Urto totalmente anaelastico
Problema: un'esplosione interna ad un oggetto fermo libera un'energia $E=7500J$ e spezza l'oggetto stesso in due parti di cui uno ha una massa pari a $3/2$ la massa dell'altro. Devo trovare l'energia cinetica finale di entrambi i frammenti.
Ho trattato il problema come fosse un urto totalmente anaelastico quindi ho imposto la conservazione dell'energia totale
$$E=K_A+K_B=\frac{1}{2}m(v_A^2+\frac{3}{2}v_B^2)$$
e la conservazione della quantità di moto (sapendo che inizialmente il corpo è fermo)
$$0=q_A+q_B=mv_A+\frac{3}{2}mv_B \rightarrow v_A=-\frac{3}{2}v_B$$
A questo punto ho sostituito $v_A$ nella precedente trovando
$$7500J=E=\frac{1}{2}m((-\frac{3}{2}v_B)^2+\frac{3}{2}v_B^2)=\frac{1}{2}m(\frac{9}{4}v_B^2+\frac{3}{2}v_B^2)=\frac{15}{4}(\frac{1}{2}mv_B^2)=\frac{15}{4}K_B$$
da cui $K_B=2000J$. Allo stesso modo ho trovato $K_A=4500J$. Il problema è che $K_A+K_B=6500J$ ovvero mi mancano $1000J$ al totale quindi devo aver sbagliato qualcosa, ma non riesco ad identificare cosa. Sapreste darmi una mano?
Ho trattato il problema come fosse un urto totalmente anaelastico quindi ho imposto la conservazione dell'energia totale
$$E=K_A+K_B=\frac{1}{2}m(v_A^2+\frac{3}{2}v_B^2)$$
e la conservazione della quantità di moto (sapendo che inizialmente il corpo è fermo)
$$0=q_A+q_B=mv_A+\frac{3}{2}mv_B \rightarrow v_A=-\frac{3}{2}v_B$$
A questo punto ho sostituito $v_A$ nella precedente trovando
$$7500J=E=\frac{1}{2}m((-\frac{3}{2}v_B)^2+\frac{3}{2}v_B^2)=\frac{1}{2}m(\frac{9}{4}v_B^2+\frac{3}{2}v_B^2)=\frac{15}{4}(\frac{1}{2}mv_B^2)=\frac{15}{4}K_B$$
da cui $K_B=2000J$. Allo stesso modo ho trovato $K_A=4500J$. Il problema è che $K_A+K_B=6500J$ ovvero mi mancano $1000J$ al totale quindi devo aver sbagliato qualcosa, ma non riesco ad identificare cosa. Sapreste darmi una mano?
Risposte
Credo che sostituendo in questo modo si trascuri qualcosa, perché c'è un rapporto di proporzionalità tra le masse ma anche tra le velocità. Riscrivi l'equazione di conservazione dell'energia senza mettere in evidenza $1/2m$.
Ciao. Hai sbagliato qua:
Comunque non l'hai trattato come un urto anelastico, visto che hai - giustamente - imposto la conservazione dell'energia meccanica.
EDIT: scusa MrMojo per la sovrapposizione
"NomeGiaInUso":nell'identificare $m$ con la massa $m_B$.
\[ ..=\frac{15}{4}(\frac{1}{2}mv_B^2)=\frac{15}{4}K_B \]
Comunque non l'hai trattato come un urto anelastico, visto che hai - giustamente - imposto la conservazione dell'energia meccanica.
EDIT: scusa MrMojo per la sovrapposizione
$K_B=1/2(3/2)mv_B^2$
Giusto, non me ne ero accorto, grazie a tutti.
Per quanto riguarda invece la questa osservazione, non potrebbe essere considerato ugualmente come urto anaelastico? Per come conosco la cosa io nell'urto totalmente anaelastico ho due corpi che si urtano e proseguono poi alla stessa velocità, come si fossero attaccati. Nel mio caso ho due corpi attaccati (i due frammenti) che si separano, una sorta di urto totalmente anaelastico "all'indietro". Quindi l'energia cinetica non si conserva (allo stato iniziale è nulla, in quello finale è positiva) ma si conserva l'energia totale, ovvero la cinetica più quella liberata dall'esplosione, da cui ho ricavato $E=K_A+K_B$... esiste per caso un'altro modo per trattare problemi di natura anaelastica?
"Palliit":
Comunque non l'hai trattato come un urto anelastico, visto che hai - giustamente - imposto la conservazione dell'energia meccanica.
Per quanto riguarda invece la questa osservazione, non potrebbe essere considerato ugualmente come urto anaelastico? Per come conosco la cosa io nell'urto totalmente anaelastico ho due corpi che si urtano e proseguono poi alla stessa velocità, come si fossero attaccati. Nel mio caso ho due corpi attaccati (i due frammenti) che si separano, una sorta di urto totalmente anaelastico "all'indietro". Quindi l'energia cinetica non si conserva (allo stato iniziale è nulla, in quello finale è positiva) ma si conserva l'energia totale, ovvero la cinetica più quella liberata dall'esplosione, da cui ho ricavato $E=K_A+K_B$... esiste per caso un'altro modo per trattare problemi di natura anaelastica?
L'esplosione "libera" una certa energia, tale energia può essere spesa per aumentare l'energia cinetica dei due frammenti oppure una parte può essere in qualche modo dispersa, in assenza di altri dati, si suppone che tutta l'energia liberata venga spesa per aumentare l'energia cinetica dei due frammenti, l'analogia con gli "urti all'indietro" la vedo un po' forzata
"Vulplasir":Concordo completamente. Se proprio vogliamo cercare un'analogia, vedrei meglio quella con una molla compressa che improvvisamente scatta proiettando le masse.
... l'analogia con gli "urti all'indietro" la vedo un po' forzata
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