Urto carrelli e piano inclinato
Oggi ho trovato il problema riportato qui sotto ma non riesco a convincermi della soluzione che dà il libro:
Un piano inclinato è fissato ad un carrello in moto con velocità costante $v_0$. La massa del carrello più quella del piano inclinato è $m_A$. Su tale carrello si trova un cilindro di massa $m$ in quiete rispetto al carrello stesso. Ad un tratto il carrello urta un secondo carrello di massa $m_B$ inizialmente fermo. Dopo l'urto i due carrelli rimangono attaccati. Dopo l'urto il cilindro inizia a muoversi e risale lungo il piano inclinato (senza attriti). Determinare l'altezza massima raggiunta dal cilindro dopo l'urto.
Io ho pensato di risolvere in questo modo:
prima dell'urto il cilindro si muove insieme al carrello A con velocità $v_0$. La quantità di moto [nota]fissando come verso positivo quello idicato dalla velocità iniziale[/nota] è $(m+m_A)v_0$.
Dopo l'urto la quantità di moto è $(m_A+m_B)v'+mv_0$ (infatti la massa m continua a muoversi con velocità $v_0$) allora, dalla conservazione della quantità di moto segue:
$$(m+m_A)v_0=(m_A+m_B)v'+mv_0$$
da cui:
$$v'=\frac{m_Av_0}{m_A+m_B}$$
Se adesso consideriamo un sistema di riferimento solidale con il primo carrello possiamo trovare la velocità relativa del cilindro (dopo l'urto) rispetto a tale sistema di riferimento con $v_r=v_0-v'=v_0-\frac{m_A v_0}{m_A+m_B}=\frac{m_B v_0}{m_A+m_B}$.
Allora, applicando il principio di conservazione dell'energia meccanica si ha:
$$
\frac{1}{2}mv_r^2=mgh
$$
cioè:
$$
h=\frac{v_r^2}{2g}=\frac{m_B^2 v_0^2}{2g(m_A+m_B)^2}
$$
Tuttavia sul testo è indicata la soluzione $ h=\frac{m_B^2 v_0^2}{2g(m_A+m_B)(m+m_A+m_B)}$.
Qualcuno sa indicarmi dove sbaglio?
Grazie
Un piano inclinato è fissato ad un carrello in moto con velocità costante $v_0$. La massa del carrello più quella del piano inclinato è $m_A$. Su tale carrello si trova un cilindro di massa $m$ in quiete rispetto al carrello stesso. Ad un tratto il carrello urta un secondo carrello di massa $m_B$ inizialmente fermo. Dopo l'urto i due carrelli rimangono attaccati. Dopo l'urto il cilindro inizia a muoversi e risale lungo il piano inclinato (senza attriti). Determinare l'altezza massima raggiunta dal cilindro dopo l'urto.
Io ho pensato di risolvere in questo modo:
prima dell'urto il cilindro si muove insieme al carrello A con velocità $v_0$. La quantità di moto [nota]fissando come verso positivo quello idicato dalla velocità iniziale[/nota] è $(m+m_A)v_0$.
Dopo l'urto la quantità di moto è $(m_A+m_B)v'+mv_0$ (infatti la massa m continua a muoversi con velocità $v_0$) allora, dalla conservazione della quantità di moto segue:
$$(m+m_A)v_0=(m_A+m_B)v'+mv_0$$
da cui:
$$v'=\frac{m_Av_0}{m_A+m_B}$$
Se adesso consideriamo un sistema di riferimento solidale con il primo carrello possiamo trovare la velocità relativa del cilindro (dopo l'urto) rispetto a tale sistema di riferimento con $v_r=v_0-v'=v_0-\frac{m_A v_0}{m_A+m_B}=\frac{m_B v_0}{m_A+m_B}$.
Allora, applicando il principio di conservazione dell'energia meccanica si ha:
$$
\frac{1}{2}mv_r^2=mgh
$$
cioè:
$$
h=\frac{v_r^2}{2g}=\frac{m_B^2 v_0^2}{2g(m_A+m_B)^2}
$$
Tuttavia sul testo è indicata la soluzione $ h=\frac{m_B^2 v_0^2}{2g(m_A+m_B)(m+m_A+m_B)}$.
Qualcuno sa indicarmi dove sbaglio?
Grazie
Risposte
"wnvl":
Quantità di moto al momento dell'altezza massima: $(m+m_A+m_B)v$
Ecco il punto che ci mancava!
@laura123
A me non pare però che sia la stessa cosa, difatti wnvl uguaglia le energie cinetiche dopo l'urto NON tra prima e dopo ...
IMHO ovviamente
Cordialmente, Alex
"axpgn":
A me non pare però che sia la stessa cosa, difatti wnvl uguaglia le energie cinetiche dopo l'urto NON tra prima e dopo ...
Ho sbagliato a scrivere, non volevo dire prima dell'urto ma nell'istante subito dopo l'urto l'energia è $\frac{1}{2}m(v_0-v_{CM})^2+\frac{1}{2}(m_A+m_B)(v_{CM}-v')^2$ invece quando il cilindro ha raggiunto l'altezza h l'energia è $mgh$. L'uguaglianza ovviamente la impongo dopo l'urto
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