Urto relativistico anelastico
Esercizio
Un corpo di massa m incide con velocità v su di un corpo di ugual massa, inizialmente in quiete. In seguito all’urto rettilineo completamente anelastico tra i due, si forma un corpo unico. Se ne determinino la velocità e la massa e si confronti il caso dell’urto relativistico con quello classico, discutendo il limite del primo per $v < < c$.
Mio svolgimento
nel sistema del laboratorio il 4-impulso totale ha la forma $(P^(mu))_(TOT)= (m gamma(v) vecv , mc(gamma(v)+1))$
la velocità di traslazione $u$ è allora nel sistema del CM data dall'annullamento delle componenti spaziali del 4-impulso, e dunque
$m gamma(u)[gamma(v) vecv -vecu (gamma(v)+1)]=0 rArr vecu = (vecv)/(gamma(v) (gamma(v)+1))$
che è anche la velocità nel sistema del lab per definizione di urto anelastico perchè la particella risultante è in quiete rispetto al CM.
per la massa devo imporre $(P^0)_(TOT)= Mc$ che viene $m gamma(u)[c (gamma(v)+1)-(gamma(v))/c (vecu * vecv)]$
e quindi una massa di $M = m gamma(u)[(gamma(v)+1)-(gamma(v))/c^2 (vecu * vecv)] $
per il limite non-relativistico (ovvero per $v/c -> 0$) noto che $vecu -> vecv /2$ e dunque tutti i fattori di Lorentz in gioco tendono ad 1 e di conseguenza $M -> 2m$
pensate possa andare? mi viene il dubbio perchè nella trasformazione della componente spaziale in un altro esercizio non considerava l'equazione $m gamma(u)[vecv -vecu (gamma(v)+1)]=0$. non capisco perchè però dato che $vecp = mgamma(v)vecv$
Un corpo di massa m incide con velocità v su di un corpo di ugual massa, inizialmente in quiete. In seguito all’urto rettilineo completamente anelastico tra i due, si forma un corpo unico. Se ne determinino la velocità e la massa e si confronti il caso dell’urto relativistico con quello classico, discutendo il limite del primo per $v < < c$.
Mio svolgimento
nel sistema del laboratorio il 4-impulso totale ha la forma $(P^(mu))_(TOT)= (m gamma(v) vecv , mc(gamma(v)+1))$
la velocità di traslazione $u$ è allora nel sistema del CM data dall'annullamento delle componenti spaziali del 4-impulso, e dunque
$m gamma(u)[gamma(v) vecv -vecu (gamma(v)+1)]=0 rArr vecu = (vecv)/(gamma(v) (gamma(v)+1))$
che è anche la velocità nel sistema del lab per definizione di urto anelastico perchè la particella risultante è in quiete rispetto al CM.
per la massa devo imporre $(P^0)_(TOT)= Mc$ che viene $m gamma(u)[c (gamma(v)+1)-(gamma(v))/c (vecu * vecv)]$
e quindi una massa di $M = m gamma(u)[(gamma(v)+1)-(gamma(v))/c^2 (vecu * vecv)] $
per il limite non-relativistico (ovvero per $v/c -> 0$) noto che $vecu -> vecv /2$ e dunque tutti i fattori di Lorentz in gioco tendono ad 1 e di conseguenza $M -> 2m$
pensate possa andare? mi viene il dubbio perchè nella trasformazione della componente spaziale in un altro esercizio non considerava l'equazione $m gamma(u)[vecv -vecu (gamma(v)+1)]=0$. non capisco perchè però dato che $vecp = mgamma(v)vecv$
Risposte
Se conosci la seguente semplice relazione, valida per una particella libera:
$[V=c^2P/E]$
almeno per quanto riguarda la velocità, fai decisamente prima:
$[V=c^2((mv)/sqrt(1-v^2/c^2))/((mc^2)/sqrt(1-v^2/c^2)+mc^2)] rarr [V=v/(1+sqrt(1-v^2/c^2))]$
Se non altro, adesso puoi fare una verifica.
$[V=c^2P/E]$
almeno per quanto riguarda la velocità, fai decisamente prima:
$[V=c^2((mv)/sqrt(1-v^2/c^2))/((mc^2)/sqrt(1-v^2/c^2)+mc^2)] rarr [V=v/(1+sqrt(1-v^2/c^2))]$
Se non altro, adesso puoi fare una verifica.
la formula non la conoscevo ma sicuramente adesso la farò mia. dalla tua formula comunque ho capito due cose:
1. ha sbagliato il professore
2. ho sbagliato ad invertire anche io. dovrebbe essere $vecu = (gamma(v))/(1+gamma(v))vecv$
il professore credo a questo punto si sia dimenticato il fattore.
come sempre grazie infinite per le delucidazioni!
1. ha sbagliato il professore
2. ho sbagliato ad invertire anche io. dovrebbe essere $vecu = (gamma(v))/(1+gamma(v))vecv$
il professore credo a questo punto si sia dimenticato il fattore.
come sempre grazie infinite per le delucidazioni!
Scanso equivoci:
$[E=(Mc^2)/sqrt(1-V^2/c^2)] ^^ [P=(MV)/sqrt(1-V^2/c^2)] rarr [V=c^2P/E]$
$[E=(Mc^2)/sqrt(1-V^2/c^2)] ^^ [P=(MV)/sqrt(1-V^2/c^2)] rarr [V=c^2P/E]$
si ero riuscito a dimostrarla. 
Thanks again!
Thanks again!
Ho trovato questa vecchia discussione sull'urto relativistico anelastico di due particelle uguali . In un primo momento, è risolto considerando le particelle dotate di velocità uguali e contrarie, quindi nel riferimento del loro cm , che in questo caso coincide con quello del laboratorio. Poi si passa al riferimento di quiete della particella di destra . Alla fine, la massa calcolata nei due modi deve essere la stessa.
La formula da voi ricavata per la velocità ( mi piace la soluzione rapida di @anonymous_0b37e9
) è riportata in una delle risposte :
$w = u (gamma(u))/(1+gamma(u)) $
trovata con un ragionamento un po' diverso , ma equivalente.
La formula da voi ricavata per la velocità ( mi piace la soluzione rapida di @anonymous_0b37e9
) è riportata in una delle risposte :$w = u (gamma(u))/(1+gamma(u)) $
trovata con un ragionamento un po' diverso , ma equivalente.
wow grazie mille 
discussione illuminante che domani riprenderò e farò meglio e con più calma!
discussione illuminante che domani riprenderò e farò meglio e con più calma!
Ciao Shackle. Immagino che tu ti stia riferendo al passo sottostante:
Ho proposto quella formula, a te senz'altro nota, per consentire a cooper di fare una veloce verifica. Ad ogni modo, volevo ringraziarti per gli interessanti riferimenti che hai dato nell'ultima discussione, quella che è stata recentemente chiusa per intenderci. Mi sono ripromesso, prima o poi, di leggere qualcosa con la dovuta attenzione.
Ho proposto quella formula, a te senz'altro nota, per consentire a cooper di fare una veloce verifica. Ad ogni modo, volevo ringraziarti per gli interessanti riferimenti che hai dato nell'ultima discussione, quella che è stata recentemente chiusa per intenderci. Mi sono ripromesso, prima o poi, di leggere qualcosa con la dovuta attenzione.
"anonymous_0b37e9":
Ciao Shackle. Immagino che tu ti stia riferendo al passo sottostante....
Certo, mi riferisco a questo.
Ho proposto quella formula, a te senz'altro nota, per consentire a cooper di fare una veloce verifica. Ad ogni modo, volevo ringraziarti per gli interessanti riferimenti che hai dato nell'ultima discussione, quella che è stata recentemente chiusa per intenderci. Mi sono ripromesso, prima o poi, di leggere qualcosa con la dovuta attenzione.
Mi piace gironzolare su internet, e se trovo cose buone le metto nel mio archivio personale, per cui faccio presto a rintracciarle quando possono essere utili. Come ben sai, il web è pieno di buone pubblicazioni (ma anche di robaccia, bisogna fare attenzione!).
Grazie a te e a quelli che leggono per il piacere di farlo. Non ho meriti particolari.Il mio scopo è aiutare gli studenti se e come posso, ed è lo scopo tuo e di tanti .
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