Urto tra corpi rigidi e centro di massa
Ho un dubbio sull'utilizzo del c.m. negli urti tra corpi rigidi.
Si consideri un urto come quello in figura tra un asta libera di muoversi ( con inizialmente velocità del c.m. $v$ e velocità rotazionale $\omega$) e un ostacolo fisso nel piano. L'urto è elastico, dunque, oltre al momento angolare, si conserva l'energia cinetica. Si chiede di trovare qual è la velocità del c.m. $\v'$ dopo l'urto.
Ora io non vedo nessun motivo per cui non possa prendere come polo il c.m. dell'asta.
Rispetto a tale polo, prima dell'urto $L_i=I_c \omega=\frac{1}{12} ml^2 \omega$
E dopo l'urto?
$L_f=I_c \omega'=\frac{1}{12} ml^2 \omega'$ , corretto?
Se così è allora $L_i=L_f \implies \omega=\omega'$
E se questo è vero, allora, dalla conservazione dell'energia cinetica, segue necessariamente $v=v'$.
Ovviamente c'è qualcosa che non va ma non capisco dove sia l'errore nel considerare come polo il c.m. E' vero che l'ostacolo esercita una forza e un momento impulsivi ma la reazione dell'ostacolo è una forza esterna? Perché dovrebbe esserlo dato che è coinvolto nell'urto?
Si consideri un urto come quello in figura tra un asta libera di muoversi ( con inizialmente velocità del c.m. $v$ e velocità rotazionale $\omega$) e un ostacolo fisso nel piano. L'urto è elastico, dunque, oltre al momento angolare, si conserva l'energia cinetica. Si chiede di trovare qual è la velocità del c.m. $\v'$ dopo l'urto.
Ora io non vedo nessun motivo per cui non possa prendere come polo il c.m. dell'asta.
Rispetto a tale polo, prima dell'urto $L_i=I_c \omega=\frac{1}{12} ml^2 \omega$
E dopo l'urto?
$L_f=I_c \omega'=\frac{1}{12} ml^2 \omega'$ , corretto?
Se così è allora $L_i=L_f \implies \omega=\omega'$
E se questo è vero, allora, dalla conservazione dell'energia cinetica, segue necessariamente $v=v'$.
Ovviamente c'è qualcosa che non va ma non capisco dove sia l'errore nel considerare come polo il c.m. E' vero che l'ostacolo esercita una forza e un momento impulsivi ma la reazione dell'ostacolo è una forza esterna? Perché dovrebbe esserlo dato che è coinvolto nell'urto?
Risposte
Il sistema in moto è l'asta, dunque l'impulso che riceve dall'ostacolo è una forza esterna, pertanto la quantità di moto dell'asta varia, così come varia il momento angolare rispetto al centro di massa. Se si sapesse quanto vale l'impulso si potrebbe calcolare tutto, ma la reazione del corpo immobile sull'asta è sconosciuta, dunque l'unico modo per non doverla considerare è calcolare il momento angolare rispetto a un polo situato sul punto dell'urto, perché in tal caso il momento meccanico impulsivo rispetto a quel polo è nullo.
L'urto sarebbe una forza interna se l'ostacolo fosse un corpo di massa nota m. Allora nel complesso del sistema asta + corpo si conserverebbero sia la q.d.m. (somma dei due corpi) che il momento angolare complessivo rispetto a un polo qualsiasi. Però anche in questo caso sarebbe comodo prendere sempre il medesimo polo, non sapendo in prima battuta quanto vale l'impulso dovuto all'urto.
L'urto sarebbe una forza interna se l'ostacolo fosse un corpo di massa nota m. Allora nel complesso del sistema asta + corpo si conserverebbero sia la q.d.m. (somma dei due corpi) che il momento angolare complessivo rispetto a un polo qualsiasi. Però anche in questo caso sarebbe comodo prendere sempre il medesimo polo, non sapendo in prima battuta quanto vale l'impulso dovuto all'urto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo