Urto fra punto materiale e corpo rigido
Buongiorno,
avrei qualche dubbio su questo esercizio
Un'asta è ferma sopra un piano orizzontale liscio; la massa è $m_1$, la lunghezza $l$. Un punto materiale, di massa $m_2$ e velocità $\vecv$ perpendicolare all'asta, colpisce l'asta a distanza $x$ dal centro $O$ e vi resta attaccato. Determinare la velocità lineare e quella angolare del sistema dopo l'urto.
per quanto riguarda la velocità lineare ci sono: basta appliccare la corservazione della quantità di moto rispetto al centro di massa.
I problemi sorgono per il calcolo della velocità angolare.
Dato che agiscono solo forze interne, il mometo angolare si conserva rispetto al centro di massa (o ad un qualsiasi punto fermo).
Calcolo il momento angolare iniziale sapendo che è dovuto soltanto al punto $m_2$ che si muove
$L_i=(x-x_(CM))m_2v$
Calcolo il momento angolare finale dato dalla somma del momento angolare del punto
$L_p=(x-x_(CM))m_2v_2$
e dell'asta rispetto al centro di massa del sistema. Secondo il primo teorema di Konig, quest'ultimo momento angolare si ottiene sommando il momento angolare rispetto al centro di massa dell'asta e il momento angolare rispetto al centro di massa del sistema di un punto che si trova nel centro di massa del'asta, ha massa $m_1$ e si muove con velocità ugaule alla velocità del centro di massa dell'asta
$L_a=Iomega+m_1x_(CM)v_(CMasta)=1/12m_1l^2omega+m_1x_(CM)v_(CMasta)$
Quindi
$L_f=x_(CM)m_2v_2+1/12m_1l^2omega+m_1x_(CM)v_(CMasta)$
Sapendo che
$v_2=omega(x-x_(CM))$
(mentre nessuna correlazione può essere fatta fra $x_(CM)$ e $v_(CM)$ dato che il sistema ruota attorno al centro di massa)
Si ottiene che
$L_f=m_2omega(x-x_(CM))^2+1/12m_1l^2omega+m_1x_(CM)v_(CMasta)$
Uguagliando i momenti angolari e risolvendo per $omega$ ottengo
$omega=((x-x_(CM))m_2v-m_1x_(CM)v_(CMasta))/(m_2(x-x_(CM))^2+1/12m_1l^2)$
Il risultato è sbagliato e non capisco l'errore nel mio ragionamento.
Il libro calcola il momento angolare finale mediante il teorema H.S. quindi
$(x-x_(CM))m_2v=Iomega=(1/12m_1l^2+m_1x_(CM)^2+m_2(x-x_(CM))^2)omega$
Il risultato quindi è
$omega=((x-x_(CM))m_2v)/(1/12m_1l^2+m_1x_(CM)^2+m_2(x-x_(CM))^2)$
Ma i risultati non dovrebbero essere uguali?
Grazie in anticipo a chi risponderà
avrei qualche dubbio su questo esercizio
Un'asta è ferma sopra un piano orizzontale liscio; la massa è $m_1$, la lunghezza $l$. Un punto materiale, di massa $m_2$ e velocità $\vecv$ perpendicolare all'asta, colpisce l'asta a distanza $x$ dal centro $O$ e vi resta attaccato. Determinare la velocità lineare e quella angolare del sistema dopo l'urto.
per quanto riguarda la velocità lineare ci sono: basta appliccare la corservazione della quantità di moto rispetto al centro di massa.
I problemi sorgono per il calcolo della velocità angolare.
Dato che agiscono solo forze interne, il mometo angolare si conserva rispetto al centro di massa (o ad un qualsiasi punto fermo).
Calcolo il momento angolare iniziale sapendo che è dovuto soltanto al punto $m_2$ che si muove
$L_i=(x-x_(CM))m_2v$
Calcolo il momento angolare finale dato dalla somma del momento angolare del punto
$L_p=(x-x_(CM))m_2v_2$
e dell'asta rispetto al centro di massa del sistema. Secondo il primo teorema di Konig, quest'ultimo momento angolare si ottiene sommando il momento angolare rispetto al centro di massa dell'asta e il momento angolare rispetto al centro di massa del sistema di un punto che si trova nel centro di massa del'asta, ha massa $m_1$ e si muove con velocità ugaule alla velocità del centro di massa dell'asta
$L_a=Iomega+m_1x_(CM)v_(CMasta)=1/12m_1l^2omega+m_1x_(CM)v_(CMasta)$
Quindi
$L_f=x_(CM)m_2v_2+1/12m_1l^2omega+m_1x_(CM)v_(CMasta)$
Sapendo che
$v_2=omega(x-x_(CM))$
(mentre nessuna correlazione può essere fatta fra $x_(CM)$ e $v_(CM)$ dato che il sistema ruota attorno al centro di massa)
Si ottiene che
$L_f=m_2omega(x-x_(CM))^2+1/12m_1l^2omega+m_1x_(CM)v_(CMasta)$
Uguagliando i momenti angolari e risolvendo per $omega$ ottengo
$omega=((x-x_(CM))m_2v-m_1x_(CM)v_(CMasta))/(m_2(x-x_(CM))^2+1/12m_1l^2)$
Il risultato è sbagliato e non capisco l'errore nel mio ragionamento.
Il libro calcola il momento angolare finale mediante il teorema H.S. quindi
$(x-x_(CM))m_2v=Iomega=(1/12m_1l^2+m_1x_(CM)^2+m_2(x-x_(CM))^2)omega$
Il risultato quindi è
$omega=((x-x_(CM))m_2v)/(1/12m_1l^2+m_1x_(CM)^2+m_2(x-x_(CM))^2)$
Ma i risultati non dovrebbero essere uguali?
Grazie in anticipo a chi risponderà
Risposte
Devi valutare il momento angolare dopo l'urto anelastico rispetto al CM finale del sistema. Non ho controllato i tuoi passaggi, ma e' meglio determinare direttamente il momento angolare finale tenendo conto del momento di inerzia del sistema rispetto al CM finale, che e' quello riportato nella soluzione corretta.
Qui c'e' un esempio, risolto con tre procedimenti diversi .
Qui c'e' un esempio, risolto con tre procedimenti diversi .
Bel libro Kanal,che libro è?
Morin, Introduction to classical mechanics.
Grazie mille, ho capito dove sbagliavo
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