Urto anelastico anello e quadrato
Ciao a tutti
Consideriamo un anello di massa $M$ e raggio $R$ che si muove di rotolamento puro su un piano orizzontale. La velocità del suo centro di massa è $v_0$.
Ad un determinato istante l'anello urterà un quadrato di massa $1/2 M$ e lato $R$.
L'urto sarà completamento anelastico (i due corpi rigidi rimarranno attaccati).
Supponendo che ci sia attrito tra anello e piano, ma non tra anello e quadrato e neanche tra quadrato e piano orizzontale,
determinare, dopo l'urto:
$1)$ la velocità angolare dell'anello.
$2)$ scrivere l'equazioni cardinali del sistema anello-quadrato dopo l'urto.
Io ho ragionato così:
Dal momento che non ci sono forze esterne, il momento delle forze esterne è nullo, e quindi si conserva il momento angolare.
$K(t)=K(t+Delta t)$
quindi
$I_G omega_0$ = $I_G' omega_f$
$omega_f = (MR^2 v_0R) /I_(G')$
Problema:
a) Come calcolo $I_G'$ ? Devo trovare il centro di massa del nuovo sistema prima di tutto e dopodiché utilizzare Huygens Steiner?
b) Come posso scrivere la seconda equazione cardinale del nuovo sistema? L'anello continuerà a muoversi di rotolamento puro oppure no? Quale centro di riduzione scelgo?
P.s. non fate caso alle masse scritte sull'immagine. L'anello avrebbe massa uguale a $9M$ più un punto materiale di massa $M$ posto al centro, il che significherebbe $10M$, quindi il doppio della massa del quadrato.
Consideriamo un anello di massa $M$ e raggio $R$ che si muove di rotolamento puro su un piano orizzontale. La velocità del suo centro di massa è $v_0$.
Ad un determinato istante l'anello urterà un quadrato di massa $1/2 M$ e lato $R$.
L'urto sarà completamento anelastico (i due corpi rigidi rimarranno attaccati).
Supponendo che ci sia attrito tra anello e piano, ma non tra anello e quadrato e neanche tra quadrato e piano orizzontale,
determinare, dopo l'urto:
$1)$ la velocità angolare dell'anello.
$2)$ scrivere l'equazioni cardinali del sistema anello-quadrato dopo l'urto.
Io ho ragionato così:
Dal momento che non ci sono forze esterne, il momento delle forze esterne è nullo, e quindi si conserva il momento angolare.
$K(t)=K(t+Delta t)$
quindi
$I_G omega_0$ = $I_G' omega_f$
$omega_f = (MR^2 v_0R) /I_(G')$
Problema:
a) Come calcolo $I_G'$ ? Devo trovare il centro di massa del nuovo sistema prima di tutto e dopodiché utilizzare Huygens Steiner?
b) Come posso scrivere la seconda equazione cardinale del nuovo sistema? L'anello continuerà a muoversi di rotolamento puro oppure no? Quale centro di riduzione scelgo?
P.s. non fate caso alle masse scritte sull'immagine. L'anello avrebbe massa uguale a $9M$ più un punto materiale di massa $M$ posto al centro, il che significherebbe $10M$, quindi il doppio della massa del quadrato.
Risposte
E che vi devo dire? L'angolo tra il $r_q$ e $V_f$ e' 30 gradi.
Che colpa ne ho io?
Che colpa ne ho io?
Allora penso che questo sia un mio errore di base sui vettori.
"professorkappa":
E che vi devo dire? L'angolo tra il $r_q$ e $V_f$ e' 30 gradi.
Che colpa ne ho io?
E' $R/2$ perché la distanza tra la retta di azione di $v_f$ e la retta di azione parallela a $v_f$ e passante per il centro del disco è proprio $R/2$, giusto?
A parte che il seno devi farlo sull angolo acuto.
Il prodotto tra $r_q$ e il $sinalpha$ è sempre R/2: è la distanza del vettore Vf dal centro del disco, senza tanti calcoli
Il prodotto tra $r_q$ e il $sinalpha$ è sempre R/2: è la distanza del vettore Vf dal centro del disco, senza tanti calcoli
"professorkappa":
A parte che il seno devi farlo sull angolo acuto.
Il prodotto tra $r_q$ e il $sinalpha$ è sempre R/2: è la distanza del vettore Vf dal centro del disco, senza tanti calcoli
Caspita che scemo, scusa sono un po' fuso! Grazie comunque
Posto la mia idea di soluzione.
L’urto è anelastico, ma l'anello e il quadrato non rimangono incollati, l’anello continua a rotolare spingendo davanti a sé il quadrato , con la stessa velocità di traslazione finale. Mi spiego.
Indico con $M$ la massa dell’anello e con $m$ la massa del quadrato, per semplificare la scrittura.
Prima dell’urto, la quantità di moto è :$Mv_0$ . Dopo l’urto anelastico, la q.d.m. del sistema è : $ (M+m) v_f$ . Uguagliando si trova la velocità finale di traslazione dei due corpi , che è la stessa per entrambi :
$v_f = v_0 M/(M+m)$
L’anello, che prima dell’urto ruotava con velocità angolare $omega_0 = v_0/R $ (rotolamento puro) , e quindi aveva un momento angolare $L_0 = Iomega_0 = MR^2*v_0/R = Mv_0R $ , dopo l’urto continua ad avere rotolamento puro, ma con velocità angolare ridotta : $omega_f = v_f/R $ , e quindi momento angolare ridotto, pari a $Mv_fR $ . Cioè il momento angolare non si conserva.
Per quanto riguarda l’energia cinetica , prima dell’urto essa era :
$E_i = 1/2Mv_0^2 + 1/2Iomega_0^2 = 1/2Mv_0^2 + 1/2MR^2(v_0/R)^2 = Mv_0^2 $
dopo l’urto, l’energia cinetica totale del sistema è :
$E_f = 1/2Mv_f^2 + 1/2Iomega_f^2 + 1/2mv_f^2 = Mv_f^2 + 1/2mv_f^2= (M+1/2m) v_f^2$
La differenza tra $E_i$ ed $E_f$ , se non ho sbagliato i conti, è :
$E_i-E_f = 1/2v_0^2(Mm(M+2m))/(M+m)^2 $
cioè una quantità positiva, la parte perduta.
Sono graditi commenti.
L’urto è anelastico, ma l'anello e il quadrato non rimangono incollati, l’anello continua a rotolare spingendo davanti a sé il quadrato , con la stessa velocità di traslazione finale. Mi spiego.
Indico con $M$ la massa dell’anello e con $m$ la massa del quadrato, per semplificare la scrittura.
Prima dell’urto, la quantità di moto è :$Mv_0$ . Dopo l’urto anelastico, la q.d.m. del sistema è : $ (M+m) v_f$ . Uguagliando si trova la velocità finale di traslazione dei due corpi , che è la stessa per entrambi :
$v_f = v_0 M/(M+m)$
L’anello, che prima dell’urto ruotava con velocità angolare $omega_0 = v_0/R $ (rotolamento puro) , e quindi aveva un momento angolare $L_0 = Iomega_0 = MR^2*v_0/R = Mv_0R $ , dopo l’urto continua ad avere rotolamento puro, ma con velocità angolare ridotta : $omega_f = v_f/R $ , e quindi momento angolare ridotto, pari a $Mv_fR $ . Cioè il momento angolare non si conserva.
Per quanto riguarda l’energia cinetica , prima dell’urto essa era :
$E_i = 1/2Mv_0^2 + 1/2Iomega_0^2 = 1/2Mv_0^2 + 1/2MR^2(v_0/R)^2 = Mv_0^2 $
dopo l’urto, l’energia cinetica totale del sistema è :
$E_f = 1/2Mv_f^2 + 1/2Iomega_f^2 + 1/2mv_f^2 = Mv_f^2 + 1/2mv_f^2= (M+1/2m) v_f^2$
La differenza tra $E_i$ ed $E_f$ , se non ho sbagliato i conti, è :
$E_i-E_f = 1/2v_0^2(Mm(M+2m))/(M+m)^2 $
cioè una quantità positiva, la parte perduta.
Sono graditi commenti.
"Shackle":
..
L’anello, che prima dell’urto ruotava con velocità angolare $omega_0 = v_0/R $ (rotolamento puro) , e quindi aveva un momento angolare $L_0 = Iomega_0 = MR^2*v_0/R = Mv_0R $ , dopo l’urto continua ad avere rotolamento puro, ma con velocità angolare ridotta : $omega_f = v_f/R $ , e quindi momento angolare ridotto, pari a $Mv_fR $ . Cioè il momento angolare non si conserva.
...
Sono graditi commenti.
CIao Shackle, penso che sia tutto condivisibile, tranne la parte appena citata, semplicemente perché non la capisco.
O meglio, non capisco come tu faccia a dire con certezza che:
dopo l'urto il disco continua a fare rotolamento puro e non incomincia a rototraslare.
P.s. piccola nota: per dire che il momento angolare non si conserva è bastato notare che il momento d'inerzia del disco è rimasto lo stesso, ovvero $1/2MR^2$, mentre la velocità angolare è diminuita?
CIao Shackle, penso che sia tutto condivisibile, tranne la parte appena citata, semplicemente perché non la capisco.
O meglio, non capisco come tu faccia a dire con certezza che:
dopo l'urto il disco continua a fare rotolamento puro e non incomincia a rototraslare.
Guarda che un disco, facendo rotolamento puro, “rototrasla” su un piano orizzontale, per cui : $v=omegaR$ è la velocità di traslazione e $omega$ è quella di rotazione. SE non ci sono forze agenti sul disco in senso orizzontale, la velocità $v$ è costante, il CM del disco non accelera, e non c’è forza di attrito.
E io questo ho assunto : che continui a rototraslare, ma con velocità angolare minore, dovuta ad una minore velocità di traslazione $v_f$ , calcolata con la conservazione della q.d.m. , come ho scritto.
P.s. piccola nota: per dire che il momento angolare non si conserva è bastato notare che il momento d'inerzia del disco è rimasto lo stesso, ovvero $1/2MR^2$ , mentre la velocità angolare è diminuita?
Si. Anzi a questo proposito aggiungo qualcosa. SE la velocità angolare dell’anello diminuisce ‘istantaneamente” al momento dell’urto da $omega_i$ a $omega_f$ , ci deve essere un momento di forze esterne che ha fatto diminuire il momento angolare, ok ? Cioè dobbiamo capire che, detta $Deltat$ la durata dell’urto col quadrato, in questo tempuscolo che non sappiamo quantificare c’è stato un momento impulsivo di forze esterne all’anello, che ne hanno diminuito il momento angolare e quindi la velocità angolare. Quali sono le forze impulsive che agiscono sull’anello durante l’urto? C’è la forza dovuta al quadrato che viene urtato, e c’è anche la forza di attrito dell’anello col piano : il testo dell’esercizio precisa che esiste attrito tra anello e piano, quindi, assumendo come polo il centro dell’anello, il momento della forza di urto impulsiva è nullo rispetto ad esso, e il momento della forza di attrito, che possiamo supporre costante nel tempo $Deltat$, vale in modulo : $M_a = F_aR $ . Perciò deve essere :
$ F_aR = I (omega_i - omega_f)/(Deltat)$
LA forza di attrito è diretta in avanti, cioè verso destra, se supponiamo che il disco rotoli verso destra come da figura, sicché il momento è antiorario e quindi frenante , come deve essere.
Purtroppo non possiamo determinare esattamente il valore di $F_a$ , visto che non conosciamo il tempuscolo $Deltat$ . MA poco male, l’importante è rendersi conto che c’è , e il suo momento rispetto al CM si oppone alla rotazione, assicurando nel contempo il rotolamento puro dell’anello anche dopo l’urto. Teniamo infatti presente che io sto supponendo rotolamento puro dell’anello non solo prima dell’urto ma anche dopo, e “dopo” é possibile, con velocità angolare ridotta $omega_f$ , solo grazie all’esistenza dell' attrito col piano. Se non ci fosse attrito col piano, l’urto anelastico causerebbe sí la diminuzione della velocità di traslazione di tutto il sistema rispetto a $v_0$ , ma la velocità angolare dell’anello resterebbe invariata, cioè uguale a quella iniziale, poiché non ci sarebbe momento di forze esterne rispetto al CM.
Hai per caso la soluzione di questo esercizio ?
"Shackle":
Guarda che un disco, facendo rotolamento puro, “rototrasla” su un piano orizzontale, per cui : $v=omegaR$ è la velocità di traslazione e $omega$ è quella di rotazione. SE non ci sono forze agenti sul disco in senso orizzontale, la velocità $v$ è costante, il CM del disco non accelera, e non c’è forza di attrito.
Okay mi sono spiegato male, forse perché mi è stato insegnato così.
Un disco che fa rotolamento puro ovviamente avrà il suo centro di massa che traslerà, ma il disco, nel suo insieme, rotola senza strisciare, quindi non rototrasla, ma rotola e basta.
Penso siano piccoli cavilli di poco conto, l'importante è capirsi.
Quindi dopo l'urto il disco non incomincia a strisciare. Perché?
"Shackle":
C’è la forza dovuta al quadrato che viene urtato, e c’è anche la forza di attrito dell’anello col piano : il testo dell’esercizio precisa che esiste attrito tra anello e piano, quindi, assumendo come polo il centro dell’anello, il momento della forza di urto impulsiva è nullo rispetto ad esso, e il momento della forza di attrito, che possiamo supporre costante nel tempo $Deltat$, vale in modulo : $M_a = F_aR $ . Perciò deve essere :
$ F_aR = I (omega_i - omega_f)/(Deltat)$
LA forza di attrito è diretta in avanti, cioè verso destra, se supponiamo che il disco rotoli verso destra come da figura, sicché il momento è antiorario e quindi frenante , come deve essere.
Da un tutor mi è stato detto di considerare la forza di attrito come una forza non impulsiva negli urti. Questo quindi non vale sempre immagino.
"Shackle":
Hai per caso la soluzione di questo esercizio ?
Sì eccola:
@anonymous_58f0ac
Solo per ricordarti che, per quanto riguarda la prima parte, la soluzione è in linea con i contenuti del mio primo messaggio:
Solo per ricordarti che, per quanto riguarda la prima parte, la soluzione è in linea con i contenuti del mio primo messaggio:
"anonymous_0b37e9":
Non è chiaro che cosa il testo intenda per "i due corpi rigidi rimarranno attaccati". Si potrebbe anche intendere che l'anello smetta di ruotare. In questo caso, poiché l'unica forza di natura impulsiva responsabile di ciò sarebbe la forza di attrito presente tra l'anello e il piano, non si può conservare la quantità di moto totale lungo l'orizzontale. Tuttavia, se si presume che l'urto sia istantaneo, essendo la forza di attrito limitata superiormente, mi sentirei di escludere questa ipotesi. A questo punto, visto che l'unica forza di natura impulsiva, in linea di principio non limitata superiormente, è l'interazione che nasce nel punto in cui l'anello urta il quadrato, non rimane che procedere conservando il momento angolare dell'anello rispetto al suddetto punto (la velocità angolare dell'anello non cambia) e la quantità di moto totale lungo l'orizzontale.
"anonymous_0b37e9":
@anonymous_58f0ac
Solo per ricordarti che, per quanto riguarda la prima parte, la soluzione è in linea con i contenuti del mio primo messaggio:
Vero! Comunque, come si può notare dal numero di opinioni diverse, l'esercizio era poco chiaro e l'interpretazione alquanto arbitraria. Ad ogni modo, ci avevi visto giusto.
Io resto della mia idea. La prima riga della soluzione (di cui non mi fido troppo..) dice che la velocità di traslazione dopo l’urto diminuisce, e ok . E come fa allora la velocità angolare dell’ anello a restare uguale a quella di prima? Non sono d’accordo. Se poi guardiamo l’ultimo riquadro in Basso a sn , sembra che $x$ aumenti col quadrato del tempo...derivando rispetto a t , sembra quindi che la velocità aumenti ; è uno scherzo? O un errore di scrittura? E poi , che modo di scrivere le masse è: 10M...5M....
Boh!
Boh!
"Shackle":
Io resto della mia idea. La prima riga della soluzione (di cui non mi fido troppo..) dice che la velocità di traslazione dopo l’urto diminuisce, e ok . E come fa allora la velocità angolare dell’ anello a restare uguale a quella di prima? Non sono d’accordo. Se poi guardiamo l’ultimo riquadro in Basso a sn , sembra che $x$ aumenti col quadrato del tempo...derivando rispetto a t , sembra quindi che la velocità aumenti ; è uno scherzo? O un errore di scrittura? E poi , che modo di scrivere le masse è: 10M...5M....
Boh!
La massa dell'anello viene precisato che in realtà è 10M. Piccolo cavillo.
Comunque sì, è fatto parecchio male.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo