Uomo e piattaforma
Un uomo di peso P si trova sul bordo di una piattaforma circolare omogenea di raggio R e massa M, girevole senza attrito attorno al suo asse. Inizialmente sia l'uomo che la piattaforma sono fermi; poi l'uomo si mette istantaneamente in moto con velocità v costante rispetto alla piattaforma, lungo il bordo della piattaforma. Quanta strada deve percorrere sulla piattaforma per ritrovarsi nella stessa posizione rispetto al suolo?
Risposte
Considerando il sistema composto da piattaforma si vede quali sono le forze esterne che agiscono , si ricavano risultante e momento risultante di tali forze e si applicano le equazioni cardinali della dinamica da cui si deduce che il momento angolare si conserva...
L'uomo compie un momento angolare rispetto alla piattaforma di $L=Rmv$ con $m=P/g$. Poiché il momento angolare del sistema uomo-piattaforma si conserva, dato che non ci sono momenti esterni, la piattaforma dovrà avere un momento angolare uguale ma opposto a quello dell'uomo. $L=Iomega$
$Iomega_p=Rmv$,
poiché $I=1/2MR^2$
$omega_p=(2mv)/MR$, che è la velocità angolare della piattaforma.
La velocità angolare dell'uomo sarà data invece da $omega_u=v/R$
Per avere la velocità effettiva dell'uomo sulla piattaforma rispetto al terreno devo sottrarre $omega_u-omega_p=omega$, che verrebbe $omega=v(2m-M)/MR$. Questa è la velocità che ha l'uomo rispetto alla terra, è solo che ora non so come utilizzarla per calcolare lo spazio che deve percorrere per tornare alla posizione iniziale..
Ho sbagliato il ragionamento?
$Iomega_p=Rmv$,
poiché $I=1/2MR^2$
$omega_p=(2mv)/MR$, che è la velocità angolare della piattaforma.
La velocità angolare dell'uomo sarà data invece da $omega_u=v/R$
Per avere la velocità effettiva dell'uomo sulla piattaforma rispetto al terreno devo sottrarre $omega_u-omega_p=omega$, che verrebbe $omega=v(2m-M)/MR$. Questa è la velocità che ha l'uomo rispetto alla terra, è solo che ora non so come utilizzarla per calcolare lo spazio che deve percorrere per tornare alla posizione iniziale..
Ho sbagliato il ragionamento?
Ho scritto male $omega_p=(2mv)/(MR)$ e $omega=[v(2m-M)]/(MR)$
Non ho capito se v è la velocità rispetto a terra o no... In ogni caso quando scrivi la conservazione del momento angolare, se $omega_p$ è la velocità di rotazione della piattaforma, allora devi considerare la velocità dell'uomo rispetto a terra e non rispetto alla piattaforma.
è solo che $v$ è la velocità lineare dell'uomo rispetto alla piattaforma. Quindi quando calcolo $omega_u=v/R$ è la la velocità angolare rispetto alla piattaforma.. almeno credo
Si ok, ma quando vai a calcolare il momento angolare dell'uomo lo devi fare rispetto a terra e non rispetto alla piattaforma, sennò non torna più nulla...
E come faccio a calcolarlo rispetto a terra??
$v_t=v-omegaR$, dove $omega$ è la velocità di rotazione della piattaforma:
$Iomega=mv_tR=m(v-omegaR)R=>omega=(mR)/(I+mR^2)v$
L'uomo si troverà nello stesso punto rispetto a terra quando risulta verificata la seguente:
$2piR=s_t=s-thetaR=s(1-(mR^2)/(I+mR^2))=>s=...$
$Iomega=mv_tR=m(v-omegaR)R=>omega=(mR)/(I+mR^2)v$
L'uomo si troverà nello stesso punto rispetto a terra quando risulta verificata la seguente:
$2piR=s_t=s-thetaR=s(1-(mR^2)/(I+mR^2))=>s=...$
Grazie!!!!
Scusami ma non riesco a capire l'ultimo passaggio matematico:
$s-tetaR=s[1-(mR^2)/(I+mR^2)]$
$s-tetaR=s[1-(mR^2)/(I+mR^2)]$
$s-thetaR=s[1-(mR^2)/(I+mR^2)]$
Basta sostituire con la relazione tra la velocità dell'uomo e quella della piattaforma (che è uguale a quella tra gli spazi). Ciao
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