Una scatola sopra l'altra: attrito
Ciao a tutti!
C'è un problema che mi disturba da diverso tempo.
Abbiamo due scatole quadrate, una sopra l'altra, come in figura:
Supponiamo che non ci sia attrito tra la scatola grande e il pavimento. Supponiamo di spingere la scatola sotto da sinistra verso destra con forza orizzontale costante [tex]F[/tex]. L'equazione del moto della scatola sotto, per quello che riesco a capire, deve essere
[tex]F = M \cdot a_M[/tex],
dove [tex]a_M[/tex] è l'accelerazione della scatola sotto. La scatola sopra rimarrà ferma rispetto al pavimento e a un certo punto cadrà.
Se le due scatole sono incollate allora formano un unico corpo e l'equazione del moto di questo corpo sarà
[tex]F = (M + m) \cdot a_{M+m}[/tex].
Ma consideriamo una situazione intermedia, in cui tra le due scatole c'è un attrito non troppo grande né troppo piccolo. Quale sarà l'equazione del moto della scatola sotto in questo caso? E' chiaro che finché l'attrito è tale da mantenere la scatola sopra ferma rispetto a quella sotto durante l'applicazione della forza [tex]F[/tex] le due scatole sono assimilabili ad un unico corpo (?), ma questo dovrebbe valere anche se quella sopra si sposta.
Quindi, l'unica spiegazione ragionevole che riesco a darmi è la seguente: l'attrito tra le due scatole è del tutto ininfluente, e qualsiasi esso sia se applico una forza alla massa sotto la sua equazione del moto sarà [tex]F=Ma_M[/tex], e quella sopra rimarrà ferma rispetto al pavimento fino a cadere. Questo perché sulla scatola sopra non agisce alcuna forza (a parte la forza di gravità).
Questa conclusione è corretta? Da un lato non mi convince per niente (perché c'è un movimento relativo a cui la forza di attrito si deve opporre), ma aspetto un vostro parere.
Per far capire la natura del mio dubbio, aggiungo una cosa: cosa succede se abbiamo l'analoga situazione con tre scatole?
C'è un problema che mi disturba da diverso tempo.
Abbiamo due scatole quadrate, una sopra l'altra, come in figura:
Supponiamo che non ci sia attrito tra la scatola grande e il pavimento. Supponiamo di spingere la scatola sotto da sinistra verso destra con forza orizzontale costante [tex]F[/tex]. L'equazione del moto della scatola sotto, per quello che riesco a capire, deve essere
[tex]F = M \cdot a_M[/tex],
dove [tex]a_M[/tex] è l'accelerazione della scatola sotto. La scatola sopra rimarrà ferma rispetto al pavimento e a un certo punto cadrà.
Se le due scatole sono incollate allora formano un unico corpo e l'equazione del moto di questo corpo sarà
[tex]F = (M + m) \cdot a_{M+m}[/tex].
Ma consideriamo una situazione intermedia, in cui tra le due scatole c'è un attrito non troppo grande né troppo piccolo. Quale sarà l'equazione del moto della scatola sotto in questo caso? E' chiaro che finché l'attrito è tale da mantenere la scatola sopra ferma rispetto a quella sotto durante l'applicazione della forza [tex]F[/tex] le due scatole sono assimilabili ad un unico corpo (?), ma questo dovrebbe valere anche se quella sopra si sposta.
Quindi, l'unica spiegazione ragionevole che riesco a darmi è la seguente: l'attrito tra le due scatole è del tutto ininfluente, e qualsiasi esso sia se applico una forza alla massa sotto la sua equazione del moto sarà [tex]F=Ma_M[/tex], e quella sopra rimarrà ferma rispetto al pavimento fino a cadere. Questo perché sulla scatola sopra non agisce alcuna forza (a parte la forza di gravità).
Questa conclusione è corretta? Da un lato non mi convince per niente (perché c'è un movimento relativo a cui la forza di attrito si deve opporre), ma aspetto un vostro parere.
Per far capire la natura del mio dubbio, aggiungo una cosa: cosa succede se abbiamo l'analoga situazione con tre scatole?
Risposte
Ciao.
Parere personale: se la scatola $m$ sta ferma per attrito statico, il sistema si comporta come un'unica massa $(M+m)$ quindi
entrambe accelerano con $a=F/(M+m)$ (sto considerando componenti orizzontali verso destra). Allo stesso risultato si arriva
in altro modo: la scatola $m$ sta ferma rispetto ad $M$ perchè l'attrito statico $f_S$ (da parte di $M$) che la spinge verso destra le imprime la stessa accelerazione $a$ della scatola $M$, soggetta a questo punto alla $F$ verso destra ed a una forza $-f_S$ (verso
sinistra) da parte della scatola $m$ ; le due equazioni per le due scatole a questo punto sono: [tex]\left\{\begin{matrix}
f_S=ma\\
F-f_S=Ma\end{matrix}\right.[/tex], sostituendo si arriva ad $a=F/(M+m)$ .
Se l'attrito è insufficiente a "incollare" le scatole, $M$ esercita una forza $f_D$ su $m$, che accelera verso destra con $a_m=(f_D)/m$,
mentre $m$ esercita $-f_D$ su $M$, che sottoposta ad una forza risultante $F-f_D$ avrà un'accelerazione $a_M=(F-f_D)/M$.
Cioè ogni scatola spinge l'altra per mezzo dell'attrito, statico o dinamico che sia, quindi l'attrito non è ininfluente. Spero di essermi spiegato, non ho ancora capito come pubblicare disegni, sarebbe stato più facile.
Parere personale: se la scatola $m$ sta ferma per attrito statico, il sistema si comporta come un'unica massa $(M+m)$ quindi
entrambe accelerano con $a=F/(M+m)$ (sto considerando componenti orizzontali verso destra). Allo stesso risultato si arriva
in altro modo: la scatola $m$ sta ferma rispetto ad $M$ perchè l'attrito statico $f_S$ (da parte di $M$) che la spinge verso destra le imprime la stessa accelerazione $a$ della scatola $M$, soggetta a questo punto alla $F$ verso destra ed a una forza $-f_S$ (verso
sinistra) da parte della scatola $m$ ; le due equazioni per le due scatole a questo punto sono: [tex]\left\{\begin{matrix}
f_S=ma\\
F-f_S=Ma\end{matrix}\right.[/tex], sostituendo si arriva ad $a=F/(M+m)$ .
Se l'attrito è insufficiente a "incollare" le scatole, $M$ esercita una forza $f_D$ su $m$, che accelera verso destra con $a_m=(f_D)/m$,
mentre $m$ esercita $-f_D$ su $M$, che sottoposta ad una forza risultante $F-f_D$ avrà un'accelerazione $a_M=(F-f_D)/M$.
Cioè ogni scatola spinge l'altra per mezzo dell'attrito, statico o dinamico che sia, quindi l'attrito non è ininfluente. Spero di essermi spiegato, non ho ancora capito come pubblicare disegni, sarebbe stato più facile.
Ciao Martino, innanzitutto si verifica facilmente sperimentalmente che se provi a mettere due scatole su un pavimento di marmo bagnato e ad applicare una certa forza alla scatola $b$, se la forza non è troppo grande, le scatole $a$ e $b$ si muovono insieme, dunque non è vero che "La scatola sopra rimarrà ferma rispetto al pavimento e a un certo punto cadrà", come hai detto tu.
@Martino
Non ho capito bene il dubbio preciso.
La descrizione di Palliit, mi pare corretta comunque.
Il problema è molto simile a questo qui.
Non ho capito bene il dubbio preciso.
La descrizione di Palliit, mi pare corretta comunque.
Il problema è molto simile a questo qui.
Ne approfitto per fare la prima esperienza di inserimento di un'immagine su questo forum, chiedo venia in anticipo se non sarà il massimo della chiarezza.
La situazione che ho descritto nel post precedente dovrebbe essere questa (in nero le forze agenti su $M$, in blu quella d'attrito, statico o dinamico secondo i casi, agente su $m$):
Buona giornata a tutti.
La situazione che ho descritto nel post precedente dovrebbe essere questa (in nero le forze agenti su $M$, in blu quella d'attrito, statico o dinamico secondo i casi, agente su $m$):
Buona giornata a tutti.
Grazie a tutti per le risposte.
Alcune osservazioni.
@Pallit: a quanto capisco, tu fai un'ipotesi iniziale. Dici: se l'attrito è sufficiente a incollare le scatole allora [equazioni con attrito statico e accelerazione comune], altrimenti [equazioni con attrito dinamico e accelerazioni distinte]. Naturalmente quello che discrimina è l'intensità della forza F. Il problema è che leggendo le equazioni che scrivi non riesco a rispondere alla seguente domanda: qual è la massima intensità della forza F affinché la scatola sopra stia ferma rispetto a quella sotto? E' forse proprio [tex]f_S[/tex]?
Comunque per capire meglio i miei dubbi leggi sotto quello che ho scritto a Faussone
Immaginati diciotto scatole, una sopra l'altra, con attrito ad ogni superficie di contatto. Se spingo la scatola sotto cosa succede? Generalizzo semplicemente il ragionamento di Palliit distinguendo [tex]2^{17}[/tex] casi? (Per esempio: assumo che la scatola due stia ferma rispetto alla scatola uno, che la scatola tre si muova rispetto alla due, eccetera). Mi sembra strano. Sarebbe sufficiente chiarirmi la situazione con solo tre scatole.
In altre parole: possibile che non posso dedurre i movimenti mutui delle scatole solo ragionando con le grandezze [tex]F,m,M,\mu_S,\mu_D[/tex]? Devo per forza fare ipotesi (come ha fatto Palliit, sul movimento mutuo) prima di scrivere le equazioni?
Mi rendo conto che probabilmente c'è qualche cosa di concettuale che non capisco, quindi mi scuso se le mie domande risultano ingenue.
Alcune osservazioni.
@Pallit: a quanto capisco, tu fai un'ipotesi iniziale. Dici: se l'attrito è sufficiente a incollare le scatole allora [equazioni con attrito statico e accelerazione comune], altrimenti [equazioni con attrito dinamico e accelerazioni distinte]. Naturalmente quello che discrimina è l'intensità della forza F. Il problema è che leggendo le equazioni che scrivi non riesco a rispondere alla seguente domanda: qual è la massima intensità della forza F affinché la scatola sopra stia ferma rispetto a quella sotto? E' forse proprio [tex]f_S[/tex]?
Comunque per capire meglio i miei dubbi leggi sotto quello che ho scritto a Faussone
"lisdap":Lo so che quella mia osservazione è contraria alle prove sperimentali, ma era l'unica osservazione che non mi risultasse completamente assurda
Ciao Martino, innanzitutto si verifica facilmente sperimentalmente che se provi a mettere due scatole su un pavimento di marmo bagnato e ad applicare una certa forza alla scatola $b$, se la forza non è troppo grande, le scatole $a$ e $b$ si muovono insieme, dunque non è vero che "La scatola sopra rimarrà ferma rispetto al pavimento e a un certo punto cadrà", come hai detto tu.
"Faussone":Forse non sono capace di esprimere il mio dubbio con parole chiare, per cui faccio un'osservazione che mi turba, sperando che il mio dubbio si capisca.
Non ho capito bene il dubbio preciso.
Immaginati diciotto scatole, una sopra l'altra, con attrito ad ogni superficie di contatto. Se spingo la scatola sotto cosa succede? Generalizzo semplicemente il ragionamento di Palliit distinguendo [tex]2^{17}[/tex] casi? (Per esempio: assumo che la scatola due stia ferma rispetto alla scatola uno, che la scatola tre si muova rispetto alla due, eccetera). Mi sembra strano. Sarebbe sufficiente chiarirmi la situazione con solo tre scatole.
In altre parole: possibile che non posso dedurre i movimenti mutui delle scatole solo ragionando con le grandezze [tex]F,m,M,\mu_S,\mu_D[/tex]? Devo per forza fare ipotesi (come ha fatto Palliit, sul movimento mutuo) prima di scrivere le equazioni?
Mi rendo conto che probabilmente c'è qualche cosa di concettuale che non capisco, quindi mi scuso se le mie domande risultano ingenue.
"Martino":
qual è la massima intensità della forza F affinché la scatola sopra stia ferma rispetto a quella sotto? E' forse proprio [tex]f_S[/tex]?
Ciao, sono di opinione contraria: se sei d'accordo, come mi pare, con la mia analisi di prima, nel caso statico è__$ma+Ma=F$__; se metti $F=f_S$, tenendo presente che $ma=f_S$ arrivi all'assurdo $Ma=0$.
Del resto, l'attrito statico ha un modulo variabile a seconda della forza che tende a sollecitare il moto.
Diciamo che $F_S$ sia il suo valore estremo, allora quando $F=F_S+Ma$ si è al limite oltre il quale le masse cessano di comportarsi come solidali.
Mettendo, nel caso che decreta il limite del comportamento statico, __$F_S=\mu_S*m*g$__(considerando che il piano è orizzontale) allora hai:
$\mu_S*m*g=m*a$__, cioè__$a=\mu_S*g$__dovrebbe essere l'accelerazione superata la quale la massa $m$ dovrebbe cominciare a scivolare sull'altra. La forza corrispondente dovrebbe allora essere $F=(M+m)a=(M+m)\mu_S*g$.
Almeno mi pare, e salvo ovviamente errori.
@Martino: rispetto ai dubbi che esponi - se li ho compresi -, la mia opinione (ma ovviamente ne aspetto di più autorevoli) è che non ci siano alternative ad un'analisi separata dei casi (statico / dinamico).
Il modello che descrive l'attrito $f$ in relazione alla forza applicata $F$ (che assumo parallela alla superficie di contatto, e mi sto ovviamente riferendo ai moduli) è una funzione definita a tratti e per di più con una discontinuità, non saprei come tenerne conto nei calcoli in modo diverso da come ho fatto. Con aumento vertiginoso di casistiche differenti all'aumentare del numero di corpi a contatto, come hai prospettato.
Almeno così mi sembra, se mi sbaglio sono curioso di sapere dove. Ciao!
Il modello che descrive l'attrito $f$ in relazione alla forza applicata $F$ (che assumo parallela alla superficie di contatto, e mi sto ovviamente riferendo ai moduli) è una funzione definita a tratti e per di più con una discontinuità, non saprei come tenerne conto nei calcoli in modo diverso da come ho fatto. Con aumento vertiginoso di casistiche differenti all'aumentare del numero di corpi a contatto, come hai prospettato.
Almeno così mi sembra, se mi sbaglio sono curioso di sapere dove. Ciao!
"Martino":
In altre parole: possibile che non posso dedurre i movimenti mutui delle scatole solo ragionando con le grandezze [tex]F,m,M,\mu_S,\mu_D[/tex]? Devo per forza fare ipotesi (come ha fatto Palliit, sul movimento mutuo) prima di scrivere le equazioni?
Si che puoi dedurre il comportamento (relativo tra scatola e scatola) statico o dinamico solo ragionando con le
grandezze [tex]F,m,M,\mu_S,\mu_D[/tex]. Devi seguire una sorta di diagramma di flusso:
dovrai verificare un certo numero di disequazioni, dopo ogni disequazione ci sarà un If..
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