Unitarietà operatori

[itisscience]

gli operatori operatori $ a,a^† $ († sta per aggiunto) commutano con $ b,b^† $
devo dimostrare che , con x reale, $ V_x=e^{x(a^†b-ab^†) $ è unitario.

quindi usando la proprietà $ (AB)^†=B^†A^† $ scrivo
$ V_x^†=e^{x(b^†a-ba^†) $
però con $ VV_x^† $ non ottengo l'unità
quindi è giusto riscrivere $ V_x^†=e^{x(ab^†-a^†b) $ giustificando questo passaggio con il fatto che gli operatori commutano e quindi posso 'scambiarli di posto'?

[itisscience]

ne approfitto per chiarire un altro mio dubbio:
la derivata di $ a_x=V_x^†aV_x $ è $ d/(dx)(e^{-xA}ae^{xA})=-e^{-xA}Aae^{xA}+e^{-xA}ae^{xA}A $
stesso motivo di prima, poichè commutano allora la riscrivo come $ -Ae^{-xA}ae^{xA}+e^{-xA}ae^{xA}A=-[A,a_x] $

giusto?

[j18eos]

...ma sono operatori definiti su quale spazio di Banach?

[gugo82]

Scusa ma se $a$ commuta con $b$ e \(b^\dagger\), e lo stesso fa \(a^\dagger\), la cosa non è ovvia?
Mi pare che allora \(V^\dagger = e^{-x(a^\dagger b - a b^\dagger )}\)?