Una domanda semplice di MQ
salve,
mi trovo con un dubbio che non riesco a capire.
1) Io so che uno stato stazionario in rappresentazione delle coordinate è tale perché semplicemnte $|psi(x,t)|^2=|psi(x)e^(-iE/ht)|^2=|psi(x)|^2$
Inoltre si vede che scrivendo una sovrapposizione di stati stazionari non è detto che si abbia uno stato stazionario, infatti se ho $Psi(x,t)=sum_ic_ipsi_i(x)e^(-iE_i/ht)$ si vede che per fare il modulo quadro avrei $Psi^+Psi$ (con + complesso coniugato) e in generale $psi_n^+(x)psi_m(x)!=0$
(tale "prodotto" è zero se faccio l'integrale su tutto lo spazio x: $int_(-oo)^(+oo)psi_n^+(x)psi_m(x)dx=0$ se m diverso da n)
2) Ma se voglio perndere uno stato generalizzato $|psi(t)>$ non capisco come notare che è stazionario, infatti:
$| |psi(t) >|^2$ come lo considero? di sicuro non può essere $$ perché questo in realtà è l'integrale di cui sopra: $int_(-oo)^(+oo)psi_n^+(x,t)psi_m(x,t)dx$ ed è evidente che non vada bene.
Insomma come si generalizza quanto nel primo punto al secondo?
mi trovo con un dubbio che non riesco a capire.
1) Io so che uno stato stazionario in rappresentazione delle coordinate è tale perché semplicemnte $|psi(x,t)|^2=|psi(x)e^(-iE/ht)|^2=|psi(x)|^2$
Inoltre si vede che scrivendo una sovrapposizione di stati stazionari non è detto che si abbia uno stato stazionario, infatti se ho $Psi(x,t)=sum_ic_ipsi_i(x)e^(-iE_i/ht)$ si vede che per fare il modulo quadro avrei $Psi^+Psi$ (con + complesso coniugato) e in generale $psi_n^+(x)psi_m(x)!=0$
(tale "prodotto" è zero se faccio l'integrale su tutto lo spazio x: $int_(-oo)^(+oo)psi_n^+(x)psi_m(x)dx=0$ se m diverso da n)
2) Ma se voglio perndere uno stato generalizzato $|psi(t)>$ non capisco come notare che è stazionario, infatti:
$| |psi(t) >|^2$ come lo considero? di sicuro non può essere $
Insomma come si generalizza quanto nel primo punto al secondo?
Risposte
L'errore di fondo è che la definizione di stato stazionario, che è uno in cui il valor medio di una qualsiasi osservabile è indipendente dal tempo.
Il fatto che uno stato normalizzato evolve in uno stato normalizzato è invece la conservazione della probabilità e dall'unitarietà dell'operatore di evoluzione temporale - fatto che vale per qualunque stato, non necessariamente stazionario.
Il fatto che uno stato normalizzato evolve in uno stato normalizzato è invece la conservazione della probabilità e dall'unitarietà dell'operatore di evoluzione temporale - fatto che vale per qualunque stato, non necessariamente stazionario.
Sono un po' confuso, scrivere $|psi(x,t)|^2=|psi(x)e^(-iE/ht)|^2=|psi(x)|^2$ non vuol però dire che lo stato normalizzato evolve in uno normalizzato. Qui mostra solo che il modulo quadro è indipendente dal tempo, quindi stazionario.
Il mio professore la dà proprio come definizione alternativa di "stato in cui il valor medio di una qualsiasi osservabile è indipendente dal tempo".
D'altra parte preso uno stato qualunque $Psi(x,t)=sum_ic_ipsi_i(x)e^(-iE_i/ht)$, è evidente che $|Psi(x,t)|^2$ dipenda dal tempo, no?
notare che ho usato psi diverse graficamente, proprio perché sono differenti.
Il mio professore la dà proprio come definizione alternativa di "stato in cui il valor medio di una qualsiasi osservabile è indipendente dal tempo".
D'altra parte preso uno stato qualunque $Psi(x,t)=sum_ic_ipsi_i(x)e^(-iE_i/ht)$, è evidente che $|Psi(x,t)|^2$ dipenda dal tempo, no?
notare che ho usato psi diverse graficamente, proprio perché sono differenti.
$|\langle \psi|\psi\rangle|^2$ è la norma quadra di $\psi$, che è chiaro faccia 1 e non c'entra nulla con la stazionarietà o meno. Uno stato è stazionario se è autostato dell'hamiltoniana, cioè $H|\psi\rangle=E|\psi\rangle$. E' fatto noto di algebra lineare che una combinazione lineare di autovettori con diverso autovalori non è più un autovettore.
Però scusa, qui non sta facendo quello che dicevo nel mio messaggio precedente al tuo?
up 
navigo ancora in mari dubbiosi
Mr.[EDIT]
Vediamo se riesco a dare uno sprono alle risposte. Mi sembra, ragionandoci su in questi giorni, di capire che:
Il metodo $|psi(x,t)|^2=|psi(x)e^(-iE/ht)|^2=|psi(x)|^2$ (A) per capire se è stazionario vada molto bene quando sono in rappresentazione delle coordinate pocihé negli integrali vado proprio a ritrovare $e^(-iE/ht)$ e il suo complesso coniugato $e^(-iE/ht)$ che ovviamente si elidono donando INdipendenza del risultato integrativo dal tempo.
*****
Per il secondo dubio di apertura invece mi accorgo che $|psi(x,t)|^2$ ha senso d'esistere appunto solo nella rappresentazione delle coordinate poiché qui posso parlare di moduli quadri essendo funzioni.
Di contro non ha senso $| |psi(t) >|^2$ come modulo quadro, quindi non ha senso trovare la stazionarietà dello stato struttando la (A), poiché quella scrittura ha SOLO senso nello spazio delle coordinate.
Ho detto cose giuste secondo voi?
navigo ancora in mari dubbiosiMr.[EDIT]
Vediamo se riesco a dare uno sprono alle risposte. Mi sembra, ragionandoci su in questi giorni, di capire che:
Il metodo $|psi(x,t)|^2=|psi(x)e^(-iE/ht)|^2=|psi(x)|^2$ (A) per capire se è stazionario vada molto bene quando sono in rappresentazione delle coordinate pocihé negli integrali vado proprio a ritrovare $e^(-iE/ht)$ e il suo complesso coniugato $e^(-iE/ht)$ che ovviamente si elidono donando INdipendenza del risultato integrativo dal tempo.
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Per il secondo dubio di apertura invece mi accorgo che $|psi(x,t)|^2$ ha senso d'esistere appunto solo nella rappresentazione delle coordinate poiché qui posso parlare di moduli quadri essendo funzioni.
Di contro non ha senso $| |psi(t) >|^2$ come modulo quadro, quindi non ha senso trovare la stazionarietà dello stato struttando la (A), poiché quella scrittura ha SOLO senso nello spazio delle coordinate.
Ho detto cose giuste secondo voi?
"la_stasione":
up
Mr.[EDIT]
Vediamo se riesco a dare uno sprono alle risposte. Mi sembra, ragionandoci su in questi giorni, di capire che:
Il metodo $|psi(x,t)|^2=|psi(x)e^(-iE/ht)|^2=|psi(x)|^2$ (A) per capire se è stazionario vada molto bene quando sono in rappresentazione delle coordinate pocihé negli integrali vado proprio a ritrovare $e^(-iE/ht)$ e il suo complesso coniugato $e^(-iE/ht)$ che ovviamente si elidono donando INdipendenza del risultato integrativo dal tempo.
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Per il secondo dubio di apertura invece mi accorgo che $|psi(x,t)|^2$ ha senso d'esistere appunto solo nella rappresentazione delle coordinate poiché qui posso parlare di moduli quadri essendo funzioni.
Di contro non ha senso $| |psi(t) >|^2$ come modulo quadro, quindi non ha senso trovare la stazionarietà dello stato struttando la (A), poiché quella scrittura ha SOLO senso nello spazio delle coordinate.
Ho detto cose giuste secondo voi?
Qualcuno mi potrebbe dire se ho detto cose esatte
?
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