Urto e molla

[igol10]

Questa è l'immagine del problema:



Chiamo le velocità in questo modo:
$ v_0 $ : velocità (in figura) della massa 1 all'inizio
$ v_1 $ : velocità della massa 1 poco prima dell'urto
$ u_1 $ : velocità della massa 1 subito dopo l'urto
$ u_2 $ : velocità della massa 2 subito dopo l'urto
$ v_2 $ : velocità della massa 2 quando tocca la molla

RICHIESTA 1:
Mi si chiede di determinare $ v_{0,min} $ della massa 1 affinché la massa 2 arrivi a toccare la molla.
Allora calcolo la velocità $ u_2 $ in questo modo:
$ u_2 = sqrt(2mugd_2) $
Quindi bisogna che l'urto (elastico) tra 1 e 2 conferisca questa velocità u2 alla massa. Allora:
$ mv_1 = m u_1 + m u_2 $
$ 1/2mv_1^2 = m u_1^2 + m u_2^2 $
Da queste equazioni ricavo che la massa 1 si ferma dopo l'urto: $ u_1 = 0 $ e che $ v_1 = u_2 $.
Quindi io so che la massa 1 deve arrivare poco prima dell'urto con velocità $ u_2 $ partendo con velocità $ v_{0,min} $. Allora:
$ u_2^2 = v_{0,min}^2 - 2mugd_1 => v_{0,min} = sqrt(2mug(d_1+d_2)) $
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Da ora in poi si considera $ v_0 = 2v_{0,min} $.
Questo vuol dire che: $ u_2 = sqrt(6mugd_1 + 8mugd_2) $
E che la massa 2 toccherà la molla con velocità: $ v_2^2 = u_2^2 - 2mugd_2 => v_2 = sqrt(6mug(d_1+d_2))$

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RICHIESTA 2:
Mi chiede di trovare la compressione della molla.
$ E_{i n} = 1/2mv_2^2 $
$ E_{f i n} = 1/2kx^2 $
$ W_{n c} = -mumgx $
Da cui: $ x = mu (mg)/k(-1 + sqrt(1+(6k(d_1+d_2))/(mu mg))) $

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RICHIESTA 3:
Mi chiede la velocità con cui il blocco 2 lascia la molla
Utilizzo sempre il fatto che $ DeltaE = W_{n c} $
$ E_{i n} = 1/2kx^2 $
$ E_{f i n} = 1/2mv^2 $
$ W_{n c} = -mu mgl $
Quindi:
$ v = sqrt(k/mx^2 - mugl) $ ma ci sono 2 incognite e non so risolverlo.
qualcuno riesce a darmi una mano??

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[donald_zeka]

$l=x$

[igol10]

Ok, quindi: (avevo fatto un errore)
$ v = sqrt(k/mx^2 - 2mugx) $
Sostituendo i valori dati dal problema ho:
$ v = sqrt(-0.12) $ questo vuol dire che la massa non abbandona mai la molla??
(Presumo di sì, visto che la soluzione dell'esercizio porta:
"Il blocco non lascia la molla, si ferma con la molla compressa di l = 1.9 cm")
Quindi una volta trovato questa radice di un numero negativo, capisco che la molla non abbandonerà la molla, in quanto la forza elastica non riesce a vincere l'attrito. Allora devo cambiare l'energia finale e il lavoro non conservativo in questo modo:
$ E_{f i n} = 1/2kl^2 $
$ W_{n c} = -mu mg(x-l) $
E da qui calcolare l ??

EDIT:
Ok, è come ho scritto, calcolandomi l mi viene proprio 1.9 cm.