Urto frontale tra fotone e nucleone
Stavo riguardando alcuni temi d'esame che avevo risolto e mi sono imbattuto in questo, riguardando la soluzione, soprattutto il risultato finale a valori inseriti, non mi torna, avrei un'energia enorme, dell'ordine di $10^14 \text{ MeV}$. Un po' esagerato oserei dire. Vi lascio qui di seguito il testo con la mia risoluzione per capire dov'è l'errore.
La mia idea iniziale è la seguente, considero lo stato iniziale nel LAB-frame, e lo stato finale, per determinarne l'energia minima, nel CM-frame, in cui $N$ e $\pi$ saranno a riposo.
Scritti i quadrimomenti per le quattro particelle:
Iniziale - LAB-frame
$p_\gamma^\mu = (E_\gamma, E_\gamma, 0, 0)$
$p_N^\mu=(E, -\sqrt(E^2-m_N^2), 0, 0)$
Finale - CM-frame
$p_N^\mu=(m_N, 0,0,0)$
$p_\pi^\mu=(m_\pi, 0,0,0)$
$$
A questo punto sfrutto la conservazione del quadrimomento e l'invarianza del prodotto scalare relativistico:
$(p_\gamma^\mu+p_N^\mu)^2=(p_N^\mu+p_\pi^\mu)^2$
$p_\gamma^2+p_N^2+2p_\gamma^\mu p_{N\mu}=p_N^2+p_\pi^2+2p_N^\mu p_{\pi\mu}$
$0+m_N^2+2(E_\gamma E + E_\gamma\sqrt(E^2-m_N^2))=m_N^2+m_\pi^2+2m_Nm_\pi$
$2E_\gamma\sqrt(E^2-m_N^2)=m_\pi^2+2m_Nm_\pi-2E_\gamma E$
$4E_\gamma^2E^2-4E_\gamma^2m_N^2=m_\pi^4+4m_N^2m_\pi^2+4E_\gamma^2E^2+4m_Nm_\pi^3-4E_\gamma Em_\pi^2-8E_\gamma E m_Nm_\pi$
$E(4E_\gamma m_\pi^2+8E_\gamma m_Nm_\pi)=m_\pi^4+4m_N^2m_\pi^2+4m_Nm_pi^3+4E_\gamma^2m_N^2$
$E=\frac{m_\pi^4+4m_N^2m_\pi^2+4m_Nm_pi^3+4E_\gamma^2m_N^2}{4E_\gamma m_\pi^2+8E_\gamma m_Nm_\pi}=\frac{m_\pi^2(m_\pi^2+4m_N^2+4m_Nm_\pi)+4E_\gamma^2m_N^2}{4E_\gamma m_pi(m_pi+2m_N)$
Inserendo i valori:
$(140^2(140^2+4*940^2+4*940*140)+4*(2.58*10^(-10))^2*940^2)/((4*2.58*10^-10)*140(140+2*940))=2.74*10^{14}\text{ MeV}$
Voi vedete l'errore?
Si consideri l’urto frontale di un fotone $\gamma$ con energia $E_\gamma$ con un nucleone $N$ di energia $E$, nel sistema del laboratorio.
a) Si calcoli l’energia minima che deve avere il nucleone affinché possa avvenire la reazione $\gamma + N \rightarrow N + \pi$
b) Nel caso in cui il fotone abbia temperatura di $3\text{ K}$, si valuti numericamente l’energia trovata, sapendo che $m_N = 940\text{ MeV}$ e $m_\pi = 140\text{ MeV}$.
Costante di Boltzmann = $8.6 × 10^{−5} \text{ eV K}^{−1}$.
La mia idea iniziale è la seguente, considero lo stato iniziale nel LAB-frame, e lo stato finale, per determinarne l'energia minima, nel CM-frame, in cui $N$ e $\pi$ saranno a riposo.
Scritti i quadrimomenti per le quattro particelle:
Iniziale - LAB-frame
$p_\gamma^\mu = (E_\gamma, E_\gamma, 0, 0)$
$p_N^\mu=(E, -\sqrt(E^2-m_N^2), 0, 0)$
Finale - CM-frame
$p_N^\mu=(m_N, 0,0,0)$
$p_\pi^\mu=(m_\pi, 0,0,0)$
$$
A questo punto sfrutto la conservazione del quadrimomento e l'invarianza del prodotto scalare relativistico:
$(p_\gamma^\mu+p_N^\mu)^2=(p_N^\mu+p_\pi^\mu)^2$
$p_\gamma^2+p_N^2+2p_\gamma^\mu p_{N\mu}=p_N^2+p_\pi^2+2p_N^\mu p_{\pi\mu}$
$0+m_N^2+2(E_\gamma E + E_\gamma\sqrt(E^2-m_N^2))=m_N^2+m_\pi^2+2m_Nm_\pi$
$2E_\gamma\sqrt(E^2-m_N^2)=m_\pi^2+2m_Nm_\pi-2E_\gamma E$
$4E_\gamma^2E^2-4E_\gamma^2m_N^2=m_\pi^4+4m_N^2m_\pi^2+4E_\gamma^2E^2+4m_Nm_\pi^3-4E_\gamma Em_\pi^2-8E_\gamma E m_Nm_\pi$
$E(4E_\gamma m_\pi^2+8E_\gamma m_Nm_\pi)=m_\pi^4+4m_N^2m_\pi^2+4m_Nm_pi^3+4E_\gamma^2m_N^2$
$E=\frac{m_\pi^4+4m_N^2m_\pi^2+4m_Nm_pi^3+4E_\gamma^2m_N^2}{4E_\gamma m_\pi^2+8E_\gamma m_Nm_\pi}=\frac{m_\pi^2(m_\pi^2+4m_N^2+4m_Nm_\pi)+4E_\gamma^2m_N^2}{4E_\gamma m_pi(m_pi+2m_N)$
Inserendo i valori:
$(140^2(140^2+4*940^2+4*940*140)+4*(2.58*10^(-10))^2*940^2)/((4*2.58*10^-10)*140(140+2*940))=2.74*10^{14}\text{ MeV}$
Voi vedete l'errore?
Risposte
Imponendo che il sistema di riferimento del laboratorio coincida con il sistema di riferimento del centro di massa:
deve essere soddisfatta la condizione sottostante:
Quindi, poiché:
è sufficiente determinare $E$ nel sistema sottostante:
$E_\gamma^2/c^2=E^2/c^2-m_N^2c^2$
deve essere soddisfatta la condizione sottostante:
$E_\gamma+E=(m_N+m_\pi)c^2$
Quindi, poiché:
$(E_\gamma-E)(E_\gamma+E)=-m_N^2c^4 rarr E_\gamma-E=-(m_N^2c^2)/(m_N+m_\pi)$
è sufficiente determinare $E$ nel sistema sottostante:
$\{(E_\gamma+E=(m_N+m_\pi)c^2),(E_\gamma-E=-(m_N^2c^2)/(m_N+m_\pi)):} rarr E=1/2[(m_N+m_\pi)c^2+(m_N^2c^2)/(m_N+m_\pi)] rarr E~=949\text{ MeV}$
Imponendo questa cosa non vanno a cambiare i valori di $E_\gamma$ e di $E$?
Cioè ok, sotto questa ipotesi devo soddisfare la conservazione del momento e dell'energia.
Non ho capito bene questo punto di partenza e soprattutto quando posso usarlo e può tornarmi utile.
Cioè ok, sotto questa ipotesi devo soddisfare la conservazione del momento e dell'energia.
Non ho capito bene questo punto di partenza e soprattutto quando posso usarlo e può tornarmi utile.
In effetti, ho ipotizzato che l’energia minima che deve avere il nucleone sia quella relativa al caso in cui il sistema di riferimento del laboratorio coincida con il sistema di riferimento del centro di massa. Ammesso e non concesso che sia così, non mi sembra che il mio svolgimento abbia delle criticità. Vero è che andrebbe dimostrato. Nella speranza che non siano necessari troppi conti, prima o poi ti aggiorno.
P.S.
Non ho capito se hai i risultati.
P.S.
Non ho capito se hai i risultati.
"anonymous_0b37e9":
In effetti, ho ipotizzato che l’energia minima che deve avere il nucleone sia quella relativa al caso in cui il sistema di riferimento del laboratorio coincida con il sistema di riferimento del centro di massa. Ammesso e non concesso che sia così, non mi sembra che il mio svolgimento abbia delle criticità. Vero è che andrebbe dimostrato. Nella speranza che non siano necessari troppi conti, prima o poi ti aggiorno.
P.S.
Non ho capito se hai i risultati.
No, purtroppo non ho i risultati. Per cui non posso confrontarmi.
A rigore, leggendo attentamente il testo:
si dovrebbe ritenere $E$ variabile ed $E_\gamma$ costante. Considerando il caso generale di due particelle aventi masse $m_1$ e $m_2$ non nulle, massimizzando l'energia totale nel sistema di riferimento del centro di massa, è possibile ricavare $E_1$ in funzione di $E_2$:
Non ho ancora considerato il caso in cui una delle due particelle ha massa nulla.
"Frostman":
Si consideri l’urto frontale di un fotone $\gamma$ con energia $E_\gamma$ con un nucleone $N$ di energia $E$, nel sistema del laboratorio. Si calcoli l’energia minima che deve avere il nucleone ...
si dovrebbe ritenere $E$ variabile ed $E_\gamma$ costante. Considerando il caso generale di due particelle aventi masse $m_1$ e $m_2$ non nulle, massimizzando l'energia totale nel sistema di riferimento del centro di massa, è possibile ricavare $E_1$ in funzione di $E_2$:
Non ho ancora considerato il caso in cui una delle due particelle ha massa nulla.
Penso sia irrilevante il caso mass-less. Dal momento che ho un pione e un nucleone come prodotti. Questo caso generale l'ho presente pure io.
Un mio compagno l'ha risolto in questo modo
Però se guardi attentamente i risultati numerici anche a lui viene un risultato dell'ordine di $10^5\text{MeV}$.
Più precisamente $5.23\times 10^11\text{eV}$.
Un mio compagno l'ha risolto in questo modo
Però se guardi attentamente i risultati numerici anche a lui viene un risultato dell'ordine di $10^5\text{MeV}$.
Più precisamente $5.23\times 10^11\text{eV}$.
A mio parere, l'unico modo di procedere rigorosamente è risolvere un problema di minimo vincolato:
Per esempio, nel caso 1:
Applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange all'ultimo vincolo, si ottiene una soluzione:
Vero è che:
1. Si deve dimostrare che è un minimo.
2. Si deve dimostrare che soddisfa i primi tre vincoli come disequazioni.
Inoltre, mentre il caso 2 e il caso 3 non dovrebbero ammettere soluzione, il caso 4 dovrebbe essere equivalente al caso 1. Infine, non credo sia necessario considerare il caso in cui uno dei primi tre vincoli valga come equazione.
P.S.
Applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange all'ultimo vincolo, si ottiene anche:
in linea con le considerazioni del mio messaggio precedente.
P.P.S.
La formula è soddisfatta sostituendo i valori relativi al caso particolare in cui il sistema di riferimento del laboratorio coincida con il sistema di riferimento del centro di massa, quello svolto nel mio primo messaggio per intenderci. Motivo per il quale non dovrei aver commesso errori di calcolo.
P.P.P.S.
Solo adesso mi accorgo che la formula coincide con quella del tuo messaggio di apertura. A questo punto, il tuo metodo risolutivo è, senza dubbio, più elegante e immediato.
Reazione
$\gamma+N rarr N+\pi$
Invarianti
$[E_\gamma^2/c^2-p_\gamma^2=0] rarr [p_\gamma=E_\gamma/c]$
$[E_N^2/c^2-p_N^2=m_N^2c^2] rarr [p_N=sqrt(E_N^2/c^2-m_N^2c^2)]$
$[bar(E_N)^2/c^2-bar(p_N)^2=m_N^2c^2] rarr [bar(p_N)=sqrt(bar(E_N)^2/c^2-m_N^2c^2)]$
$[bar(E_\pi)^2/c^2-bar(p_\pi)^2=m_\pi^2c^2] rarr [bar(p_\pi)=sqrt(bar(E_\pi)^2/c^2-m_\pi^2c^2)]$
Conservazione dell'energia
$E_\gamma+E_N=bar(E_N)+bar(E_\pi)$
Conservazione dell'impulso
Caso 1
$p_\gamma-p_N=bar(p_N)+bar(p_\pi)$
Caso 2
$p_\gamma-p_N=bar(p_N)-bar(p_\pi)$
Caso 3
$p_\gamma-p_N=-bar(p_N)+bar(p_\pi)$
Caso 4
$p_\gamma-p_N=-bar(p_N)-bar(p_\pi)$
Per esempio, nel caso 1:
Funzione obiettivo
$[E_N=bar(E_N)+bar(E_\pi)-E_\gamma] ^^ [E_\gamma gt 0]$
Vincoli
$bar(E_N) gt= m_Nc^2$
$bar(E_\pi) gt= m_\pic^2$
$bar(E_N)+bar(E_\pi)-E_\gamma gt= m_Nc^2$
$E_\gamma/c-sqrt((bar(E_N)+bar(E_\pi)-E_\gamma)^2/c^2-m_N^2c^2)=sqrt(bar(E_N)^2/c^2-m_N^2c^2)+sqrt(bar(E_\pi)^2/c^2-m_\pi^2c^2)$
Applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange all'ultimo vincolo, si ottiene una soluzione:
$E_N=(4m_N^2E_\gamma^2+m_\pi^2(2m_N+m_\pi)^2c^4)/(4m_\pi(2m_N+m_\pi)E_\gamma)$
Vero è che:
1. Si deve dimostrare che è un minimo.
2. Si deve dimostrare che soddisfa i primi tre vincoli come disequazioni.
Inoltre, mentre il caso 2 e il caso 3 non dovrebbero ammettere soluzione, il caso 4 dovrebbe essere equivalente al caso 1. Infine, non credo sia necessario considerare il caso in cui uno dei primi tre vincoli valga come equazione.
P.S.
Applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange all'ultimo vincolo, si ottiene anche:
$bar(E_N)/m_N=bar(E_\pi)/m_\pi$
in linea con le considerazioni del mio messaggio precedente.
P.P.S.
La formula è soddisfatta sostituendo i valori relativi al caso particolare in cui il sistema di riferimento del laboratorio coincida con il sistema di riferimento del centro di massa, quello svolto nel mio primo messaggio per intenderci. Motivo per il quale non dovrei aver commesso errori di calcolo.
P.P.P.S.
Solo adesso mi accorgo che la formula coincide con quella del tuo messaggio di apertura. A questo punto, il tuo metodo risolutivo è, senza dubbio, più elegante e immediato.
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