Urto e Impulso
Buonasera, vorrei chiedere una delucidazione sulla risoluzione del problema di dinamica allegato (tratto dall'Halliday)
La mia domanda è: chiamando $m1$ la massa di Martino, $m2$ la massa di Amelia e $m3$ la massa della canoa:
Nella risoluzione ho notato che la forza netta agente sul sistema Martino+Amelia+canoa è nulla, e nulla è dunque l'accelerazione del centro di massa del sistema, che perciò rimane fermo.
Disegnando le configurazioni iniziale e finale del sistema rispetto a un asse x con origine nel centro della canoa e applicando la formula per la posizione del centro di massa, ottengo che
- all'inizio $xcdm,i=(80kg(-3,0m)+30kg(0m)+m2(3,0m))/(110kg+m2)$
- alla fine $xcdm,f=(80kg(2,6m)+30kg(-0,4m)+m2(-3,4m))/(110kg+m2)$
Uguagliando le due equazioni e risolvendo rispetto ad $m2$ si ottiene un risultato sbagliato. Cercando di capire che errore avessi commesso, ho trovato su internet che ponendo $xcdm,f=0$ si ottiene il risultato giusto.
La mia domanda è: perché bisogna adottare questa soluzione?
Grazie in anticipo per l'attenzione e scusate se mi sono dilungato, sono nuovo nel forum e devo ancora prenderci la mano
La mia domanda è: chiamando $m1$ la massa di Martino, $m2$ la massa di Amelia e $m3$ la massa della canoa:
Nella risoluzione ho notato che la forza netta agente sul sistema Martino+Amelia+canoa è nulla, e nulla è dunque l'accelerazione del centro di massa del sistema, che perciò rimane fermo.
Disegnando le configurazioni iniziale e finale del sistema rispetto a un asse x con origine nel centro della canoa e applicando la formula per la posizione del centro di massa, ottengo che
- all'inizio $xcdm,i=(80kg(-3,0m)+30kg(0m)+m2(3,0m))/(110kg+m2)$
- alla fine $xcdm,f=(80kg(2,6m)+30kg(-0,4m)+m2(-3,4m))/(110kg+m2)$
Uguagliando le due equazioni e risolvendo rispetto ad $m2$ si ottiene un risultato sbagliato. Cercando di capire che errore avessi commesso, ho trovato su internet che ponendo $xcdm,f=0$ si ottiene il risultato giusto.
La mia domanda è: perché bisogna adottare questa soluzione?
Grazie in anticipo per l'attenzione e scusate se mi sono dilungato, sono nuovo nel forum e devo ancora prenderci la mano
Risposte
Sposto in Fisica !!
Invece di assumere il riferimento con origine nel centro della canoa, che si sposta, assumilo con origine nel molo, che è fisso , sia nella configurazione iniziale che in quella finale . Guarda Questa figura :
Inizialmente , $m_1$ si trova a distanza $d$ ( non nota, ma non occorre) dal molo , e le altre due masse come indicato in figura . Quindi si può trovare $x_(Gi)$ .
Dopo lo scambio tra $m_1$ ed $m_2$ , la canoa si è avvicinata al molo (chiaro perchè?) , quindi ora $m_2$ è a distanza $d' = d-0.40$ dal molo , ecc ecc. Puoi quindi trovare la posizione finale del baricentro $x_(Gf) $ . Ho riportato tutte le formule sul foglio .
Ponendo $x_(Gi) = x_(Gf)$ , e tenendo conto che : $d' = d- 0.40 $ (misure in metri) , puoi calcolare $m_2 = 68 kg$ .
Resnick e Halliday sono però due ingenui sprovveduti : una canoa di 30 kg , con due robusti ragazzi come quelli a bordo , si rovescia ! A meno che non sia una canoa larghissima .....ma questi sono altri discorsi ....
Inizialmente , $m_1$ si trova a distanza $d$ ( non nota, ma non occorre) dal molo , e le altre due masse come indicato in figura . Quindi si può trovare $x_(Gi)$ .
Dopo lo scambio tra $m_1$ ed $m_2$ , la canoa si è avvicinata al molo (chiaro perchè?) , quindi ora $m_2$ è a distanza $d' = d-0.40$ dal molo , ecc ecc. Puoi quindi trovare la posizione finale del baricentro $x_(Gf) $ . Ho riportato tutte le formule sul foglio .
Ponendo $x_(Gi) = x_(Gf)$ , e tenendo conto che : $d' = d- 0.40 $ (misure in metri) , puoi calcolare $m_2 = 68 kg$ .
Resnick e Halliday sono però due ingenui sprovveduti : una canoa di 30 kg , con due robusti ragazzi come quelli a bordo , si rovescia ! A meno che non sia una canoa larghissima .....ma questi sono altri discorsi ....
Ciao Shakle, grazie per la tua risposta! effettivamente scegliendo il molo come riferimento i calcoli si semplificano notevolmente, ma la sostanza non cambia, perché anche a me il risultato viene $68kg$, mentre le soluzioni riportano $58kg$.
Come ti spiegheresti che ponendo $xGf=0$ il risultato è quello giusto?
Come ti spiegheresti che ponendo $xGf=0$ il risultato è quello giusto?
Non me lo spiego, perchè è semplicemente sbagliato, per me. Il risultato giusto è : $m_2 = 68 kg$. Te lo faccio vedere in altro modo.
Ponendo $d' = d-0.40$ (metri) , e uguagliando le due espressioni seguenti ( che si ricavano facilmente) :
$x_(Gi) = d + (3m_3+6m_2)/M $
$x_(Gf) = d-0.40 + (3m_3+6m_1)/M $
si arriva , dopo qualche passaggio , a :
$3m_3 +6m_2 = -0.40(m_1+m_2+m_3) +3m_3 + 6m_1 $
da cui : $ (6+0.40)m_2 = 5.6m_1 - 0.40m_3$
cioè : $6.4m_2 = 5.6m_1 -0.4m_3$ ......(1)
da qui, si ricava il valore di $m_2 = 68 kg$
Ma l'ultima espressione (1) si può riscrivere anche cosí :
Adesso guarda la figura. Consideriamo gli spostamenti "assoluti" delle masse , cioè riferiti alla banchina .
La massa $m_1$ si sposta di $6m$ nel verso positivo di $x$ , cioè verso destra , rispetto alla barca : ma siccome la barca si sposta di 0.40m verso sinistra , lo spostamento assoluto di $m_1$ è $5.6 m$ , e nella (2) la quantità $5.6m_1$ non è altro che la variazione di momento statico[nota]Tu sai che cosa è il momento statico di una massa m rispetto a una retta r , vero ? È il prodotto $md$ della massa per la distanza $d$ da r .[/nota] della massa $m_1$ rispetto alla banchina.
Analogamente , lo spostamento assoluto di $m_2$ , nel verso negativo delle $x$ , vale $-6.4m$ , perchè allo spostamento di $-6m$ rispetto alla barca si deve sommare lo spostamento di -0.40m della barca verso sinistra . E infatti, la variazione di momento statico di $m_2$ è pari a :$ -6.4m_2$ ( guarda la figura e la (2) ) .
Stesso ragionamento per $m_3$ , il cui spostamento assoluto è $-0.40m$ , e quindi la variazione di momento statico è : $-0.40m_3$ .
Ci sei fin qui ? Ora, la somma delle variazioni di tutti e tre i momenti statici deve essere nulla, perché il CM non si deve spostare . E questo è proprio quanto scritto nella (2)
Alla (2) si poteva arrivare subito, ragionando appunto sulle variazioni dei momenti statici, la cui somma deve essere nulla; e ti dirò che è stato il primo ragionamento che ho fatto . Ma per renderti la soluzione più comprensibile , ho preferito la via delle coordinate.
Se poi qualcun altro vuole cimentarsi , e dimostra che abbiamo sbagliato, ben venga.
Ponendo $d' = d-0.40$ (metri) , e uguagliando le due espressioni seguenti ( che si ricavano facilmente) :
$x_(Gi) = d + (3m_3+6m_2)/M $
$x_(Gf) = d-0.40 + (3m_3+6m_1)/M $
si arriva , dopo qualche passaggio , a :
$3m_3 +6m_2 = -0.40(m_1+m_2+m_3) +3m_3 + 6m_1 $
da cui : $ (6+0.40)m_2 = 5.6m_1 - 0.40m_3$
cioè : $6.4m_2 = 5.6m_1 -0.4m_3$ ......(1)
da qui, si ricava il valore di $m_2 = 68 kg$
Ma l'ultima espressione (1) si può riscrivere anche cosí :
$ 5.6m_1 -6.4m_2-0.4m_3 = 0 $ .....(2)
Adesso guarda la figura. Consideriamo gli spostamenti "assoluti" delle masse , cioè riferiti alla banchina .
La massa $m_1$ si sposta di $6m$ nel verso positivo di $x$ , cioè verso destra , rispetto alla barca : ma siccome la barca si sposta di 0.40m verso sinistra , lo spostamento assoluto di $m_1$ è $5.6 m$ , e nella (2) la quantità $5.6m_1$ non è altro che la variazione di momento statico[nota]Tu sai che cosa è il momento statico di una massa m rispetto a una retta r , vero ? È il prodotto $md$ della massa per la distanza $d$ da r .[/nota] della massa $m_1$ rispetto alla banchina.
Analogamente , lo spostamento assoluto di $m_2$ , nel verso negativo delle $x$ , vale $-6.4m$ , perchè allo spostamento di $-6m$ rispetto alla barca si deve sommare lo spostamento di -0.40m della barca verso sinistra . E infatti, la variazione di momento statico di $m_2$ è pari a :$ -6.4m_2$ ( guarda la figura e la (2) ) .
Stesso ragionamento per $m_3$ , il cui spostamento assoluto è $-0.40m$ , e quindi la variazione di momento statico è : $-0.40m_3$ .
Ci sei fin qui ? Ora, la somma delle variazioni di tutti e tre i momenti statici deve essere nulla, perché il CM non si deve spostare . E questo è proprio quanto scritto nella (2)
Alla (2) si poteva arrivare subito, ragionando appunto sulle variazioni dei momenti statici, la cui somma deve essere nulla; e ti dirò che è stato il primo ragionamento che ho fatto . Ma per renderti la soluzione più comprensibile , ho preferito la via delle coordinate.
Se poi qualcun altro vuole cimentarsi , e dimostra che abbiamo sbagliato, ben venga.
La soluzione corretta è quella del libro. Per esempio:
Configurazione iniziale
$x_G=(m_Cl/2+ml)/(M+m_C+m)$
Configurazione finale
$x_G=(-ms+m_C(l/2-s)+M(l-s))/(m+m_C+M)$
Equazione risolutiva
$(m_Cl/2+ml)/(M+m_C+m)=(-ms+m_C(l/2-s)+M(l-s))/(m+m_C+M) rarr$
$rarr m_Cl/2+ml=-ms+m_C(l/2-s)+M(l-s) rarr$
$rarr m=(-m_Cs+M(l-s))/(l+s)~=58 kg$
"anonymous_0b37e9":
La soluzione corretta è quella del libro. Per esempio:
.............
Equazione risolutiva
$(m_Cl/2+ml)/(M+m_C+m)=(-ms+m_C(l/2-s)+M(l-s))/(m+m_C+M) rarr$
$rarr m_Cl/2+ml=-ms+m_C(l/2-s)+M(l-s) rarr$
$rarr m=(-m_Cs+M(l-s))/(l+s)~=58 kg$
Salve SE . La tua equazione al secondo rigo :
$ m_Cl/2+ml=-ms+m_C(l/2-s)+M(l-s) $
diventa :
$ m (l+s) = -m_Cs + M(l-s) $
da cui , sostituendo i numeri :
$ 6.4m = -0.4*30 + 5.6*80 rarr$
$rarr m = (448-12)/(6.4) = \approx 68 kg $
L'equazione :
$ m (l+s) = -m_Cs + M(l-s) $
non è altro che quella che ho indicato con (2) , e cioè , passando tutto allo stesso membro, l'annullamento della somma delle variazioni dei momenti statici, rispetto a un certo asse, che lascia immutata la posizione di $G$ .
Quindi arrivi alla mia stessa formula risolutiva, e i numeri sono quelli.
Ciao Shackle. Poichè il testo dice che i sedili sono posti a 3 m di distanza, la lunghezza della canoa è 3 m, non 6 m.
Ah, se la distanza tra i sedili è tre metri, allora va bene $m_2 =58 kg$ circa . Ho dato solo una distratta occhiata al testo , avevo inteso che i sedili fossero a $+-3m$ dal centro. Mi sembra che anche l' OP avesse interpretato cosi il testo , che non è chiarissimo.
Comunque, il ragionamento fisico alla base della formula finale è corretto , ed è ciò che conta .
E, in ogni caso, Resnick e Halliday devono morire....
Comunque, il ragionamento fisico alla base della formula finale è corretto , ed è ciò che conta .
E, in ogni caso, Resnick e Halliday devono morire....
Non mi ero accorto che avevi semplicemente considerato una diversa lunghezza della canoa. Insomma, mi sarei potuto risparmiare un po' di conti.
Porta pazienza.
"Shackle":
... devono morire ...
Porta pazienza.
Dove sta l'urto e dove sta l'impulso
"Vulplasir":
Dove sta l'urto e dove sta l'impulso
Da nessuna parte, in verità. Lo studente potrebbe cambiare titolo all'esercizio. Per esempio, potrebbe dire : "Spostamento di masse in una canoa " . Ma non mettiamolo in imbarazzo per questo. C'è di peggio.
Ciao a tutti,
grazie per la risposta, il problema era quindi semplicemente un'interpretazione sbagliata del testo?
Quello che mi ha confuso è stato quel "simmetricamente"...
grazie per la risposta, il problema era quindi semplicemente un'interpretazione sbagliata del testo?
Quello che mi ha confuso è stato quel "simmetricamente"...
"ricpnz":
...... il problema era quindi semplicemente un'interpretazione sbagliata del testo?
Quello che mi ha confuso è stato quel "simmetricamente"...
Non preoccuparti, ha confuso anche me , ho pensato che la canoa fosse lunga 6m . Perciò ho detto che R. & H. devono morire...
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