Urto completamente anelastico - equazione
Salve a tutti!
Martedì prossimo ho un esame di fisica su meccanica di corpi e fluidi, e stavo studiando dagli appunti presi a lezione. (Al prof praticamente interessano quelli).
Tutto tranquillo e lineare, ma quando sono arrivato allo studio degli urti non sono riuscito più a tracciare i calcoli. Sono andato avanti a studiare, e adesso che sto ripassando tutto mi piacerebbe capire cosa succede, e perchè.
Scendiamo nel dettaglio. Trattandosi di urto completamente anelastico la conservazione della quantità di moto permette di scrivere (perdonate la totale assenza di notazione vettoriale, ma era già un casino scrivere tutto
):
$m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)v' $
$v'=(m_1v_1+m_2v_2)/(m_1+m_2) $
e dunque per quanto riguarda l'energia cinetica dissipata:
$k=1/2 m_1v_1^2+ m_2v_2^2-1/2(m_1+m_2)v'^2 $
Metto i calcoli (tratti dai miei appunti) sotto spoiler.
al che il mio prof conclude così:
$k=1/2 µ(v_1-v_2)^2 $ dove $µ=(m_1m_2)/(m_1+m_2) $
Ora il mio dubbio sorge tra il passaggio 4 e il passaggio 5. Ho cercato di effettuare tutti i calcoli e le semplificazioni, ma mi trovo questo risultato:
5'.$k=1/2(m_1m_2)/(m_1+m_2)(v_1^2+v_2^2-2v_1v_2+(v_1^2-v_2^2)(m_1^2+m_2^2)/(m_1m_2)) $
Preciso che non credo sia essenziale che io svolga tutti i calcoli all'orale, ma mi piace sapere quello di cui sto parlando, e non fidarmi "a priori" di un risultato solo perchè troppo lungo da calcolare
.
Questa è la mia prima richiesta di aiuto qui sul forum, e vi ringrazio in anticipo per l'attenzione
Martedì prossimo ho un esame di fisica su meccanica di corpi e fluidi, e stavo studiando dagli appunti presi a lezione. (Al prof praticamente interessano quelli).
Tutto tranquillo e lineare, ma quando sono arrivato allo studio degli urti non sono riuscito più a tracciare i calcoli. Sono andato avanti a studiare, e adesso che sto ripassando tutto mi piacerebbe capire cosa succede, e perchè.
Scendiamo nel dettaglio. Trattandosi di urto completamente anelastico la conservazione della quantità di moto permette di scrivere (perdonate la totale assenza di notazione vettoriale, ma era già un casino scrivere tutto
):$m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)v' $
$v'=(m_1v_1+m_2v_2)/(m_1+m_2) $
e dunque per quanto riguarda l'energia cinetica dissipata:
$k=1/2 m_1v_1^2+ m_2v_2^2-1/2(m_1+m_2)v'^2 $
Metto i calcoli (tratti dai miei appunti) sotto spoiler.
al che il mio prof conclude così:
$k=1/2 µ(v_1-v_2)^2 $ dove $µ=(m_1m_2)/(m_1+m_2) $
Ora il mio dubbio sorge tra il passaggio 4 e il passaggio 5. Ho cercato di effettuare tutti i calcoli e le semplificazioni, ma mi trovo questo risultato:
5'.$k=1/2(m_1m_2)/(m_1+m_2)(v_1^2+v_2^2-2v_1v_2+(v_1^2-v_2^2)(m_1^2+m_2^2)/(m_1m_2)) $
Preciso che non credo sia essenziale che io svolga tutti i calcoli all'orale, ma mi piace sapere quello di cui sto parlando, e non fidarmi "a priori" di un risultato solo perchè troppo lungo da calcolare
.Questa è la mia prima richiesta di aiuto qui sul forum, e vi ringrazio in anticipo per l'attenzione
Risposte
Ciao
temo che ci sia qualcosa di sbagliato nei calcoli che fai ora. I passaggi dei tuoi appunti sono corretti
Ho appena provato a rifarli e anche a me viene come sui tuoi appunti
partiamo da
$k = 1/2 m_1 v_1^2 + 1/2 m_2 v_2^2 - 1/2 (m_1^2 v_1^2 + m_2^2 v_2^2 + 2 m_1 m_2 v_1 v_2)/(m_1+m_2)$
raggruppo $1/2$ e faccio il minimo comune multiplo
$k= 1/2 ( (m_1 v_1^2 (m_1+m_2))/(m_1+m_2) + (m_2 v_2^2 (m_1+m_2))/(m_1+m_2) - (m_1^2 v_1^2 +m_2^2 v_2^2 + 2 m_1 m_2 v_1 v_2)/(m_1+m_2))$
la riscrivo come
$k = 1/2 ( (m_1^2 v_1^2 +m_1 m_2 v_1^2 +m_1 m_2 v_2^2 + m_2^2 v_2^2 - m_1^2 v_1^2 - m_2^2 v_2^2 -2m_1 m_2 v_1 v_2)/(m_1+m_2) ) $
i termini $m_1^2 v_1^2$ e $m_2^2 v_2^2$ si semplificano perchè li trovi entrambi una volta positivi e una negativi
$k = 1/2 ( (m_1 m_2 v_1^2 + m_1 m_2 v_2^2 -2m_1 m_2 v_1 v_2 )/(m_1 + m_2))$
raggruppi $(m_1 m_2)/(m_1 + m_2)$ e ottieni
$k = 1/2 (m_1 m_2)/(m_1 + m_2) ( v_1^2 + v_2^2 -2 v_1 v_2 )$
che è proprio ciò che hai negli appunti
temo che ci sia qualcosa di sbagliato nei calcoli che fai ora. I passaggi dei tuoi appunti sono corretti
Ho appena provato a rifarli e anche a me viene come sui tuoi appunti
partiamo da
$k = 1/2 m_1 v_1^2 + 1/2 m_2 v_2^2 - 1/2 (m_1^2 v_1^2 + m_2^2 v_2^2 + 2 m_1 m_2 v_1 v_2)/(m_1+m_2)$
raggruppo $1/2$ e faccio il minimo comune multiplo
$k= 1/2 ( (m_1 v_1^2 (m_1+m_2))/(m_1+m_2) + (m_2 v_2^2 (m_1+m_2))/(m_1+m_2) - (m_1^2 v_1^2 +m_2^2 v_2^2 + 2 m_1 m_2 v_1 v_2)/(m_1+m_2))$
la riscrivo come
$k = 1/2 ( (m_1^2 v_1^2 +m_1 m_2 v_1^2 +m_1 m_2 v_2^2 + m_2^2 v_2^2 - m_1^2 v_1^2 - m_2^2 v_2^2 -2m_1 m_2 v_1 v_2)/(m_1+m_2) ) $
i termini $m_1^2 v_1^2$ e $m_2^2 v_2^2$ si semplificano perchè li trovi entrambi una volta positivi e una negativi
$k = 1/2 ( (m_1 m_2 v_1^2 + m_1 m_2 v_2^2 -2m_1 m_2 v_1 v_2 )/(m_1 + m_2))$
raggruppi $(m_1 m_2)/(m_1 + m_2)$ e ottieni
$k = 1/2 (m_1 m_2)/(m_1 + m_2) ( v_1^2 + v_2^2 -2 v_1 v_2 )$
che è proprio ciò che hai negli appunti
Perfetto, grazie mille!
Avevo fatto un casino con i pedici nei miei calcoli, quindi non semplificavo quei termini
Avevo fatto un casino con i pedici nei miei calcoli, quindi non semplificavo quei termini
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