Urto proiettile-asta
Due corpi A di massa 0,15 kg e B di massa 0,35 kg sono agli estremi di un asta lunga 1 m. Questa è libera di ruotare attorno ad un asse verticale passante per O, distante 0,7 m da A e 0,3 m da B. Il sistema è quiete, fino a quando un proiettile di massa 0,07 kg colpisce il corpo B con velocità 20 m/s inclinata di 20° rispetto all asta, attraversandolo ed uscendone con velocità 10 m/s mantenendo la sua direzione. Per effetto dell urto il sistema incomincia a ruotare. Trovare: la velocità angolare del sistema immediatamente dopo l urto, la velocità del corpo A quando raggiunge la posizione più bassa, la componente media orizzontale Fx e verticale Fy della forza impulsiva durante l urto, assunto di durata τ di 0,02 s.
Risposte
Suppongo che il sistema possa ruotare in un piano verticale (è importante?). In ogni modo:
Domanda numero 1. Conservazione momento angolare rispetto ad O per il sistema asta proiettile.
Domanda numero 2. Conservazione dell'energia per la sola asta.
Domanda numero 3. Variazione della quantità di moto per il sistema asta proiettile.
Domanda numero 1. Conservazione momento angolare rispetto ad O per il sistema asta proiettile.
Domanda numero 2. Conservazione dell'energia per la sola asta.
Domanda numero 3. Variazione della quantità di moto per il sistema asta proiettile.
Per i primi due punti ci sono, per il terzo non molto...
Le forze medie impulsive sono ricavabili dalla formula J/τ quindi essendo l impulso la variazione di quantità di moto, bisogna studiare le variazioni di quantità di moto secondo la componente orizzontale e quella verticale; qui nascono i problemi, perchè il libro tra le soluzione le scrive in questo modo:
ΔPx: (mvcosθ)/2 - mvcosθ
ΔPy: (mvsenθ)^2 - mvsenθ
Per la quantità di moto per la componente x ci siamo, perchè quella iniziale è massa proiettile per componente orizzontale della velocità iniziale e quella finale è massa proiettile per componente orizzontale della velocità finale (metà della velocità iniziale)
Per la quantità di moto per la componente y, quella iniziale è massa proiettile per componente verticale della velocità iniziale, ma quella finale non capisco, perchè risulta quella quantità al quadrato?
Le forze medie impulsive sono ricavabili dalla formula J/τ quindi essendo l impulso la variazione di quantità di moto, bisogna studiare le variazioni di quantità di moto secondo la componente orizzontale e quella verticale; qui nascono i problemi, perchè il libro tra le soluzione le scrive in questo modo:
ΔPx: (mvcosθ)/2 - mvcosθ
ΔPy: (mvsenθ)^2 - mvsenθ
Per la quantità di moto per la componente x ci siamo, perchè quella iniziale è massa proiettile per componente orizzontale della velocità iniziale e quella finale è massa proiettile per componente orizzontale della velocità finale (metà della velocità iniziale)
Per la quantità di moto per la componente y, quella iniziale è massa proiettile per componente verticale della velocità iniziale, ma quella finale non capisco, perchè risulta quella quantità al quadrato?
Credo tu abbia notato che l'asta è vincolata proprio nel punto che coincide con il baricentro del sistema costituito dalle due masse e che per questo motivo la quantità di moto di quel sistema è nulla prima dell'urto ma anche dopo, il baricentro rimane fermo. A questo punto la variazione della quantità di moto è solo quella del proiettile e quindi quella potenza in realtà è un quoziente.
Quindi tu dici che è un errore del libro? Mi consolerebbe parecchio 
anch'io l ho pensato, anche perchè per definizione è impossibile che due quantità di moto si moltiplichino fra di loro...
anch'io l ho pensato, anche perchè per definizione è impossibile che due quantità di moto si moltiplichino fra di loro...
ma secondo voi usando la conservazione dell'energia si fa il primo? intendo:
$1/2Iomega^2 + 1/2Mp(Vo^2)/4 = 1/2MpVo^2 -> omega=sqrt((3Mp)/(4I))*Vo$
poi però se non ci sono forze dissipative la velocità di A rimane costante cioè è sempre $|Va| = omega*bar(AG)$ no?
mentre per l'ultimo punto hai
$ vec(F) = d/(dt)vec(q) -> d vec(q) = vec(F)*dt -> int_(0)^(t') (vec(F)) = vec(q)f - vec(q)i -> vec(F)*t' = -1/2Mpvec(V)o -> vec(F) = - (Mp)/(2t') vec(V)o$
e in effetti è una forza resistente diretta come Vo. poi proiettando trovi le componenti
non sono molto convinto sul secondo punto, che ne pensate?
$1/2Iomega^2 + 1/2Mp(Vo^2)/4 = 1/2MpVo^2 -> omega=sqrt((3Mp)/(4I))*Vo$
poi però se non ci sono forze dissipative la velocità di A rimane costante cioè è sempre $|Va| = omega*bar(AG)$ no?
mentre per l'ultimo punto hai
$ vec(F) = d/(dt)vec(q) -> d vec(q) = vec(F)*dt -> int_(0)^(t') (vec(F)) = vec(q)f - vec(q)i -> vec(F)*t' = -1/2Mpvec(V)o -> vec(F) = - (Mp)/(2t') vec(V)o$
e in effetti è una forza resistente diretta come Vo. poi proiettando trovi le componenti
non sono molto convinto sul secondo punto, che ne pensate?
Il testo non parla di urto elastico, quindi non posso a priori conservare l'energia cinetica. Una cosa è indiscutibile: nel momento dell'urto l'unica forza esterna, se vuoi impulsiva, che agisce è la reazione vincolare nel punto O. Avendo questa braccio nullo rispetto ad O, si conserva il momento angolare rispetto ad O.
Del resto, considerando i dati assegnati dal problema, l'unica incognita è la velocità angolare dell'asta dopo l'urto, e quindi la conservazione del momento angolare è l'unica equazione che può essere utilizzata per determinarla, senza supporre ulteriori condizioni di cui il testo non parla. A questo punto, se proprio vuoi verificare la conservazione dell'energia cinetica, puoi farlo, ma utilizzando la velocità angolare dell'asta appena determinata per altra via. Scommetto un caffè che l'energia cinetica complessiva è diminuita, indicando un urto anelastico. Del resto, se l'urto fosse stato elastico, il testo avrebbe assegnato anche troppi dati, visto che con una ulteriore equazione avrei potuto, per esempio, determinare il modulo della velocità del proiettile dopo l'urto. Tra parentesi, dopo l'urto il sistema ruota a velocità angolare costante, la forza peso non fa lavoro e non ci sono forze dissipative. Mi chiedi se può essere un errore del libro. In generale, prima di dire che la soluzione indicata dal testo è sbagliata, bisogna veramente andarci con i piedi di piombo. Qui, del resto, il tipo di discrepanza nella soluzione potrebbe veramente essere un errore di stampa. E anche come viene assegnata la soluzione, si capisce che altro non è se non la variazione della quantità di moto del solo proiettile. Il baricentro del sistema formato dai due corpi è situato in O? Questo baricentro è fermo prima e dopo l'urto? Esiste un teorema che afferma che la quantità di moto di un sistema è uguale a quella posseduta dal baricentro nel quale devo pensare concentrata tutta la massa? Nella vita ci vuole anche il coraggio delle proprie convinzioni, specialmente quando ben argomentate. Se poi qualcuno, con la forza delle proprie argomentazioni, ti convince del contrario, ringraziamolo e facciamo tesoro del nostro errore.
Del resto, considerando i dati assegnati dal problema, l'unica incognita è la velocità angolare dell'asta dopo l'urto, e quindi la conservazione del momento angolare è l'unica equazione che può essere utilizzata per determinarla, senza supporre ulteriori condizioni di cui il testo non parla. A questo punto, se proprio vuoi verificare la conservazione dell'energia cinetica, puoi farlo, ma utilizzando la velocità angolare dell'asta appena determinata per altra via. Scommetto un caffè che l'energia cinetica complessiva è diminuita, indicando un urto anelastico. Del resto, se l'urto fosse stato elastico, il testo avrebbe assegnato anche troppi dati, visto che con una ulteriore equazione avrei potuto, per esempio, determinare il modulo della velocità del proiettile dopo l'urto. Tra parentesi, dopo l'urto il sistema ruota a velocità angolare costante, la forza peso non fa lavoro e non ci sono forze dissipative. Mi chiedi se può essere un errore del libro. In generale, prima di dire che la soluzione indicata dal testo è sbagliata, bisogna veramente andarci con i piedi di piombo. Qui, del resto, il tipo di discrepanza nella soluzione potrebbe veramente essere un errore di stampa. E anche come viene assegnata la soluzione, si capisce che altro non è se non la variazione della quantità di moto del solo proiettile. Il baricentro del sistema formato dai due corpi è situato in O? Questo baricentro è fermo prima e dopo l'urto? Esiste un teorema che afferma che la quantità di moto di un sistema è uguale a quella posseduta dal baricentro nel quale devo pensare concentrata tutta la massa? Nella vita ci vuole anche il coraggio delle proprie convinzioni, specialmente quando ben argomentate. Se poi qualcuno, con la forza delle proprie argomentazioni, ti convince del contrario, ringraziamolo e facciamo tesoro del nostro errore.
Sicuro non è una forza elastica, per un semplice motivo:
combinando la conservazione di quantità di moto ed energia cinetica si ha che
Vfin = (Vin)/2 = ((Mp - Mb)Vin)/(Mp - Mb) dive Vfin è velocità finale del proiettile, Vin quella iniziale, Mp la sua massa e Mb la massa del corpo b
dividiamo per la velocità iniziale e le due quantità non sono uguali quindi non è un urto elastico.
combinando la conservazione di quantità di moto ed energia cinetica si ha che
Vfin = (Vin)/2 = ((Mp - Mb)Vin)/(Mp - Mb) dive Vfin è velocità finale del proiettile, Vin quella iniziale, Mp la sua massa e Mb la massa del corpo b
dividiamo per la velocità iniziale e le due quantità non sono uguali quindi non è un urto elastico.
Hai scritto: "Sicuro non è una forza elastica..."
Io ho parlato, più genericamente, di urto elastico.
Cosa intendi esattamente per "forza elastica" in questo esercizio?
Io ho parlato, più genericamente, di urto elastico.
Cosa intendi esattamente per "forza elastica" in questo esercizio?
Scusa, volevo fare riferimento all'urto elastico e avendo in mente la forza d'impulso ho scritto un concetto che non esiste!
Potresti spiegare meglio come hai ottenuto quella relazione?
Parlando di un urto elastico, si conservano quantità di moto ed energia cinetica
Per la conservazione della quantità di moto, si ha che:
$m_1*v_1,i + m_2*v_2,i = m_1*v_1,f + m_2*v_2,f$
Per la conservazione dell'energia cinetica, si ha che:
$1/2*m_1*(v_1,i)^2 + 1/2*m_2*(v_2,i)^2 = 1/2*m_1*(v_1,f)^2 + 1/2*m_2*(v_2,f)^2$
Se consideri un sistema di queste due equazioni con due incognite, dove le incognite sono $v_1,f$ e $v_2,f$, trovi le seguenti relazioni:
$v_1,f = ((m_1 - m_2)*v_1,i + 2*m_2*v_2,i)/(m_1 + m_2)$
$v_2,f = ((m_2 - m_1)*v_2,i + 2*m_1*v_1,i)/(m_1 + m_2)$
Per la conservazione della quantità di moto, si ha che:
$m_1*v_1,i + m_2*v_2,i = m_1*v_1,f + m_2*v_2,f$
Per la conservazione dell'energia cinetica, si ha che:
$1/2*m_1*(v_1,i)^2 + 1/2*m_2*(v_2,i)^2 = 1/2*m_1*(v_1,f)^2 + 1/2*m_2*(v_2,f)^2$
Se consideri un sistema di queste due equazioni con due incognite, dove le incognite sono $v_1,f$ e $v_2,f$, trovi le seguenti relazioni:
$v_1,f = ((m_1 - m_2)*v_1,i + 2*m_2*v_2,i)/(m_1 + m_2)$
$v_2,f = ((m_2 - m_1)*v_2,i + 2*m_1*v_1,i)/(m_1 + m_2)$
Prima di procedere con alcune considerazioni, mi puoi confermare se in questa relazione che hai scritto Vfin = (Vin)/2 = ((Mp - Mb)Vin)/(Mp - Mb) intendevi una somma al denominatore? Non mi tornavano infatti.
Ah ho scritto meno? Scusami, ovviamente è una somma!
Quindi, per dimostrare che l'urto di cui si parla nell'esercizio è anelastico, hai applicato il modello di urto tra due corpi puntiformi liberi, il proiettile ed il solo corpo b vincolato in una delle estremità dell'asta. Ho aspettato a risponderti perchè volevo essere sicuro del tuo procedimento, tanto mi sembrava assurdo. Io ti ho già indicato la strada con la quale dimostrarlo. Se sei alla ricerca di scorciatoie, come ho già detto, le devi anche argomentare. Come pensi di convincere qualcuno che il modello da te usato sia aderente alla realtà del nostro esercizio?
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