Un'asta viene colpita da due corpi
Salve a tutti, trovo difficoltà a risolvere questo problema
Un'asta omogenea di massa m e lunghezza l ruota liberamente in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale passante per il suo centro C con velocità w0. Nell'istante in cui l'asta forma un angolo § con la verticale, due corpi puntiformi di massa m1 e m2 (m1>m2) colpiscono gli estremi dell'asta rimanendovi attaccati. I due corpi nell'istante dell'urto hanno la stessa velocità v0 in modulo: la velocità m1 è orizzontale, quella di m2 è perpendicolare all'asta, come mostrato in figura. In seguito all'urto, istantaneo, l'asta ruota in senso antiorario attorno al suo asse passante per la cerniera C. si determini:
a) il modulo della velocità angolare del sistema dopo l'urto
b) l'impulso trasmesso dalla cerniera all'asta durante l'impulso
c) l'impulso trasmesso a m2 dall'asta durante l'urto
d) la velocità angolare del sistema quando l'asta è orizzontale
Il mio tentativo di risoluzione è il seguente:
nel sistema non si conserva la quantità di moto in quanto nel momento dell'urto agisce una forza esterna impulsiva da parte del vincolo, si conserva però il momento angolare rispetto il centro C dell'asta per cui si ha
$ I * omega=I*omega' + m2*l^2/4*omega'+m1*l/2*vocosTheta $
dubbio che mi viene è: l'unica differenza tra l'impulso del corpo m1 che ha velocità orizzontale e il corpo m2 che colpisce la sbarra ortogonalmente, sta solo nel dover, nel primo caso, considerare la componente ortogonale della velocità? e
$ l/2*m1*v0costheta $ si può scrivere come $ m2*l^2/4*omega'costheta $ ??
continuando, essendo $ I=l^2/12*m $ mi ricavo $ omega' $ che dovrebbe essere il primo punto del problema.
Per il secondo punto, sto consultando un esercizio simile sul libro e dice: l'impulso delle forze vincolari si calcola tramite la variazione della quantità di moto del sistema, e fin qui tutto ok, poi continua dicendo che l'impulso ha due componenti, una lungo la direzione dell'asse di rotazione dovuta all'arresto dei corpi e l'altra ortogonale all'asse di rotazione dovuta all'inizio della rotazione dei corpi. Sto discorso non l'ho capito, o meglio non riesco a comprendere il fenomeno.
Quindi dovrei procedere calcolando la quantità di moto iniziale sull'asse x come somme delle quantità di moto dei due corpi e la quantità di moto finale su y, dopo di che sommando i quadrati delle due quantità di moto e mettendoli sotto radice dovrei avere il valore dell'impulso trasmesso dalla cernira sull'asta durante l'urto
Per gli altri 2 punti ancora non riesco a trovare una soluzione
grazie!
Un'asta omogenea di massa m e lunghezza l ruota liberamente in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale passante per il suo centro C con velocità w0. Nell'istante in cui l'asta forma un angolo § con la verticale, due corpi puntiformi di massa m1 e m2 (m1>m2) colpiscono gli estremi dell'asta rimanendovi attaccati. I due corpi nell'istante dell'urto hanno la stessa velocità v0 in modulo: la velocità m1 è orizzontale, quella di m2 è perpendicolare all'asta, come mostrato in figura. In seguito all'urto, istantaneo, l'asta ruota in senso antiorario attorno al suo asse passante per la cerniera C. si determini:
a) il modulo della velocità angolare del sistema dopo l'urto
b) l'impulso trasmesso dalla cerniera all'asta durante l'impulso
c) l'impulso trasmesso a m2 dall'asta durante l'urto
d) la velocità angolare del sistema quando l'asta è orizzontale
Il mio tentativo di risoluzione è il seguente:
nel sistema non si conserva la quantità di moto in quanto nel momento dell'urto agisce una forza esterna impulsiva da parte del vincolo, si conserva però il momento angolare rispetto il centro C dell'asta per cui si ha
$ I * omega=I*omega' + m2*l^2/4*omega'+m1*l/2*vocosTheta $
dubbio che mi viene è: l'unica differenza tra l'impulso del corpo m1 che ha velocità orizzontale e il corpo m2 che colpisce la sbarra ortogonalmente, sta solo nel dover, nel primo caso, considerare la componente ortogonale della velocità? e
$ l/2*m1*v0costheta $ si può scrivere come $ m2*l^2/4*omega'costheta $ ??
continuando, essendo $ I=l^2/12*m $ mi ricavo $ omega' $ che dovrebbe essere il primo punto del problema.
Per il secondo punto, sto consultando un esercizio simile sul libro e dice: l'impulso delle forze vincolari si calcola tramite la variazione della quantità di moto del sistema, e fin qui tutto ok, poi continua dicendo che l'impulso ha due componenti, una lungo la direzione dell'asse di rotazione dovuta all'arresto dei corpi e l'altra ortogonale all'asse di rotazione dovuta all'inizio della rotazione dei corpi. Sto discorso non l'ho capito, o meglio non riesco a comprendere il fenomeno.
Quindi dovrei procedere calcolando la quantità di moto iniziale sull'asse x come somme delle quantità di moto dei due corpi e la quantità di moto finale su y, dopo di che sommando i quadrati delle due quantità di moto e mettendoli sotto radice dovrei avere il valore dell'impulso trasmesso dalla cernira sull'asta durante l'urto
Per gli altri 2 punti ancora non riesco a trovare una soluzione
grazie!
Risposte
Ciao Spark! Ho letto altri tuoi post di recente e credo tu non abbia colto appieno lo spirito del forum.
Quando apri un nuovo topic ci si aspetta che, oltre a riportare in maniera precisa il problema (grazie per questo, molti nemmeno lo fanno
) tu proponga un tentativo di soluzione o che almeno specifichi chiaramente la natura delle difficoltà che ti hanno impedito di giungere ad una soluzione. Ti invito a farlo con questo e tutti i precedenti post: vedrai che otterrai allora risposta a tutti.
Buona giornata!
Quando apri un nuovo topic ci si aspetta che, oltre a riportare in maniera precisa il problema (grazie per questo, molti nemmeno lo fanno
) tu proponga un tentativo di soluzione o che almeno specifichi chiaramente la natura delle difficoltà che ti hanno impedito di giungere ad una soluzione. Ti invito a farlo con questo e tutti i precedenti post: vedrai che otterrai allora risposta a tutti.Buona giornata!
ok grazie, chiedo scusa ed edito subito il messaggio!
"Spark_94":
si conserva però il momento angolare rispetto il centro C dell'asta per cui si ha
$I⋅ω=I⋅ω'+m_2⋅l^2/4⋅ω'+m_1 l/2⋅v_o \cos\theta$
secondo me non è corretto infatti prima dell'urto devi inserire il momento angolare anche delle due masse $m_1$ e $m_2$ (qui c'entra l'angolo $\theta$) perché fanno parte del sistema, dopo l'urto invece si legano all'asta quindi il momento angolare sarà $I'\omega'$ dove $I'$ è il momento d'inerzia del sistema $\mbox{asta} +m_1+m_2$
quindi, se non ho capito male, a primo membro dovrei scrivere quello che c'è a secondo membro, che contiene i momenti angolari delle due masse, però sostituendo $ omega' $ con le velocità angolari di ciascun corpo, nel caso di m1 si considera l'ortogonale, i secondi membri li lascio così tranne l'ultimo relativo a m1 a cui andrò a moltiplicare $ omega' $ anzi che v0costheta perchè ovviamente una volta attaccato all'asta la velocità sarà quella del sistema asta più corpi
io farei così:
$I\omega_0+m_1v_1\frac{L}{2}\cos\theta+m_2v_2\frac{L}{2}=I'\omega '$
dove $I=\frac{1}{12}mL^2$ e $I'=\frac{1}{12}mL^2+m_1(\frac{L}{2})^2+m_2(\frac{L}{2})^2$
($\omega'$ è la velocità angolare del sistema dopo l'urto)
$I\omega_0+m_1v_1\frac{L}{2}\cos\theta+m_2v_2\frac{L}{2}=I'\omega '$
dove $I=\frac{1}{12}mL^2$ e $I'=\frac{1}{12}mL^2+m_1(\frac{L}{2})^2+m_2(\frac{L}{2})^2$
($\omega'$ è la velocità angolare del sistema dopo l'urto)
Si ok, nel messaggio precedente ho dimenticato di eliminare un l/2 al quadrato... comunque si, ho capito. quindi a parte questo primo errore il procedimento fino al calcolo dell'impulso va bene? e per i punti c) e d) sapresti dirmi una strada da seguire? grazie mille!
Per l'impulso devi calcolare la differenza tra la quantità di moto finale e quella iniziale (stando attento al fatto che sono vettori...) per il terzo punto devi fare la stessa cosa considerando le quantità di moto di $m_2$[nota]attento al fatto che quando il corpo è attaccato all'asta la velocità è tangente alla circonferenza che descrive durante la rotazione ed è in modulo pari a $\omega R$ con $R$ raggio di rotazione e $\omega$ velocità angolare (nel tuo caso $R=L/2$ e $\omega=\omega'$)[/nota]
Per l'ultimo punto devi uguagliare l'energia meccanica totale tenendo in considerazione che per determinare l'energia potenziale devi guardare l'altezza del centro di massa
Per l'ultimo punto devi uguagliare l'energia meccanica totale tenendo in considerazione che per determinare l'energia potenziale devi guardare l'altezza del centro di massa
OK chiarissima, grazie mille!
Sprk il tuo problema si chiama bivona? Stavo studiando ma questo esercizio non sono riuscita a farlo in nessun modo.
Ho risolto il punto d
Allora:il momento é uguale alla forza peso per il braccio r che é anche uguale all'inerzia per l'acc. Angolare, ricavi l'acc. (Tieni presente che l'inerzia é quella del sistema dopo l'urto). Adesso considera l'acc in funzione delle spazio. Ovvero l'integrale definito da teta a pgreco/2 di alfa(ACC. Angolare= costante) in dphi= all'integrale da w1( dopo l'urto: il primo punto) a w2 di w in dw. Risolvi e trovi w2!
Allora:il momento é uguale alla forza peso per il braccio r che é anche uguale all'inerzia per l'acc. Angolare, ricavi l'acc. (Tieni presente che l'inerzia é quella del sistema dopo l'urto). Adesso considera l'acc in funzione delle spazio. Ovvero l'integrale definito da teta a pgreco/2 di alfa(ACC. Angolare= costante) in dphi= all'integrale da w1( dopo l'urto: il primo punto) a w2 di w in dw. Risolvi e trovi w2!
Caspita, non pensavo fosse così facile trovare colleghi in giro per i forum
Per il punto 4: è sbagliato considerare l'energia potenziale gravitazionale della massa m1 discorde rispetto all'energia potenziale gravitazionale della massa m2 dato che uno tende a fare ruotare il sistema in un verso e l'altro nell'altro verso?
"vich":
Per il punto 4: è sbagliato considerare l'energia potenziale gravitazionale della massa m1 discorde rispetto all'energia potenziale gravitazionale della massa m2 dato che uno tende a fare ruotare il sistema in un verso e l'altro nell'altro verso?
non stai parlando del momento ma dell'energia potenziale... basta fissare il valore 0 e basarsi su quel valore.
Per determinarla devi considerare tutta la massa concentrata nel centro di massa e vedere la sua altezza rispetto al livello che hai fissato come 0
alla fine m1 è a l/2 cos teta e m2 a -l/2 cos teta cioè le due dustanze dal centro sono una positiva e l'altra negativa, per questo vengono comunque discordi. Corretto?
no, le masse sono diverse, il centro di massa del sistema non coincide con il centro dell'asta
Scusa ma se cambia il centro di massa l'unico fattore che ne risente non è il momento di inerzia totale? Se prendiamo come polo il cm dell'asta le distanze di m1 e m2 da O non sono entrambe l/2??
in poche parole: $1/2Iomega _1^2=1/2Iomega _o^2+m_1g(l/2)cos vartheta -m_2g(l/2)cos vartheta $
in poche parole: $1/2Iomega _1^2=1/2Iomega _o^2+m_1g(l/2)cos vartheta -m_2g(l/2)cos vartheta $
Si, ma non stiamo parlando del momento, la mia risposta si riferiva all'energia potenziale gravitazionale del sistema. Assumi che quando l'asta è nella posizione verticale con la massa maggiore sotto l'energia potenziale sia nulla. Questo significa che quando il centro di massa ha quell'altezza (che è un po' sotto il centro di rotazione) l'energia potenziale vale 0. Quando l'asta ruota il centro di massa si sarà portato ad un'altezza h rispetto all'altezza che aveva prima e che dipende dall'angolo. L'energia potenziale sarà in tal caso $(\mbox{massa asta}+m_1+m_2)\cdot g\cdot h$ dove $h$ è quella indicata prima
(Puoi risolvere questo punto anche con le formule della cinematica rotazionale)
(Puoi risolvere questo punto anche con le formule della cinematica rotazionale)
Chiaro! Un'altra cosa: se io dovessi calcolarmi il nuovo centro di massa rispetto al centro di rotazione dovrei fare: $ r_(cm)=(m*0+m_1*l/2+m_2l/2)/(m+m_1+m_2)=l/2(m_1+m_2)/(m+m_1+m_2) $ e di conseguenza l'altezza sarebbe $ r_(cm)*cosvartheta $ ... $ Delta E_m=0 $
$ 1/2Iomega _1^2=1/2Iomega _0^2+(m+m_1+m_2)g*r_(cm)cosvartheta $
dove $ I=(1/12ml^2+m*r_(cm)^2)+m_1(l/2-r_(cm))^2+m_2(l/2+r_(cm))^2 $
Considerando il fatto che la massa più pesante è nell'estremo superiore.. é giusto?
$ 1/2Iomega _1^2=1/2Iomega _0^2+(m+m_1+m_2)g*r_(cm)cosvartheta $
dove $ I=(1/12ml^2+m*r_(cm)^2)+m_1(l/2-r_(cm))^2+m_2(l/2+r_(cm))^2 $
Considerando il fatto che la massa più pesante è nell'estremo superiore.. é giusto?
"vich":
se io dovessi calcolarmi il nuovo centro di massa rispetto al centro di rotazione dovrei fare:
$r_(cm)=(m*0+m_1*l/2+m_2l/2)/(m+m_1+m_2)=l/2(m_1+m_2)/(m+m_1+m_2)$
no, oltre a fissare l'origine (in questo caso nel centro dell'asta) devi fissare un verso. Conviene scegliere come verso quello della massa maggiore quindi l'ascissa di quella minore sarà negativa (ovviamente perchè si trova dall'altra parte rispetto all'origine):
$r_(cm)=(m*0-m_1*l/2+m_2l/2)/(m+m_1+m_2)=l/2(-m_1+m_2)/(m+m_1+m_2)$
dove $m_2$ e la massa maggiore
(Puoi notare che, nel caso di masse uguali, il centro di massa coiciderebbe con il centro dell'asta)
guardando il testo ho notato che la massa maggiore è $m_1$ quindi conviene prendere come livello di energia potenziale nulla quello in cui l'asta è orizzontale
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