Urto completamente anelastico

[MrEngineer]

"Una massa $M=0.5 kg$, poggiata su un piano orizzontale liscio, è collegata tramite una molla ($k=450N/m$) ad una parete rigida. Essa esegue delle oscillazioni armoniche di ampiezza $A=20cm$. Quando si trova nel punto di massima elongazione più lontano dalla parete, $M$ viene colpita da una massa $m=0.1kg$ che si muove con velocità $v=18m/s$ lungo l'asse della molla.
Dopo l'urto le due masse restano unite.
Calcolare la velocità del sistema delle due masse subito dopo l'urto e l'ampiezza $A'$ delle oscillazioni dopo l'urto."

[Svolgimento]
Il punto $a)$ è di facile risoluzione. Quando la molla si trova nel punto di massima elongazione, la massa $M$ avrà energia cinetica (e dunque velocità) nulla. In questo punto viene colpita da una seconda massa e i due corpi restano attaccati; basta imporre la conservazione della quantità di moto per trovare la velocità finale:

$mv = (m+M)v_(CM)$ da cui $v_(CM) = (mv)/(M+m) = 3$ $m/s$.

Non ho ben capito il punto $b)$. La forza peso e la reazione del piano non compiono lavoro essendo perpendicolari allo spostamento; c'è la forza elastica, ma è conservativa; non ci sono attriti, dunque vale la conservazione di energia meccanica. Ma tra quali stati? Non sono molto ferrato dinanzi ad oscillazioni armoniche.

[MrEngineer]

Ciao TeM. L'energia meccanica negli istanti temporali in cui la molla si trova nel punto di massima elongazione/accorciamento vale $1/2 * k * (A')^2$ essendo nulla l'energia cinetica della massa. Invece, negli istanti successivi all'urto, bisogna fare un pò di attenzione. Abbiamo detto che l'urto avviene quando la molla è completamente allungata e in questo istante la massa può considerarsi ferma (con velocità nulla). Nell'istante successivo all'urto, la molla sta ritornando alla sua posizione di riposo per cui anche il sistema fatto dalle due masse si muoverà con velocità $v_(CM)$ e avrà pertanto una certa energia cinetica. Ma l'energia dell'oscillatore armonico? Perchè nell'istante dopo l'urto si considerano le oscillazioni di ampiezza $A$ mentre negli istanti di massima elongazione/accorciamento della molla consideriamo $A'$ ?

Se, dopo l'urto, il sistema restasse "invariato" ovvero la sola massa $M$ fosse la massa legata alla molla, allora potrebbe anche starci che la molla riprenda ad oscillare con ampiezza $A$. Ma, dato che le due masse restano unite, anche dopo l'urto non dovrebbe variare l'ampiezza delle oscillazioni?

[mgrau]

"MrEngineer": Ma, dato che le due masse restano unite, anche dopo l'urto non dovrebbe variare l'ampiezza delle oscillazioni?

Sì, certo. E il testo non ti dice appunto questo, chiedendo di trovare $A'$?
Subito prima dell'urto, l'ampiezza è $A$ e l'energia del sistema è $1/2kA^2$ (non ho capito perchè hai scritto $A'$)
Dopo l'urto l'energia aumenta dato che ora le masse unite hanno una certa energia cinetica: anche l'ampiezza aumenterà, in modo che $1/2kA^2 + K = 1/2kA'^2$

[MrEngineer]

"mgrau":Subito prima dell'urto, l'ampiezza è $A$ e l'energia del sistema è $1/2kA^2$ (non ho capito perchè hai scritto $A'$)

Per subito prima dell'urto intendiamo proprio un nanosecondo prima dell'urto? Ovvero un tempo davvero davvero infinitesimo al punto tale da non esserci ancora l'urto ma quasi. Se la molla si trova praticamente totalmente estesa ma l'urto non è ancora avvenuto per questione di attimi, allora ci sta. In quel caso abbiamo energia meccanica pari a $1/2 k A^2$.

"mgrau":Dopo l'urto l'energia aumenta dato che ora le masse unite hanno una certa energia cinetica: anche l'ampiezza aumenterà, in modo che $1/2kA^2 + K = 1/2kA'^2$

Questa affermazione invece non l'ho capita, scusa la testardaggine.

Pensavo di dover unire l'istante considerato al quote $1$ con l'istante al quote $2$ ma c'è ancora qualcosa che mi sfugge. Non capisco perchè al quote $2$ si consideri di nuovo l'ampiezza $A$.

[MrEngineer]

"TeM":Un istante dopo l'urto l'energia meccanica del corpo è pari a \(\frac{1}{2}\,k\,A^2 + \frac{1}{2}\left(m+M\right) v_{cm}^2\), quindi rimane costante ad ogni istante temporale successivo, in particolare nei punti di inversione di moto sarà pari a \(\frac{1}{2}\,k\,{A'}^2\). Imponendo l'uguaglianza di tali energie si ottiene \(A' = \sqrt{A^2 + \frac{m + M}{k}\,v_{cm}^2}\,\). Fine.

Ciò che non sto riuscendo a capire è proprio questo: come mai un istante dopo l'urto oltre all'energia cinetica delle due masse si considera ancora l'ampiezza $A$ come ampiezza delle oscillazioni se i due corpi sono rimasti già uniti e quindi l'ampiezza dovrebbe variare? Nel punto di allungamento e accorciamento ci sta che sia pari a $1/2 k (A') ^2$ dato che sarà nulla l'energia cinetica delle masse. Nell'istante dopo l'urto, ok per l'energia cinetica delle masse, la molla sta andando all'indietro tornando alla sua posizione di riposo. Non capisco perchè l'energia meccanica dell'oscillatore armonico si basi ancora sul valore di $A$.