ il corpo 1 si ferma e trasferisece l’intera quantità di moto al corpo 2; se $\beta \to 0$ (è il caso di massa $m_2$ molto maggiore di $m_1$), il corpo 1 rimbalza con velocità prossima a $-v_0$ mentre il corpo 2 tende a rimanere fermo.
Nel caso invece in cui $\beta \to \infty $ (cioè $m_2$ molto minore di $m_1$ e al limite tendente a zero), i calcoli dicono che $v_1 \to \+v_0$ mentre $v_2 \to \+2v_0$. Come dire che in questo caso il corpo 1 continua a correre senza venire minimamente disturbato dall’urto (e questo è intuibile), mentre il corpo 2 lo precede a velocità doppia. Ecco, è proprio questa tendenza $v_2 \to \+2v_0$ ciò che la mia intuizione fisica non riesce a “vedere".
La domanda che pongo è dunque questa: qualcuno riesce a darsi una spiegazione intuitiva di questo fatto? Oppure ho commesso qualche banale errore di calcolo del quale non mi sto accorgendo, anche se ci sto rimuginando sopra da un pezzo?
Io di solito mi affido molto all’intuizione come verifica della bontà dei calcoli eseguiti, ma in questo caso l’intuito non mi sta aiutando.
Risposte
cioè, quello che ti stai chiedendo è, che se m1 è molto più grande di m2, la velocità di m2 tende a essere sempre doppia di v1, indipendentemente dalla massa di questo... Forse intuitivamente ti aspettavi che al tendere di m1 a infinito la velocità v2 dovesse tendere anchessa a infinito, e non stabilizzarsi su un valore costante, guarda caso 2. E' questa la tua perplessità?
provo a immaginare una situazione vicina alla realtà-
immaginiamo la massa m1 come una montagna, mentre la massa m2 come un sasso. Ora spostiamo il sistema di riferimento alla montagna. In tal caso non è la montagna che va a maometto, ma il sasso che va verso la montagna con velocità pari a -v1, e fin qui tutto ok.
Ora, quando avviene l'urto, è come se il sassolino rimbalza contro la montagna: questa rimane ferma, e il sassolino rimbalza esattamente con la stessa velocità ma di segno opposto, e cioè parte con velocità pari a +v1, che sommata alla velocità del sistema di riferimento diventa pari a +2v1....
immaginiamo la massa m1 come una montagna, mentre la massa m2 come un sasso. Ora spostiamo il sistema di riferimento alla montagna. In tal caso non è la montagna che va a maometto, ma il sasso che va verso la montagna con velocità pari a -v1, e fin qui tutto ok.
Ora, quando avviene l'urto, è come se il sassolino rimbalza contro la montagna: questa rimane ferma, e il sassolino rimbalza esattamente con la stessa velocità ma di segno opposto, e cioè parte con velocità pari a +v1, che sommata alla velocità del sistema di riferimento diventa pari a +2v1....
la differenza tra beta=0 e beta=infinito non è in questo caso la stessa, perchè a muoversi è sempre il corpo m1, e il sistema di riferimento da te scelto è quello solidale a m2 (prima dell'urto). Il tuo grafico sarebbe simmetrico rispetto all'asse x se entrambi i corpi viaggiassero uno contro l'altro con velocità in modulo pari a v1, in tal caso la curva delle velocità antrebbe da -v1 a +v1...
Cioè in definitiva è tutta una questione di sistema di riferimento.
Cioè in definitiva è tutta una questione di sistema di riferimento.
Il concetto di intuitivo è molto relativo.
Forse ti può essere d'aiuto considerare l'urto nel sistema di riferimento (peraltro inerziale) del centro di massa. In questo caso un urto elastico si vede semplicemente come una inversione delle velocità dei corpi urtanti (solo in tal modo si conservano energia cinetica e quantità di moto). Nel caso di un corpo di massa preponderante il CM è di fatto solidale a questo quindi la legge di inversione prevede che il corpo piccolo prima arrivi e poi parta alla stessa velocità, da cui, se nel sistema assoluto prima era fermo, ...
Inoltre è esperienza comune che 'sperimentiamo' quando colpiamo una pallina da ping pong o anche da tennis in un servizio. Perché ti sembra strano che la pallina parta con una velocità doppia di quella della racchetta? A quale velocità (ovviamente maggiore di quella della racchetta) pensi sia intuitivo che parta?
Forse ti può essere d'aiuto considerare l'urto nel sistema di riferimento (peraltro inerziale) del centro di massa. In questo caso un urto elastico si vede semplicemente come una inversione delle velocità dei corpi urtanti (solo in tal modo si conservano energia cinetica e quantità di moto). Nel caso di un corpo di massa preponderante il CM è di fatto solidale a questo quindi la legge di inversione prevede che il corpo piccolo prima arrivi e poi parta alla stessa velocità, da cui, se nel sistema assoluto prima era fermo, ...
Inoltre è esperienza comune che 'sperimentiamo' quando colpiamo una pallina da ping pong o anche da tennis in un servizio. Perché ti sembra strano che la pallina parta con una velocità doppia di quella della racchetta? A quale velocità (ovviamente maggiore di quella della racchetta) pensi sia intuitivo che parta?
"mircoFN":
Il concetto di intuitivo è molto relativo.
Forse ti può essere d'aiuto considerare l'urto nel sistema di riferimento (peraltro inerziale) del centro di massa. In questo caso un urto elastico si vede semplicemente come una inversione delle velocità dei corpi urtanti (solo in tal modo si conservano energia cinetica e quantità di moto). Nel caso di un corpo di massa preponderante il CM è di fatto solidale a questo quindi la legge di inversione prevede che il corpo piccolo prima arrivi e poi parta alla stessa velocità, da cui, se nel sistema assoluto prima era fermo, ...
"boba74":
immaginiamo la massa m1 come una montagna, mentre la massa m2 come un sasso. Ora spostiamo il sistema di riferimento alla montagna. In tal caso non è la montagna che va a maometto, ma il sasso che va verso la montagna con velocità pari a -v1, e fin qui tutto ok.
Ora, quando avviene l'urto, è come se il sassolino rimbalza contro la montagna: questa rimane ferma, e il sassolino rimbalza esattamente con la stessa velocità ma di segno opposto, e cioè parte con velocità pari a +v1, che sommata alla velocità del sistema di riferimento diventa pari a +2v1....
Ragazzi vi ringrazio, era proprio questo il punto di vista che mi mancava e devo dire che la vostra argomentazione è estremamente convincente e mette pace tra la mia ragione e la mia intuizione.
"mircoFN":
Inoltre è esperienza comune che 'sperimentiamo' quando colpiamo una pallina da ping pong o anche da tennis in un servizio. Perché ti sembra strano che la pallina parta con una velocità doppia di quella della racchetta? A quale velocità (ovviamente maggiore di quella della racchetta) pensi sia intuitivo che parta?
Diciamo che non c'era nulla che mi facesse propendere per il $2v_0$.
Ma dopo quanto avete detto, adesso la cosa mi sembra assolutamente plausibile.
Ciao e grazie.
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