Una proprieta' della parabola
Dimostrare che la tangente in un punto P di
una parabola,di cui siano F il fuoco e d la
direttrice,e' la perpendicolare alla retta HF
dove H e' il piede della perpendicolare condotta
per P alla direttrice.
Utilizzare ,per la dimostrazione,la sola definizione
geometrica di parabola (come luogo dei punti del piano
equidistanti da un punto e da una retta dati).
karl.
Modificato da - karl il 10/04/2004 21:20:59
una parabola,di cui siano F il fuoco e d la
direttrice,e' la perpendicolare alla retta HF
dove H e' il piede della perpendicolare condotta
per P alla direttrice.
Utilizzare ,per la dimostrazione,la sola definizione
geometrica di parabola (come luogo dei punti del piano
equidistanti da un punto e da una retta dati).
karl.
Modificato da - karl il 10/04/2004 21:20:59
Risposte
vediamo se ho afferrato il problema:
[1] NON conosco l'equazione della parabola
[2] NON conosco la forma della parabola
[3] NON so nemmeno il nome della parabola
[4] devo studiare il luogo dei punti equidistanti da un fuoco F e da una direttrice d,
cominciando ad occuparmi della direzione della tangente al luogo in un suo punto P.
[5] se è così, disegno (come da problema originale) il triangolo FPH, e, al suo interno,
un punto P', a piccola distanza "dl" da P;
[6] traccio anche la retta t per P e P'.
[7] chiamo alfa l'angolo tra t e il segm. FP e beta quello tra t e il segm HP.
[8 ] noto che P' si è avvicinato sia ad H (della distanza dl*cos(beta),
[9] che ad F (della distanza dl*cos(alfa) meno infinitesimi di ordine superiore);
[10] ne deduco che i due avvicinamenti saranno uguali (mantenendo perciò la
caratteristica del luogo richiesto) se alfa = beta.
[11] t è quindi la bisettrice dell'angolo FPH e, come tale, è normale a FH.
[12] simpatico osservare, prolungando HP verso l'alto, l'eguaglianza di due angoli
che dimostra la proprietà "ottica" della curva in esame,
[13] curva di cui, a questo momento, ancora non conosco nè l'equazione, nè la forma,
nè il nome, ma solo un microscopico arco (rettilineo o quasi) nell'intorno di P.
[14] tony
*** ERRATA CORRIGE ***
nel testo dico:
"... P' si è avvicinato sia ad H ..."
va invece letto correttamente
"... P' si è avvicinato sia alla retta d ..."
*Edited by - tony on 11/04/2004 16:41:23
*** MODIFICA TIPOGRAFICA ***
senza alterare il contenuto, numero i paragrafi per facilitare eventuali contestazioni.
*Edited by - tony on 12/04/2004 01:16:33
*Edited by - tony on 12/04/2004 01:19:06
[1] NON conosco l'equazione della parabola
[2] NON conosco la forma della parabola
[3] NON so nemmeno il nome della parabola
[4] devo studiare il luogo dei punti equidistanti da un fuoco F e da una direttrice d,
cominciando ad occuparmi della direzione della tangente al luogo in un suo punto P.
[5] se è così, disegno (come da problema originale) il triangolo FPH, e, al suo interno,
un punto P', a piccola distanza "dl" da P;
[6] traccio anche la retta t per P e P'.
[7] chiamo alfa l'angolo tra t e il segm. FP e beta quello tra t e il segm HP.
[8 ] noto che P' si è avvicinato sia ad H (della distanza dl*cos(beta),
[9] che ad F (della distanza dl*cos(alfa) meno infinitesimi di ordine superiore);
[10] ne deduco che i due avvicinamenti saranno uguali (mantenendo perciò la
caratteristica del luogo richiesto) se alfa = beta.
[11] t è quindi la bisettrice dell'angolo FPH e, come tale, è normale a FH.
[12] simpatico osservare, prolungando HP verso l'alto, l'eguaglianza di due angoli
che dimostra la proprietà "ottica" della curva in esame,
[13] curva di cui, a questo momento, ancora non conosco nè l'equazione, nè la forma,
nè il nome, ma solo un microscopico arco (rettilineo o quasi) nell'intorno di P.
[14] tony
*** ERRATA CORRIGE ***
nel testo dico:
"... P' si è avvicinato sia ad H ..."
va invece letto correttamente
"... P' si è avvicinato sia alla retta d ..."
*Edited by - tony on 11/04/2004 16:41:23
*** MODIFICA TIPOGRAFICA ***
senza alterare il contenuto, numero i paragrafi per facilitare eventuali contestazioni.
*Edited by - tony on 12/04/2004 01:16:33
*Edited by - tony on 12/04/2004 01:19:06
La dimostrazione di Tony non mi convince.
Io avrei trovato questa:
sia a·x^2 + b·x + c una generica parabola
non perderemo di generalità se facciamo coincidere l'asse principale della parabola con le y
dunque mediante traslazione x=X-b/2a otteniamo ax^2-d/4a dove d è la delta della parabola.
Ebbene il coefficiente angolare della retta tangente è banalmente 2ax il coefficiente angolare della retta HF sarà data (dy/dx) dalla distanza fuoco-direttrice= (1-d+1+d)/4a=1/2a fratto delta(x)=0-x dunque -1/2ax
Per la nota proprietà della perpendicolarietà delle rette: -1/2ax * 2ax = -1 è dimostrata la tesi.
Io avrei trovato questa:
sia a·x^2 + b·x + c una generica parabola
non perderemo di generalità se facciamo coincidere l'asse principale della parabola con le y
dunque mediante traslazione x=X-b/2a otteniamo ax^2-d/4a dove d è la delta della parabola.
Ebbene il coefficiente angolare della retta tangente è banalmente 2ax il coefficiente angolare della retta HF sarà data (dy/dx) dalla distanza fuoco-direttrice= (1-d+1+d)/4a=1/2a fratto delta(x)=0-x dunque -1/2ax
Per la nota proprietà della perpendicolarietà delle rette: -1/2ax * 2ax = -1 è dimostrata la tesi.
Grazie a Pachito ed a Tony per la pertinente
partecipazione.Una soluzione elementare del quesito
puo' essere questa.
Conduciamo per P la perp. t ad HF (come indicato dal testo)
ed osserviamo che ,essendo PF=PH, t risulta essere l'asse
di HF.
Sia ora Q un qualsiasi altro punto di t e di Q sia K
la proiezione (ortogonale) sulla direttrice.
Risulta QF=QH perche' Q sta sull'asse;QH>QK perche QH e'
ipotenusa del triangolo rettangolo QKH.
Allora QF>QK e quindi Q non appartiene alla parabola e
la retta t ,avendo in comune con la parabola il solo
punto P,e' la tangente richiesta.
karl.
Modificato da - karl il 11/04/2004 19:47:06
partecipazione.Una soluzione elementare del quesito
puo' essere questa.
Conduciamo per P la perp. t ad HF (come indicato dal testo)
ed osserviamo che ,essendo PF=PH, t risulta essere l'asse
di HF.
Sia ora Q un qualsiasi altro punto di t e di Q sia K
la proiezione (ortogonale) sulla direttrice.
Risulta QF=QH perche' Q sta sull'asse;QH>QK perche QH e'
ipotenusa del triangolo rettangolo QKH.
Allora QF>QK e quindi Q non appartiene alla parabola e
la retta t ,avendo in comune con la parabola il solo
punto P,e' la tangente richiesta.
karl.
Modificato da - karl il 11/04/2004 19:47:06
*quote:
La dimostrazione di Tony non mi convince. [Pachito]
sempre lieto e stimolato dalle contestazioni, ho numerato i paragrafi per facilitarle.
noto che, alla vers. che avevi visto tu, ho applicato la modifica (secondo me poco
rilevante) che appare nell'errata corrige.
tony
*Edited by - tony on 12/04/2004 01:26:45
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