Un'altro esercizietto di mecc. razionale
Risalve a tutti posto un'altro esercizio da discutere con voi
Una lamina rigida piana, configurata a segmento parabolico, omogenea pesante di massa $m$, è libera di ruotare attorno all'asse $z$ verticale (figura--->http://xoomer.alice.it/ing.matematici/lamina_parabola.jpg). Supposto che l'equazione della parabola sia
$z=-y^(2)+2ay\qquad\qquad a>0\qquad\qquad\qquad\qquad$ (1)
scrivere l'equazione di moto della lamina
Allora intanto per trovare la matrice di inerzia ho un dubbio sul momento centrifugo $I_(zy)$
per definizione a parte il segno dovrebbe essere
$I_(zy)=\rho\int_(A)zydA\qquad\qquad\qquad\qquad$ (2)
come $dA$ ho scelto delle fettine parallele all'asse $z$ di area $zdy$, quindi la (2) viene
$I_(zy)=\rho\int_(0)^(2a)(-y^(2)+2ay)^(2)ydy=\frac(16)(15)a^6$
a parte i calcoli per ora và bene? Poi ho un'altra domandina sulla forza centrifuga
Una lamina rigida piana, configurata a segmento parabolico, omogenea pesante di massa $m$, è libera di ruotare attorno all'asse $z$ verticale (figura--->http://xoomer.alice.it/ing.matematici/lamina_parabola.jpg). Supposto che l'equazione della parabola sia
$z=-y^(2)+2ay\qquad\qquad a>0\qquad\qquad\qquad\qquad$ (1)
scrivere l'equazione di moto della lamina
Allora intanto per trovare la matrice di inerzia ho un dubbio sul momento centrifugo $I_(zy)$
per definizione a parte il segno dovrebbe essere
$I_(zy)=\rho\int_(A)zydA\qquad\qquad\qquad\qquad$ (2)
come $dA$ ho scelto delle fettine parallele all'asse $z$ di area $zdy$, quindi la (2) viene
$I_(zy)=\rho\int_(0)^(2a)(-y^(2)+2ay)^(2)ydy=\frac(16)(15)a^6$
a parte i calcoli per ora và bene? Poi ho un'altra domandina sulla forza centrifuga
Risposte
Che c'entra l'equazione del moto... se non c'è un momento non nullo lungo l'asse z, allora sicuramente si muoverà d'inerzia... ossia, resterà in quiete o alpiù manterrà costante la sua velocità iniziale...
Si è vero però il testo era così, comunque a parte l'equazione del moto secondo te va bene il momento di inerzia?
Beh non ho controllato i conti, ma prima vorrei sapere per bene che cosa vuoi fare e come lo vuoi fare...
facciamo così dai...
facciamo così dai...
Acc.. mi costringi ad uscire allo scoperto . Allora facciamo finta che io non sappia che in realtà si muova di inerzia e voglio calcolare il moto. So che forse non c'è n'è bisogno però volevo capire come scrivere la lagrangiana in questo caso così per avere le idee chiare. Mi trovo nel sistema solidale quindi come mi hai detto per l'altro esercizio esprimo $\omega$ come
$\omega=(p,q,r)$
dove $p$ e $q$ sono nulle in questo caso. L'energia cinetica vale $T=\omega*\sigma(O)\omega$. Per quanto riguarda l'energia potenziale ci sarà il contributo del peso, $V_(p)=mgz_(G)$, più quello della forza centrifuga, $V_(fc)=\frac(1)(2)I_(z)r^2$. Poi da qui scrivo l' equazione di Lagrange.
Per il momento di inerzia non ti chiedo ovviamente di controllare i calcoli (anche perchè li ho fatti fare al derive ) ma solo se secondo te va bene come l'ho tagliato a fettine ed ho impostato l'integrale.
. Allora facciamo finta che io non sappia che in realtà si muova di inerzia e voglio calcolare il moto. So che forse non c'è n'è bisogno però volevo capire come scrivere la lagrangiana in questo caso così per avere le idee chiare. Mi trovo nel sistema solidale quindi come mi hai detto per l'altro esercizio esprimo $\omega$ come$\omega=(p,q,r)$
dove $p$ e $q$ sono nulle in questo caso. L'energia cinetica vale $T=\omega*\sigma(O)\omega$. Per quanto riguarda l'energia potenziale ci sarà il contributo del peso, $V_(p)=mgz_(G)$, più quello della forza centrifuga, $V_(fc)=\frac(1)(2)I_(z)r^2$. Poi da qui scrivo l' equazione di Lagrange.
Per il momento di inerzia non ti chiedo ovviamente di controllare i calcoli (anche perchè li ho fatti fare al derive
) ma solo se secondo te va bene come l'ho tagliato a fettine ed ho impostato l'integrale.
La mia risposta è... perchè scomodare Lagrange per problemini così semplici...
Io avrei piuttosto deto che siccome il momento delle forze esterne rispetto al punto O è diretto come l'asse x, o meglio la componente del momento totale attorno al punto O è nulla, allora l'accelerazione angolare attorno allo stesso asse $z$ è pari a zero e da qui la tesi. In ogni caso basta applicare le equazioni cardinali. Il consiglio che ti do è di applicare sempre fino a che vedi che ti conviene le equazioni cardinali, che amio avviso sono più "sintetiche" ed hanno più senso fisico se così si può dire...
Io avrei piuttosto deto che siccome il momento delle forze esterne rispetto al punto O è diretto come l'asse x, o meglio la componente del momento totale attorno al punto O è nulla, allora l'accelerazione angolare attorno allo stesso asse $z$ è pari a zero e da qui la tesi. In ogni caso basta applicare le equazioni cardinali. Il consiglio che ti do è di applicare sempre fino a che vedi che ti conviene le equazioni cardinali, che amio avviso sono più "sintetiche" ed hanno più senso fisico se così si può dire...
Si si in effetti anche io la penso come te solo che volevo fare Lagrange perchè non sempre mi è chiaro come trovare la lagrangiana, che ''pezzi'' metterci dentro a seconda che mi trovi nel sistema fisso o in quello solidale poi essendo esercizi di meccanica razionale il professore in genere preferisce si usi Lagrange pittosto che le eq. cardinali di norma usate in fisica.
Ad esempio uno dei problemi maggiori che ho è nel capire come le forze apparenti ''vengono viste'' dalla lagrangiana, se non ho capito male quando mi trovo in un sistema fisso fanno parte dell'energia cinetica mentre se uso un sistema solidale vanno nell'energia potenziale
. Sai queste sono cose che ci vengono dette a voce dal prof..forse avrei bisogno di un testo che approfondisca di più..o con qualche esercizio svolto. Cmq grazie per l'interessamento (anche se ancora non mi hai detto se ti piace come ho calcolato il momento 
)
Ad esempio uno dei problemi maggiori che ho è nel capire come le forze apparenti ''vengono viste'' dalla lagrangiana, se non ho capito male quando mi trovo in un sistema fisso fanno parte dell'energia cinetica mentre se uso un sistema solidale vanno nell'energia potenziale
. Sai queste sono cose che ci vengono dette a voce dal prof..forse avrei bisogno di un testo che approfondisca di più..o con qualche esercizio svolto. Cmq grazie per l'interessamento (anche se ancora non mi hai detto se ti piace come ho calcolato il momento )
Vedere così la fisica secondo me è un vero troiaio...
Ma chi se ne frega del sistema di riferimento, scusa... l'energia cinetica sarà sempre e comunque l'energia cinetica... mica vorrai che dipenda dal sistema di riferimento... diverso è il discorso di come calcolarla...
Mi dissocio poi da quelle visioni "metafisiche" del tuo prof, e ti dico che se davvero vuoi calcolarti l'energia cinetica attraverso l'uso di sistemi ausiliari, esiste sempre e comunque il teorema di Kònig generalizzato.
A mio avviso alla fine trovi sempre la stessa cosa, come ti ho detto, cambia solo il modo tramite il quale la calcoli...
Alla fine per la $h-$esima coordinata lagrangiana scrivi:
$d/(dt)[(partialT)/(partialdotq_h)]-(partialT)/(partialq_h)+(partialU)/(partialq)=Q_h=sum_(i=1)^mvecF_icdot(partialOP_i)/(partialq_h)+sum_(j=1)^nvecM_jcdot(partialepsilon_j)/(partialq_h)$
Già così mi sembra una formula "magica", poi se fai ancora più intrugli mi sa che le probabilità di non capire nulla di quello che succede è prossima all'unità...
Ma chi se ne frega del sistema di riferimento, scusa... l'energia cinetica sarà sempre e comunque l'energia cinetica... mica vorrai che dipenda dal sistema di riferimento... diverso è il discorso di come calcolarla...
Mi dissocio poi da quelle visioni "metafisiche" del tuo prof, e ti dico che se davvero vuoi calcolarti l'energia cinetica attraverso l'uso di sistemi ausiliari, esiste sempre e comunque il teorema di Kònig generalizzato.
A mio avviso alla fine trovi sempre la stessa cosa, come ti ho detto, cambia solo il modo tramite il quale la calcoli...
Alla fine per la $h-$esima coordinata lagrangiana scrivi:
$d/(dt)[(partialT)/(partialdotq_h)]-(partialT)/(partialq_h)+(partialU)/(partialq)=Q_h=sum_(i=1)^mvecF_icdot(partialOP_i)/(partialq_h)+sum_(j=1)^nvecM_jcdot(partialepsilon_j)/(partialq_h)$
Già così mi sembra una formula "magica", poi se fai ancora più intrugli mi sa che le probabilità di non capire nulla di quello che succede è prossima all'unità...
Ah quasi dimenticavo... si mi sembra corretto il modo con cui calcoli il momento centrifugo, anche se io, a meno che non fosse espressamente richiesto, mai l'avrei calcolato...
Bono! insomma EQ. CARDINALI 1, LAGRANGIANA 0. Bè però se l'hanno inventata avrà una sua utilità (spero). Grazie ciccio alla prox!
Certo ha svariati vantaggi... per esempio quando siamo in presenza di molto corpi e di moti gradi di libertà conviene spesso utilizzare le equazioni di Lagrange. Altro fatto ottimo è che nello studio delle vibrazioni le matrici che vengon fuori sono simmetriche. Poi c'è da dire che questo metodo, in realtà, considera solo le forze esterne e non quelle interne; insomma conserva in sè tutti i pregi dei lavori virtuali, cha altro non sono il secondo membro dell'equazione famigerata...
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