Urto palla e asta non vincolata
Ciao a tutti, ho il seguente problema che faccio fatica a inquadrare
Il problema è dato dal determinare l'evolversi del moto dopo un urto elastico tra un punto materiale che si muove con velocità $v_0$ e un'asta inizialmente ferma di lunghezza $d$. Allego bellissimo disegnino fatto su paint
Diciamo che la palla ha massa $m$ e l'asta $M$.
Innanzitutto una prima equazione è data dalla conservazione della quantità di moto
Se chiamo $v$ la velocità della palla dopo l'urto e $u$ la velocità del centro di massa dell'asta dopo l'urto ho che
$mv_0=mv+Mu$ E fin qua ok
Poi bisogna applicare la conservazione del momento angolare (che si conserva perchè non ci sono momenti esterni, a patto di prendere il polo opportuno)
Decido di mettermi nel sistema di riferimento del laboratorio; che d'ora in poi sarà $S$ Devo scegliere un polo
Scelgo come polo il centro di massa del sistema (mi interesserebbe sapere se ci sono via alternative, più comode ecc o se la mia idea è proprio cannata) Lo faccio perchè so che prendendo come polo il centro di massa sono sicuro che il momento angolare si conserva se non ci sono momenti esterni
A questo punto devo trovarne la quota. Prendo un asse y diretto verso l'alto con l'origine sul pavimento e chiamo $y$ la quota dell'impatto. Ho che $y_(cm)=(Md+my)/(M+m)$
Ne segue che il momento angolare iniziale è $L_i=mv_0(y_(cm)-y)$
Il momento angolare finale sarà dato dal contributo della palla e da quello dall'asta
Il primo è banalmente $mv(y_(cm)-y)$
Il secondo è più problematico. Io ho pensato questo
Stiamo cercando il momento angolare dell'asta nel sistema di riferimento del laboratorio prendendo come polo il centro di massa del sistema. In qualche modo devo andare nel sistema di riferimento solidale con il centro di massa dell'asta per poter usare $L=I omega$ (che altrimenti non si può usare perchè l'asse non è fisso, giusto?). Però poi non so più come procedere. Mi incasino con i sistemi di riferimento, vorrei usare konig ma non so come...
Il problema è dato dal determinare l'evolversi del moto dopo un urto elastico tra un punto materiale che si muove con velocità $v_0$ e un'asta inizialmente ferma di lunghezza $d$. Allego bellissimo disegnino fatto su paint
Diciamo che la palla ha massa $m$ e l'asta $M$.
Innanzitutto una prima equazione è data dalla conservazione della quantità di moto
Se chiamo $v$ la velocità della palla dopo l'urto e $u$ la velocità del centro di massa dell'asta dopo l'urto ho che
$mv_0=mv+Mu$ E fin qua ok
Poi bisogna applicare la conservazione del momento angolare (che si conserva perchè non ci sono momenti esterni, a patto di prendere il polo opportuno)
Decido di mettermi nel sistema di riferimento del laboratorio; che d'ora in poi sarà $S$ Devo scegliere un polo
Scelgo come polo il centro di massa del sistema (mi interesserebbe sapere se ci sono via alternative, più comode ecc o se la mia idea è proprio cannata) Lo faccio perchè so che prendendo come polo il centro di massa sono sicuro che il momento angolare si conserva se non ci sono momenti esterni
A questo punto devo trovarne la quota. Prendo un asse y diretto verso l'alto con l'origine sul pavimento e chiamo $y$ la quota dell'impatto. Ho che $y_(cm)=(Md+my)/(M+m)$
Ne segue che il momento angolare iniziale è $L_i=mv_0(y_(cm)-y)$
Il momento angolare finale sarà dato dal contributo della palla e da quello dall'asta
Il primo è banalmente $mv(y_(cm)-y)$
Il secondo è più problematico. Io ho pensato questo
Stiamo cercando il momento angolare dell'asta nel sistema di riferimento del laboratorio prendendo come polo il centro di massa del sistema. In qualche modo devo andare nel sistema di riferimento solidale con il centro di massa dell'asta per poter usare $L=I omega$ (che altrimenti non si può usare perchè l'asse non è fisso, giusto?). Però poi non so più come procedere. Mi incasino con i sistemi di riferimento, vorrei usare konig ma non so come...
Risposte
Assumi come polo il CM dell’asta, invece del CM del sistema. L’urto è elastico, le incognite sono tre :
- la velocità della pallina dopo l’urto
-la velocità di traslazione del CM dell’asta
-la velocità angolare dell’asta
hai a disposizione tre equazioni :
-conservazione della quantità di moto
-conservazione del momento angolare rispetto al polo detto
-conservazione dell’energia
quindi il sistema è determinato. Vai.
- la velocità della pallina dopo l’urto
-la velocità di traslazione del CM dell’asta
-la velocità angolare dell’asta
hai a disposizione tre equazioni :
-conservazione della quantità di moto
-conservazione del momento angolare rispetto al polo detto
-conservazione dell’energia
quindi il sistema è determinato. Vai.
Lo avevo scartato perché era un polo fermo prima dell'urto e in movimento dopo e non mi piaceva... Mi confermi che non ci son problemi?
Però poi le velocità le continuo a prendere dal sistema del laboratorio? E il momento angolare rispetto a quel polo si conserva perché la sua velocità è parallela a quella del centro di massa del sistema?
Quindi l'equazione risulta essere
$(d/2-y)mv_0=mv(d/2-y)+1/12Md^2 omega$?
Però poi le velocità le continuo a prendere dal sistema del laboratorio? E il momento angolare rispetto a quel polo si conserva perché la sua velocità è parallela a quella del centro di massa del sistema?
Quindi l'equazione risulta essere
$(d/2-y)mv_0=mv(d/2-y)+1/12Md^2 omega$?
Il “laboratorio” è un riferimento inerziale in cui l’asta di massa $M$ è inizialmente quiete , e sei in quiete anche tu. In questo r.i. arriva una palla di massa $m$ con velocità $v_0$ , che urta elasticamente l’asta, ad una certa distanza $d$ dal polo assunto, che è il punto del riferimento inerziale coincidente inizialmente col CM dell’asta.
Devi scrivere 3 equazioni . LA prima l’hai scritta, ed esprime la conservazione della quantità di moto :
$mv_0 = Mu + mv$
in cui $u$ è la velocità del CM dell’asta dopo l’urto, $v$ è la velocità della palla dopo l’urto. LA seconda equazione esprime la conservazione del momento angolare rispetto al polo, che vale perchè il sistema è isolato. Quindi :
$mv_0d = mvd + Iomega$
LA terza equazione esprime la conservazione dell’energia meccanica totale :
$1/2mv_0^2 = 1/2mv^2 + 1/2Mu^2 +1/2Iomega^2 $
$I$ è il momento di inerzia dell’asta rispetto all’asse baricentrico perpendicolare.
queste 3 equazioni consentono di trovare $v,u,omega$ .
Devi scrivere 3 equazioni . LA prima l’hai scritta, ed esprime la conservazione della quantità di moto :
$mv_0 = Mu + mv$
in cui $u$ è la velocità del CM dell’asta dopo l’urto, $v$ è la velocità della palla dopo l’urto. LA seconda equazione esprime la conservazione del momento angolare rispetto al polo, che vale perchè il sistema è isolato. Quindi :
$mv_0d = mvd + Iomega$
LA terza equazione esprime la conservazione dell’energia meccanica totale :
$1/2mv_0^2 = 1/2mv^2 + 1/2Mu^2 +1/2Iomega^2 $
$I$ è il momento di inerzia dell’asta rispetto all’asse baricentrico perpendicolare.
queste 3 equazioni consentono di trovare $v,u,omega$ .
Mh ok
Quindi il polo è un punto dello spazio che coincide sia prima che dopo l'urto con il cdm dall'asta perché nella durata dell'urto essa non si muove?
E poi una domanda
L'equazione $L=I omega$ la si può applicare da un sistema di riferimento inerziale anche se non si tratta di quello solidale col corpo rigido, giusto? E questo vale anche se il sistema di riferimento del corpo rigido è non inerziale, corretto? Però questo forse vale solo se il polo scelto si trova sull'asse di rotazione? Questo discorso dovrebbe essere giustificato dal fatto che se chiamo $L_(cm)$ il momento angolare di un sistema di punti calcolato da un sistema inerziale prendendo come polo il centro di massa e chiamo $L'_(cm) $ il momento angolare calcolato sempre prendendo il centro di massa come polo ma dal sistema solidale con il centro di massa allora $L_(cm) =L'_(cm) $
Però L non dipende dal polo nel caso di un corpo rigido a patto che il polo stia sull'asse. Scusa la raffica di domande, ma ho un po di dubbi...
Quindi il polo è un punto dello spazio che coincide sia prima che dopo l'urto con il cdm dall'asta perché nella durata dell'urto essa non si muove?
E poi una domanda
L'equazione $L=I omega$ la si può applicare da un sistema di riferimento inerziale anche se non si tratta di quello solidale col corpo rigido, giusto? E questo vale anche se il sistema di riferimento del corpo rigido è non inerziale, corretto? Però questo forse vale solo se il polo scelto si trova sull'asse di rotazione? Questo discorso dovrebbe essere giustificato dal fatto che se chiamo $L_(cm)$ il momento angolare di un sistema di punti calcolato da un sistema inerziale prendendo come polo il centro di massa e chiamo $L'_(cm) $ il momento angolare calcolato sempre prendendo il centro di massa come polo ma dal sistema solidale con il centro di massa allora $L_(cm) =L'_(cm) $
Però L non dipende dal polo nel caso di un corpo rigido a patto che il polo stia sull'asse. Scusa la raffica di domande, ma ho un po di dubbi...
"LoreT314":
Mh ok
Quindi il polo è un punto dello spazio che coincide sia prima che dopo l'urto con il cdm dall'asta perché nella durata dell'urto essa non si muove?
No, il polo è il CM dell’asta, che durante l’urto , in questo caso, non si muove. MA potresti avere anche dei casi in cui un corpo urta un altro che è in moto, e il polo lo si prende in genere fisso, ma non si sbaglia se lo si prende nel CM del corpo in moto.
... Scusa la raffica di domande, ma ho un po' di dubbi...
Non hai un po' di dubbi, hai una montagna di idee poco chiare sulla dinamica dei sistemi e dei corpi rigidi, sul momento angolare, e teoremi connessi. Allora dovresti innanzitutto chiarirti i concetti fondamentali su un buon libro di fisica, che riporti anche esempi significativi al riguardo. Prima di tutto, il momento angolare non lo si calcola “da” un certo riferimento , ma piuttosto “in” un certo riferimento.
Nel forum abbiamo parlato tante volte di questi argomenti, per cui usa un po’ il tasto “cerca..." e documentati .
A titolo di esempio, ti do alcuni link a recenti discussioni , in cui trovi ancora altri link :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8449918
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8445911
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8443971
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8442202
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8417404
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