Una lattina di birra in treno

[axpgn]

Consider a can of beer.
Assuming the can is a right circular cylinder, it is known that the center of gravity ($CG$) is at its lowest when it coincides with the top of the liquid in the can.
However, riding on British Rail made me wonder what level of fluid in the can would make the can maximally stable.
We can measure the stability as the energy required to raise the $CG$. from its position when the can is vertical, to its position when the $CG$ is just above the point of support of a tilted can.
When is this position maximized?
For standardization, let the can have radius $R$, height $H$, mass $M$, and let it contain mass $m$ of liquid when full.

DAVID SINGMASTER

Nella soluzione si assume che "the thickness of the walls of the can to be negligible"


Cordialmente, Alex

[Faussone]

Molto carino come problema, anzi direi come quesito.

Mi incuriosisce, ma non so se e quando riesco a mettermici, se qualcuno risponde nel frattempo leggerò con interesse.

[RenzoDF]

Beh, detta $x$ l'altezza di riempimento della lattina, separato il volume del liquido inclinato nella somma di quello del cilindro di altezza $x-R\tan\theta$ e del tronco cilindrico di altezza $R\tan\theta$ [nota]$h_m=0, h_M=2R\tan\theta$[/nota], ricordando che il baricentro di quest'ultimo viene a trovarsi, considerando il cerchio base, a \(R/4\) dal suo centro e a \((5R\tan\theta)/8\) sulla sua perpendicolare [nota]

Per la prima coordinata sfruttando il seguente risultato


mentre per la seconda



... anche se non capisco perché WolframAlpha non semplifichi quella radice.

[/nota], non dovrebbe essere particolarmente difficile, no?

[moccidentale]

.

[axpgn]

In crescendo!

La soluzione che ho consta di 4 pagine, almeno una quindicina di equazioni e un imprecisato numero di simboli
Non so se avrò la forza di postarla comunque, se volete, il risultato ve lo scrivo subito


Cordialmente, Alex


P.S.: Bellissimo disegno

[moccidentale]

.

[Shackle]

Assuming the can is a right circular cylinder, it is known that the center of gravity (CG) is at its lowest when it coincides with the top of the liquid in the can.

Spiegatemi questa frase innanzitutto, perché due sono le cose : o non l’ho capita (per incipiente demenza senile) , oppure é sbagliata. La traduzione letterale della seconda parte è :

É noto che il centro di gravità CG è nella posizione più bassa quando coincide con la cima del liquido nel barattolo.


Be’, mi sembra che il CG non possa coincidere con la cima del liquido nel barattolo. Quel “it coincides” vuol forse dire che è la superficie della birra ad essere in contatto con la base superiore del barattolo? Cioé il barattolo è full , e la massa della birra è $m$ ? Fatemi sapere.

[RenzoDF]

"sellacollesella":... io ci provo,...

Complimenti, Bel Lavoro! ... vai avanti, che attendiamo tutti i tuoi sviluppi

[axpgn]

@Shackle
Il $CG$ di una lattina di birra varia in funzione della quantità di liquido contenuto in essa ed in generale l'altezza del $CG$ non coincide con l'altezza del liquido; ma quando questo accade allora l'altezza del $CG$ assume il suo valore minimo.
Se non ricordo male, nella sezione giochi c'è una discussione a riguardo (trovata)

"sellacollesella":Urca! Che cos'è? Il manuale della NASA?

Eh eh, gente seria quella, mica come me

"sellacollesella":Se possibile, nascondilo, che prossimamente (stasera, domani o mai hahaha) vorrei provare.

Aspetto ancora anzi mi impegno a scriverla per bene (non so quanto ci metterò - per inciso, [strike]come si scrive la tilde sopra una lettera? E come si mettono le lettere sotto scritture come $max, min$? In MathJax però non in Latex[/strike] Trovato )


Cordialmente, Alex

[Shackle]

@Shackle
Il CG di una lattina di birra varia in funzione della quantità di liquido contenuto in essa ed in generale l'altezza del CG non coincide con l'altezza del liquido; ma quando questo accade allora l'altezza del CG assume il suo valore minimo.

Quindi qui si parla del CG complessivo, del sistema lattina+birra. Un po’ più di chiarezza nel testo mi sarebbe piaciuta.

[axpgn]

È il testo originale, parola per parola; non l'ho tradotto proprio per evitare fraintendimenti, sorry

[moccidentale]

.

[axpgn]

Mi fai paura!

[moccidentale]

.

[axpgn]

[ot]Beh, io di biscotti ne ho tanti ma non so se ti piacciono [/ot]

[RenzoDF]

"sellacollesella":... quindi spero vivamente che non servano!

Servono, servono ... non vorrai mica mollare l'osso proprio adesso.

Ad ogni modo, chapeau sellacollesella, per fortuna sei arrivato tu, ... io, sbagliando, l'avevo vista molto più semplice.

[axpgn]

Ce l'ho fatta! (a trascriverla )

A fluid level of [size=150]$1.094R$[/size], where R is the radius of the can, would make a standard beer can maximally stable.
Here we assume the thickness of the walls of the can to be negligible.

Let $x$ be the level of the fluid in the upright can (see Fig.2).



Then, the altitude of the $CG$ of the (upright) can is

$(1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y_1(x)=(MH^2+mx^2)/(2(MH+mx))$

Next we calculate the location of the $CG$ of a tilted can whose fluid level was $x$ when the can was in the upright position. The angle of tilt of the can is $theta$ (see Fig.3).



The first step is to calculate the $CG$ of the fluid mass in the tilted can.
This is done by considering rectangular slices of fluid that are at a distance $r$ from the axis of symmetry of the can (see Fig.2). Hence, the height of the $r$-slice of fluid is $x+rtantheta$ and its widht is $2sqrt(R^2-r^2)$.
Thus, the area of the $r$-slice is $2(x+rtantheta)sqrt(R^2-r^2)$ and its volume is $2(x+rtantheta)sqrt(R^2-r^2)dr$.

The $(xi,eta)$ coordinates of the $CG$ of the $r$-slice are $xi=r, eta=1/2(x+rtantheta)$ and therefore the $(xi,eta)$ coordinates of the $CG$ of the fluid are

$(2)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \bar(xi)=2/(piR^2x) int_(-R)^R (x+rtantheta)rsqrt(R^2-r^2)dr=(R^2tantheta)/(4x)$

$(3)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \bar(eta)=2/(piR^2x) int_(-R)^R (x+rtantheta)^2sqrt(R^2-r^2)dr=(4x^2+R^2tantheta)/(8x)$

respectively.

The $(xi,eta)$ coordinates of the $CG$ of the empty can (of mass $M$) are $(0, H/2)$, and hence, in view of $(2)$ and $(3)$, the $(xi,eta)$ coordinates of the $CG$ of the partially filled can are

$(4)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \tildexi=(mR^2tantheta)/(4(MH+mx))$


$(5)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \tildeeta=(4(MH^2+mx^2)+mR^2tan^2theta)/(8(MH+mx))$.

Let $y_2(x, theta)$ denote the altitude of the $CG$ of the partially filled can (see Fig.2).
If the $CG$ of the partially can is directly above the point of support, then $y_2costheta=\tildeeta$ and $y_2sintheta=R-\tildexi$.
Thus the altitude is given by

$(6)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y_2=(R-\tildexi)/(sintheta)=R/(sintheta)[1-(mRtantheta)/(4(MH+mx))]$,

where $x$ and $theta$ are related by the costraint

$(7)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ tantheta=(R-\tildexi)/(tildeeta)=2R(4(MH+mx)-mRtantheta)/(4(MH^2+mx^2)+mR^2tan^2theta)$.

Next we introduce the dimensionless problem parameters $mu dot= M/m (\text(<<)1)$ and $h dot= H/R$, and we turn $x, y_1$ and $y_2$ into dimensionless variables by scaling each by $R$.
Also, we let $z=tantheta$.

In dimensionless form, $(1), (6)$ and $(7)$ become

$(8)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y_1=(muh^2+x^2)/(2(muh+x))$

$(9)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y_2=sqrt(1+z^2)/z[1-z/(4(mh+x))]$,

$(10)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ z=2(4(mh+x)-z)/(4(mh^2+x^2)+z^2)$,

respectively.

We are interested in the solution of the optimization problem

$(11)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ max_(x,z) {y_2-y_1}$,

subject to $(10)$.
Note that the above analysis applies provided the optimal $x,z$ satisfy the condition

$(12)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ z<=x<=h-z$.

If it so happens that the problem parameters $mu, h$ eventually yeld an optimal solution $x^*, y^*$ of the constrained optimization problem such that $(12)$ does not hold, i.e., if the range of validity of our calculation is then violated, we must separately consider in our rederivation of $(2), (3)$ the extrme cases of low fluid level $xh-z$.

Equation $(10)$ is a quadratic equation in $x$, namely

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ zx^2-2x+1/4[z^3+2(1+2muh^2)z-8muh]=0$.

Hence, $x$ is related to $z$ by

$(13)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=(2+-sqrt(4-z^4-2(1+2muh^2)z^2+8muhz))/(2z)$,

provided $z>0$ and

$(14)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4>=z^4+2(1+2muh^2)z^2-8muhz))/(2z)$.

Substituting

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ zx^2=2x-1/4[z^3+2(1+2muh^2)z-8muh]$

in $(8)$, we obtain

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y_1=1/z[1-(z^3+2z)/(8(muh+x))]$.

Thus

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y_2-y_1=(sqrt(1+z^2)-1)/z[1+(z(sqrt(1+z^2)-1))/(8(muh+x))]$.

Finally, substituting for $x$ from $(11)$, we end up considering the simple unconstrained scalar optimization problem

[size=85]$(15) max_z (sqrt(1+z^2)-1)/z[1+(z^2(sqrt(1+z^2)-1))/(4{2(1+muhz)+-sqrt(4-z^4-2(1+2muh^2)z^2+8muhz)})]$[/size].

Also recall that $z$ lies in the range $(14)$ and the optimal $z$ must satisfy $(12)$, namely

$(16)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ z^2<=1+-1/2sqrt(4-z^4-2(1+2muh^2)z^2+8muhz)<=hz-z^2$.

Finally, the optimal fluid level $x$ is found by substituting the optimal $z$ in $(13)$.

The problem parameters are $mu=0.1132$ and $h=3.4375$.
For these parameters the quartic equation associated with $(14)$ has a unique real positive solution $\barz=0.914$ and therefore $(14)$ yelds the range $0 Furthermore, the maximum in $(15)$ is then attained at the boundary $\barz$ of the range, i.e., $z^*=\barz=0.914$ and thus $x^*=1/(\barz)=1.094$.
Finally, note that $(12)$ is then satisfied since $0.914<1.094<2.523$.

The insight gained above affords us the possibility of ascertaining the range of validity (in parameter space) of our solution.
In particular, if $mu$ is sufficiently small, then $\barz>1, x^*=1/(\barz)<1$ and the left-hand part of $(12)$ is violated.
Hence, the smallest possible value of the parameter $mu$ for our analysis to be valid is that which makes $\barz=1$ the unique real, positive solution of the quartic solution

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ z^4+2(1+2muh^2)z^2-8muhz-4=0$.

In other words $mu>=\bar(mu)=(1/4h(h-2))$.
Furthermore, it is required that $h>\barh=2$.
Hence, the parameter space $(mu, h)$ is partitioned by the curve $\bar(mu)(h)=(1/4h(h-2)), h>\barh=2$.

Cordialmente, Alex

P.S.: per quel poco che capisco ( ), sellacollesella ha centrato l'obiettivo

[moccidentale]

.

[axpgn]

"sellacollesella":Ho letto sommariamente e mi pare che perlomeno la "costruzione" della funzione obiettivo sia identica.

Per quel che conta il mio parere, mi sembra proprio così
E comunque, hai fatto un gran lavoro

[ot]La soluzione non è di Singmaster (il proponente) ma di due sudafricani, Orlowski e Pachter che lavorano (o lavoravano, dato che il quesito ha qualche decennio ) per un ente analogo al nostro CNR.
L'ho tratto da un libro (600 pagine ) che raccoglie problemi di matematica applicata, pubblicati su una rivista del settore, rivisti, estesi e commentati.
È pieno di equazioni differenziali, integrali, funzioni speciali, ecc. ( ), io mi sono limitato ad annotarmene quattro o cinque che mi sembravano carini .
Ce ne sono alcuni che potrebbero interessare RenzoDF [/ot]


Cordialmente, Alex

[RenzoDF]

[ot]

"axpgn":... Ce ne sono alcuni che potrebbero interessare RenzoDF

[/ot]

[ot]Di sicuro mi interesserebbero, e penso anche di sapere quali possano essere ... da ieri sera. ... comunque puoi sempre postarli sul Forum, poi magari qualche studente in gamba potrebbe risolverli, come ha dimostrato sellacollesella.
Io ovviamente seguirò la sfida. [/ot]

[axpgn]

[ot]Quante volte hai modificato il messaggio precedente che poi hai cancellato? Io sono arrivato a 8
A riguardo di quello che avevi scritto, il fatto è che se li proponi tu, chi risponde? Se li propongo io invece uno che risponde c'è: tu

Se riesco a recuperarne un paio, li posto.
Mi interesserebbe il tuo parere, non tanto per la soluzione o il modo di procedere (non ci capirei nulla ) ma proprio il tuo punto di vista.

P.S.: se però continui a modificare il messaggi però poi non so più come rispondere: hai di nuovo modificato quello precedente [/ot]


Cordialmente, Alex