Urto Elastico
Salve.
Una pallina puntiforme di massa $m$ e velocità $v_0$ urta in un estremo un manubrio inizialmente fermo costituito da un'asta di lunghezza $2l$e massa trascurabile e due sfere di raggio $r$ e massa $M$. Nell'istante dell'urto, quanto vale il momento angolare totale nel centro di massa del sistema?
Allora, se considero il sistema il momento angolare si dovrebbe conservare. Il momento angolare è dato dalla somma dei momenti angolari e il momento angolare un istante prima dell'urto del manubrio è 0, mentre quello della pallina è $mv_0xd$, con d pari alla distanza che c'è tra il nuovo centro di massa e il punto in cui la pallina tocca il manubrio. Quindi posso scrivere
$L = mv x d$.
Ho dei dati numerici e se sostituisco nella formula non torna il conto.
Non riesco a capire per quale motivo non torni, eppure mi sembra un ragionamento giusto.
Una pallina puntiforme di massa $m$ e velocità $v_0$ urta in un estremo un manubrio inizialmente fermo costituito da un'asta di lunghezza $2l$e massa trascurabile e due sfere di raggio $r$ e massa $M$. Nell'istante dell'urto, quanto vale il momento angolare totale nel centro di massa del sistema?
Allora, se considero il sistema il momento angolare si dovrebbe conservare. Il momento angolare è dato dalla somma dei momenti angolari e il momento angolare un istante prima dell'urto del manubrio è 0, mentre quello della pallina è $mv_0xd$, con d pari alla distanza che c'è tra il nuovo centro di massa e il punto in cui la pallina tocca il manubrio. Quindi posso scrivere
$L = mv x d$.
Ho dei dati numerici e se sostituisco nella formula non torna il conto.
Non riesco a capire per quale motivo non torni, eppure mi sembra un ragionamento giusto.
Risposte
Come hai calcolato il nuovo centro di massa?
Io immagino un sistema di riferimento x,y, dove l'asta è disposta con il centro di una massa nell'origine e il centro dell'altra massa nel punto (0,2l); la massa m si trova nel punto (-r,0).
L'ascissa del CM è xcm=(-rm)/(2M+m).
L'ordinata, invece, è ycm=(2lM)/(2M+m).
Il modulo del raggio vettore è la distanza fra (xcm,ycm) e (-rm,0). Ti trovi?
Io immagino un sistema di riferimento x,y, dove l'asta è disposta con il centro di una massa nell'origine e il centro dell'altra massa nel punto (0,2l); la massa m si trova nel punto (-r,0).
L'ascissa del CM è xcm=(-rm)/(2M+m).
L'ordinata, invece, è ycm=(2lM)/(2M+m).
Il modulo del raggio vettore è la distanza fra (xcm,ycm) e (-rm,0). Ti trovi?
sì torna l'ho calcolato così, salvo che la y del centro di massa per me veniva 0 perché mi sono messo con l'asse y parallela all'asta... ma a parte i risultati numerici che magari possono anche essere sbagliati (magari ho fatto male i conti, magari è sbagliato il quesito) quello che interessa a me è la teoria. Il momento angolare del sistema si conserva, così come l'energia meccanica (che è pari all'energia cinetica della pallina prima dell'urto), giusto? Tra le altre cose l'esercizio chiedeva l'energia del centro di massa... che io ho pensato fosse l'energia del sistema in un riferimento che trasla solidale al centro di massa, quindi che dovessi considerare le velocità relative, ma non torna neanche in questo caso... questa roba sta mandando in crisi le mie conoscenze teoriche sul corpo rigido, quindi spero sia sbagliato il testo!
"Zkeggia":
sì torna l'ho calcolato così, salvo che la y del centro di massa per me veniva 0 perché mi sono messo con l'asse y parallela all'asta... ma a parte i risultati numerici che magari possono anche essere sbagliati (magari ho fatto male i conti, magari è sbagliato il quesito) quello che interessa a me è la teoria. Il momento angolare del sistema si conserva, così come l'energia meccanica (che è pari all'energia cinetica della pallina prima dell'urto), giusto? Tra le altre cose l'esercizio chiedeva l'energia del centro di massa... che io ho pensato fosse l'energia del sistema in un riferimento che trasla solidale al centro di massa, quindi che dovessi considerare le velocità relative, ma non torna neanche in questo caso... questa roba sta mandando in crisi le mie conoscenze teoriche sul corpo rigido, quindi spero sia sbagliato il testo!
Sì il momento angolare del sistema, così come il momento lineare (cioè la quantità di moto), si conserva.
L'energia meccanica non è detto si conservi però: dipende dal tipo di urto; solo se l'urto è elastico si conserva, altrimenti no... Pensa a quello che succede se i due corpi dopo l'urto rimangono attaccati, il classico caso di urto perfettamente anelastico.
Per quanto riguarda l'energia del centro di massa... è una domanda un po' senza senso... come è il testo esatto del problema? L'energia del centro di massa è una quantità che non ha molto significato... dato che in generale non ha nulla a che fare con l'energia meccanica di tutto il sistema.
Allora sono riuscito a risolvere interpretando la scritta "Energia del centro di massa" come "Energia dei due corpi in un sistema di riferimento che trasla solidale al centro di massa". In questo caso si sposta anche il manubrio ad una velocità pari in modulo a quella del c.d.m e questo fatto è la causa del valore dell'energia e del momento angolare. Scusa per la perdita di tempo, ma ho i professori un po' ermetici! 
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In generale cosa si intende per "energia del centro di massa"?
.In generale cosa si intende per "energia del centro di massa"?
Boh "energia del centro di massa" in generale non significa nulla... appunto per quello ti chiedevo il testo esatto.
Energia del sistema rispetto al centro di massa già ha più senso.
Energia del sistema rispetto al centro di massa già ha più senso.
Probabilmente per energia del centro di massa si intende l'energia (cinetica o potenziale) di un punto materiale avente come massa la massa totale del sistema e coincidente col centro di massa (si pensi al teorema di Koenig per l'energia cinetica).
Ok, comunque, si conservano
Energia
Quantità di moto
Momento angolare
Quindi, dopo l'urto, ho 3 incognite: velocità del c.d.m del manubrio, velocità angolare del manubrio, velocità finale della pallina.
Se metto a sistema le tre equazioni sopra dovrei risolvere e trovare tutto, giusto? c'è un metodo più veloce?
Energia
Quantità di moto
Momento angolare
Quindi, dopo l'urto, ho 3 incognite: velocità del c.d.m del manubrio, velocità angolare del manubrio, velocità finale della pallina.
Se metto a sistema le tre equazioni sopra dovrei risolvere e trovare tutto, giusto? c'è un metodo più veloce?
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