Urto pendoli
Salve
sono nuovo del forum, e spero di avere qualche suggerimento da voi per la risoluzione di un problema che mi è stato posto.
il problema in esame è il seguente:
due pendoli uguali di massa m e lunghezza dell'asta l=1.5 metri (asta ideale, inestensibile e massa trascurabile), vengono lasciati cadere da angoli diversi ed incogniti, chiamiamoli $\alpha_0$ e $\beta_0$ ,scusate il disegno approssimativo.
dopo un certo tempo, a sua volta incognito, le due masse si urtano, la massa 1 ha velocità 5.1 m/s e la massa 2 ha velocità 2.2 m/s un istante prima dell'urto. l'angolo a cui avviene l'urto è altresì incognito e non è il punto di equilibrio.
il problema richiede di trovare gli angoli $\alpha_0$ e $\beta_0$ di partenza da cui evolve il sistema.
In un primo approccio ho utilizzato la conservazione dell'energia meccanica
$ mgl(1-cosalpha_0)=mgl(1-cosalpha)+\frac{1}{2}v_1^2$
$ mgl(1-cosbeta_0)=mgl(1-cosbeta)+\frac{1}{2}v_2^2$
al momento dell'urto $\cosalpha$ è uguale a $\cosbeta$
da questo sistema di equazioni mi ricavo la condizione sugli angoli iniziali che è:
$ cosbeta_0-cosalpha_0=\frac{1}{2gl}(v_1^2-v_2^2)$
per trovare una seconda equazione che mi permetta di impostare un sistema, che altra condizione posso porre?
vi ringrazio anticipatamente per l'attenzione che vorrete pormi.
sono nuovo del forum, e spero di avere qualche suggerimento da voi per la risoluzione di un problema che mi è stato posto.
il problema in esame è il seguente:
due pendoli uguali di massa m e lunghezza dell'asta l=1.5 metri (asta ideale, inestensibile e massa trascurabile), vengono lasciati cadere da angoli diversi ed incogniti, chiamiamoli $\alpha_0$ e $\beta_0$ ,scusate il disegno approssimativo.
dopo un certo tempo, a sua volta incognito, le due masse si urtano, la massa 1 ha velocità 5.1 m/s e la massa 2 ha velocità 2.2 m/s un istante prima dell'urto. l'angolo a cui avviene l'urto è altresì incognito e non è il punto di equilibrio.
il problema richiede di trovare gli angoli $\alpha_0$ e $\beta_0$ di partenza da cui evolve il sistema.
In un primo approccio ho utilizzato la conservazione dell'energia meccanica
$ mgl(1-cosalpha_0)=mgl(1-cosalpha)+\frac{1}{2}v_1^2$
$ mgl(1-cosbeta_0)=mgl(1-cosbeta)+\frac{1}{2}v_2^2$
al momento dell'urto $\cosalpha$ è uguale a $\cosbeta$
da questo sistema di equazioni mi ricavo la condizione sugli angoli iniziali che è:
$ cosbeta_0-cosalpha_0=\frac{1}{2gl}(v_1^2-v_2^2)$
per trovare una seconda equazione che mi permetta di impostare un sistema, che altra condizione posso porre?
vi ringrazio anticipatamente per l'attenzione che vorrete pormi.
Risposte
E' un problema che non si risolve per via analitica.
Lo si può solo risolvere per via numerica, usando MATLAB o programmi simili.
Quello che si sa di questi pendoli è che partono da fermi da angoli diversi (che chiamiamo $\theta_1$ e $\theta_2$), quindi iniziano a scendere e si urtano in corrispondenza di un certo angolo $\theta_0$.
Si sanno le loro velocità, quindi si sa la loro energia cinetica quindi si sa che la posizione di partenza era di tot metri sopra la posizione dell'urto.
Cioè:
$lmg(cos\theta_0-cos\theta_1)=1/2m(v_1)^2$
$lmg(cos\theta_0-cos\theta_2)=1/2m(v_2)^2$
sottraendo membro a membro si ottiene
$l(cos\theta_2-cos\theta_1)=1/2((v_1)^2-(v_2)^2)/(g)$
cioè la differenza di altezza tra i due punti di partenza dei pendoli è nota.
E poi ci si ferma qui. Perchè ?
Perchè l'altra condizione da imporre è che i due pendoli raggiungano il momento dell'urto nello stesso tempo.
Possiamo definire una funzione $f(\theta_a,theta_0), \ a=1,2$, che ci dice quanto tempo il pendolo 1 o 2 ci mette per andare, partendo da fermo, dall'angolo $\theta_a$ all'angolo $theta_0$
E quindi l'altra condizione è $f(\theta_1,theta_0)=f(\theta_2,theta_0)$
E qui ci si ferma perchè la funzione $f$ non è esprimibile in forma semplice, è un integrale ellittico.
Lo si approssima per via numerica usando l'equazione del pendolo
$\theta''=g/l sin\theta$.
Si apre MATLAB e lo si risolve.
L'angolo a cui si urtano è circa 0.087696385 rad.
Lo si può solo risolvere per via numerica, usando MATLAB o programmi simili.
Quello che si sa di questi pendoli è che partono da fermi da angoli diversi (che chiamiamo $\theta_1$ e $\theta_2$), quindi iniziano a scendere e si urtano in corrispondenza di un certo angolo $\theta_0$.
Si sanno le loro velocità, quindi si sa la loro energia cinetica quindi si sa che la posizione di partenza era di tot metri sopra la posizione dell'urto.
Cioè:
$lmg(cos\theta_0-cos\theta_1)=1/2m(v_1)^2$
$lmg(cos\theta_0-cos\theta_2)=1/2m(v_2)^2$
sottraendo membro a membro si ottiene
$l(cos\theta_2-cos\theta_1)=1/2((v_1)^2-(v_2)^2)/(g)$
cioè la differenza di altezza tra i due punti di partenza dei pendoli è nota.
E poi ci si ferma qui. Perchè ?
Perchè l'altra condizione da imporre è che i due pendoli raggiungano il momento dell'urto nello stesso tempo.
Possiamo definire una funzione $f(\theta_a,theta_0), \ a=1,2$, che ci dice quanto tempo il pendolo 1 o 2 ci mette per andare, partendo da fermo, dall'angolo $\theta_a$ all'angolo $theta_0$
E quindi l'altra condizione è $f(\theta_1,theta_0)=f(\theta_2,theta_0)$
E qui ci si ferma perchè la funzione $f$ non è esprimibile in forma semplice, è un integrale ellittico.
Lo si approssima per via numerica usando l'equazione del pendolo
$\theta''=g/l sin\theta$.
Si apre MATLAB e lo si risolve.
L'angolo a cui si urtano è circa 0.087696385 rad.
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