Urti relativistici
Ho dei problemi a capire come risolvere alcuni esercizi sugli urti relativistici, generalmente esercizi dove una delle due particelle è a riposo. Sono a conoscenza del fatto che spesso è più facile risolvere questi esercizi con l'utilizzo dei quadri vettori ma non avendoli fatti ho spesso dei problemi ad utilizzarli.
Un esempio è il seguente:
Consideriamo un urto di due particelle, un muone $\mu^-$ e un antimuone $\mu^+$, di massa uguale, $m_\mu = 100 {MeV}/c^2$, e carica elettrica opposta. Il moto di entrambe le particelle avviene su uno stesso asse. L’esperimento viene effettuato tenendo il muone $\mu^-$ fermo, mentre l’antimuone $\mu^+$ si avvicina con un’energia $E_l$. Dall’urto delle due particelle emerge una
singola ipotetica particella $Q$ di massa $M_Q$, data da $M_Q= 320 {MeV}/c^2$.
Calcolare l’energia $E_l$ dell’antimuone $\mu^+$ iniziamente in moto ($412Mev$)
Quando le due particelle sono entrambe in movimento non ho troppi problemi ma quando mi viene data una sola particella in movimento e non so la velocità faccio un po' di pasticci.
Ho provato in vari modi, ad esempio con la conservazione delle energie e della quantità di moto mantenendo il sistema di riferimento del laboratorio oppure provando a cambiare il sistema di riferimento a quello del sistema di massa ma purtroppo non riesco a risolverlo.
Un esempio è il seguente:
Consideriamo un urto di due particelle, un muone $\mu^-$ e un antimuone $\mu^+$, di massa uguale, $m_\mu = 100 {MeV}/c^2$, e carica elettrica opposta. Il moto di entrambe le particelle avviene su uno stesso asse. L’esperimento viene effettuato tenendo il muone $\mu^-$ fermo, mentre l’antimuone $\mu^+$ si avvicina con un’energia $E_l$. Dall’urto delle due particelle emerge una
singola ipotetica particella $Q$ di massa $M_Q$, data da $M_Q= 320 {MeV}/c^2$.
Calcolare l’energia $E_l$ dell’antimuone $\mu^+$ iniziamente in moto ($412Mev$)
Quando le due particelle sono entrambe in movimento non ho troppi problemi ma quando mi viene data una sola particella in movimento e non so la velocità faccio un po' di pasticci.
Ho provato in vari modi, ad esempio con la conservazione delle energie e della quantità di moto mantenendo il sistema di riferimento del laboratorio oppure provando a cambiare il sistema di riferimento a quello del sistema di massa ma purtroppo non riesco a risolverlo.
Risposte
"fahrenheit":
Ho dei problemi a capire come risolvere alcuni esercizi sugli urti relativistici, generalmente esercizi dove una delle due particelle è a riposo. Sono a conoscenza del fatto che spesso è più facile risolvere questi esercizi con l'utilizzo dei quadri vettori ma non avendoli fatti ho spesso dei problemi ad utilizzarli.
Un esempio è il seguente:
Consideriamo un urto di due particelle, un muone $\mu^-$ e un antimuone $\mu^+$, di massa uguale, $m_\mu = 100 {MeV}/c^2$, e carica elettrica opposta. Il moto di entrambe le particelle avviene su uno stesso asse. L’esperimento viene effettuato tenendo il muone $\mu^-$ fermo, mentre l’antimuone $\mu^+$ si avvicina con un’energia $E_l$. Dall’urto delle due particelle emerge una
singola ipotetica particella $Q$ di massa $M_Q$, data da $M_Q= 320 {MeV}/c^2$.
Calcolare l’energia $E_l$ dell’antimuone $\mu^+$ iniziamente in moto ($412Mev$)
Quando le due particelle sono entrambe in movimento non ho troppi problemi ma quando mi viene data una sola particella in movimento e non so la velocità faccio un po' di pasticci.
Ho provato in vari modi, ad esempio con la conservazione delle energie e della quantità di moto mantenendo il sistema di riferimento del laboratorio oppure provando a cambiare il sistema di riferimento a quello del sistema di massa ma purtroppo non riesco a risolverlo.
Quando utilizzavo il sistema di riferimento del laboratorio ho posto (per semplicità pongo $\mu^- =1$, $\mu^+=2$ $Q=3$)
\[p_1+p_2=p_3\]
$p_1=0$ quindi $p_2=p_3=p$ e poi ho provato ad usare sia $E=m\gamma v$ sia $E^2=p^2c^2+m^2c^4$. ma in entrambi i calcoli si complicavano a tal punto da non riuscire a trovare p o v. Anche passando al sistema riferimento del CM non riesco ad andare avanti perché ho troppe variabili.
Considerando il riferimento del laboratorio, sistema di 2 equazioni:
nelle 2 incognite $v$ e $V$. Tuttavia, può essere più agevole determinare l'energia comune dei due muoni nel riferimento del centro di massa:
la velocità del centro di massa:
e la velocità del muone in moto nel riferimento del laboratorio:
mediante la composizione relativistica delle velocità. In definitiva:
Conservazione dell'energia
$m_\muc^2+(m_\muc^2)/sqrt(1-v^2/c^2)=(M_Qc^2)/sqrt(1-V^2/c^2)$
Conservazione dell'impulso
$(m_\muv)/sqrt(1-v^2/c^2)=(M_QV)/sqrt(1-V^2/c^2)$
nelle 2 incognite $v$ e $V$. Tuttavia, può essere più agevole determinare l'energia comune dei due muoni nel riferimento del centro di massa:
$[2E_\mu=M_Qc^2] rarr [E_\mu=1/2M_Qc^2]$
la velocità del centro di massa:
Muone a riposo
$[v_(\mu(Lab))=0] ^^ [v_(\mu(CM))=-c/M_Qsqrt(M_Q^2-4m_\mu^2)] rarr [v_(CM)=c/M_Qsqrt(M_Q^2-4m_\mu^2)]$
e la velocità del muone in moto nel riferimento del laboratorio:
Muone in moto
$[v_(\mu(CM))=c/M_Qsqrt(M_Q^2-4m_\mu^2)] ^^ [v_(CM)=c/M_Qsqrt(M_Q^2-4m_\mu^2)] rarr [v_(\mu(Lab))=(M_Qc)/(M_Q^2-2m_\mu^2)sqrt(M_Q^2-4m_\mu^2)]$
mediante la composizione relativistica delle velocità. In definitiva:
$E_l=(M_Q^2-2m_\mu^2)/(2m_\mu)c^2$
Prova anche a dare un’occhiata a queste due discussioni:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... o#p8302156
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... ca#p947559
nella seconda, ci sono alcune informazioni sui 4-impulsi e sul loro uso in questi esercizi di urti relativistici, che potrebbero esserti utili.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... o#p8302156
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... ca#p947559
nella seconda, ci sono alcune informazioni sui 4-impulsi e sul loro uso in questi esercizi di urti relativistici, che potrebbero esserti utili.
Grazie mille ad entrambi!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo