Una dimostrazione di Relatività Generale

[Silente]

Dal libro General Relativity di Wald, esercizio 4b del capitolo 2...

Supponiamo di avere n campi vettoriali \(\displaystyle Y_{\left(1\right)},\ldots,Y_{\left(n\right)} \) tali che in ogni punto della varietà essi formino una base per lo spazio tangente in quel punto.
Devo dimostrare che:

$$\frac{\partial Y_\mu^{\left(\sigma\right)}}{\partial x^\nu}-\frac{\partial Y_\nu^{\left(\sigma\right)}}{\partial x^\mu}=C_{\alpha\beta}^\sigma Y_\mu^{\left(\alpha\right)}Y_\nu^{\left(\beta\right)}$$


Mio tentativo di dimostrazione...
Siccome i commutatori sono essi stessi dei campi vettoriali, esisterà sempre la possibilità di fare gli sviluppi seguenti:
\(\displaystyle \left[Y_{\left(\alpha\right)},Y_{\left(\beta\right)}\right]=C_{\alpha\beta}^\gamma Y_{\left(\gamma\right)} \).
Inoltre, sono riuscito a dimostrare che le componenti del campo vettoriale commutatore hanno questa forma:
\(\displaystyle \left[Y_{\left(\alpha\right)},Y_{\left(\beta\right)}\right]^\mu=Y_{\left(\alpha\right)}^\nu\frac{\partial Y_{\left(\beta\right)}^\mu}{\partial x^\nu}-Y_{\left(\beta\right)}^\nu\frac{\partial Y_{\left(\alpha\right)}^\mu}{\partial x^\nu} \).

Mettendo insieme le cose, posso scrivere che:
\(\displaystyle \left(Y_{\left(\alpha\right)}^\nu\frac{\partial Y_{\left(\beta\right)}^\mu}{\partial x^\nu}-Y_{\left(\beta\right)}^\nu\frac{\partial Y_{\left(\alpha\right)}^\mu}{\partial x^\nu}\right)\frac{\partial}{\partial x^\mu}=C_{\alpha\beta}^\gamma Y_{\left(\gamma\right)}^\mu\frac{\partial}{\partial x^\mu} \).
Faccio agire ora questo operatore su un vettore duale \(\displaystyle Y^{\left(\sigma\right)} \) della base duale \(\displaystyle Y^{\left(1\right)},\ldots,Y^{\left(n\right)} \):
\(\displaystyle \left(Y_{\left(\alpha\right)}^\nu\frac{\partial Y_{\left(\beta\right)}^\mu}{\partial x^\nu}-Y_{\left(\beta\right)}^\nu\frac{\partial Y_{\left(\alpha\right)}^\mu}{\partial x^\nu}\right)\frac{\partial\left(Y_\rho^{\left(\sigma\right)}dx^\rho\right)}{\partial x^\mu}=C_{\alpha\beta}^\gamma Y_{\left(\gamma\right)}^\mu\frac{\partial\left(Y_\rho^{\left(\sigma\right)}dx^\rho\right)}{\partial x^\mu} \)
\(\displaystyle \left(Y_{\left(\alpha\right)}^\nu\frac{\partial Y_{\left(\beta\right)}^\mu}{\partial x^\nu}-Y_{\left(\beta\right)}^\nu\frac{\partial Y_{\left(\alpha\right)}^\mu}{\partial x^\nu}\right)Y_\mu^{\left(\sigma\right)}=C_{\alpha\beta}^\gamma Y_{\left(\gamma\right)}^\mu Y_\mu^{\left(\sigma\right)} \)
espressione che, siccome:

1) \(\displaystyle Y_\mu^{\left(\sigma\right)}\frac{\partial Y_{\left(\beta\right)}^\mu}{\partial x^\nu}=\frac{\partial\left(Y_\mu^{\left(\sigma\right)}Y_{\left(\beta\right)}^\mu\right)}{\partial x^\nu}-Y_{\left(\beta\right)}^\mu\frac{\partial Y_\mu^{\left(\sigma\right)}}{\partial x^\nu}=0-Y_{\left(\beta\right)}^\mu\frac{\partial Y_\mu^{\left(\sigma\right)}}{\partial x^\nu} \)
2) analogamente \(\displaystyle Y_\mu^{\left(\sigma\right)}\frac{\partial Y_{\left(\alpha\right)}^\mu}{\partial x^\nu}=-Y_{\left(\alpha\right)}^\mu\frac{\partial Y_\mu^{\left(\sigma\right)}}{\partial x^\nu} \)
3) \(\displaystyle Y_{\left(\gamma\right)}^\mu Y_\mu^{\left(\sigma\right)}=\delta_\gamma^\sigma \)

si riscrive come:
\(\displaystyle \frac{\partial Y_\mu^{\left(\sigma\right)}}{\partial x^\nu}\left(Y_{\left(\alpha\right)}^\mu Y_{\left(\beta\right)}^\nu-Y_{\left(\alpha\right)}^\nu Y_{\left(\beta\right)}^\mu\right)=C_{\alpha\beta}^\sigma \).
A questo punto, contraggo su \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle \beta \) e arrivo a:
\(\displaystyle \frac{\partial Y_\mu^{\left(\sigma\right)}}{\partial x^\nu}\left(Y_{\left(\alpha\right)}^\mu Y_\gamma^{\left(\alpha\right)}Y_{\left(\beta\right)}^\nu Y_\rho^{\left(\beta\right)}-Y_{\left(\alpha\right)}^\nu Y_\gamma^{\left(\alpha\right)}Y_{\left(\beta\right)}^\mu Y_\rho^{\left(\beta\right)}\right)=C_{\alpha\beta}^\sigma Y_\gamma^{\left(\alpha\right)}Y_\rho^{\left(\beta\right)} \)

Per concludere mi mancherebbe da far vedere (ad esempio) che \(\displaystyle Y_{\left(\alpha\right)}^\mu Y_\gamma^{\left(\alpha\right)}=\delta_\gamma^\mu \), ma non vedo come
Dalla dualità riesco solo a dedurre in generale questo:
\(\displaystyle Y^{\left(\alpha\right)}Y_{\left(\beta\right)}=\delta_\beta^\alpha \)
\(\displaystyle Y_\mu^{\left(\alpha\right)}Y_{\left(\beta\right)}^\nu dx^\mu\frac{\partial}{\partial x^\nu}=\delta_\beta^\alpha \)
\(\displaystyle Y_\mu^{\left(\alpha\right)}Y_{\left(\beta\right)}^\mu=\delta_\beta^\alpha \)
cosa che ho utilizzato nei passaggi sopra, che però mi sembra una cosa diversa da ciò che serve nell'ultimo passaggio per concludere

[marco2132k]

Ma cos'è \( C_{\alpha\beta}^\sigma \)?

[megas_archon]

Ad occhio, le costanti di struttura dell'algebra di Lie de... ovunque sto conto stia avvenendo, una varietà lorentziana?

[Silente]

I vari \( C_{\alpha\beta}^\gamma \) sono i coefficienti dello sviluppo \( \displaystyle \left[Y_{\left(\alpha\right)},Y_{\left(\beta\right)}\right]=C_{\alpha\beta}^\gamma Y_{\left(\gamma\right)} \). Non hanno per il momento significato più profondo per me, il libro me li ha introdotti in un esercizio precedente facendomi semplicemente ricavare un'equazione che essi devono soddisfare (ricavata dall'identità di Jacobi sui commutatori).

[megas_archon]

Sì, sono costanti di struttura.

[Silente]

Non è che vedi anche come superare l'intoppo che mi impedisce di concludere?

[marco2132k]

Ovviamente non ti so aiutare, però voglio aggiungere che una dimostrazione illuminante di questo fatto magari riusciamo a trovarla se capiamo meglio con che oggetti stiamo lavorando.

L'identità
\[
\frac{\partial Y_\mu^{(\gamma)}}{\partial x^\nu} - \frac{\partial Y_\nu^{(\gamma)}}{\partial x^\mu} = \sum_{\alpha,\beta}C_{\alpha\beta}^{(\gamma)}Y_\mu^{(\alpha)}Y_\nu^{(\beta)}
\] si può riscrivere come
\[
\bigr(\mathrm dY^{(\gamma)}\bigr)_{\mu\nu} = \dots
\] e in definitiva come una cosa tipo
\[
\mathrm d Y^{(\gamma)} = \dots
\]

Il punto è che non sto trovando un'interpretazione coordinate-free del secondo membro. Ovviamente vale sempre che
\[
(\mathrm d\omega)(V,W) = \mathcal L_V\langle\omega,W\rangle - \mathcal L_W\langle\omega,V\rangle - \langle\omega, [V, W]\rangle
\] per un'\( 1 \)-forma \( \omega \) e per campi di vettori \( V \) e \( W \), dove \( \mathcal L \) è la derivata di Lie, le parentesi angolari denotano la dualità canonica e \( [V,W] \) è la Lie bracket di \( V \) e \( W \). Ma non sembra questa la relazione che sto cercando e nn o vgl d fare i conti.

[marco2132k]

È la seconda volta che quando clicco su "Anteprima" il forum mi rimanda alla schermata di login, facendomi perdere tutto quello che ho scritto.

Molto fastidioso. (Non chiedetemi di disabilitare ublock perché vi sparo.)

Btw la questione è tutta qui. Hai
\[
\mathrm dY^{(\gamma)} = \sum_{\alpha < \beta} {\color{\red}\mathrm dY^{(\gamma)}(Y_{(\alpha)},Y_{(\beta)})}\,{\color{green}Y^{(\alpha)}\wedge Y^{(\beta)}}
\] dove è
\[
\mathrm dY^{(\gamma)}(Y_{(\alpha)},Y_{(\beta)}) = {\color{red}-C_{\alpha\beta}^\gamma} \, \qquad Y^{(\alpha)}\wedge Y^{(\beta)} = \sum_{\mu < \nu} {\color{green}Y_\mu^{(\alpha)}Y_\nu^{(\beta)}}\, \mathrm dx^\mu\wedge \mathrm dx^\nu
\] per la caratterizzazione della derivata esterna che ti ho riportato ieri sera. Allourss viene
\[
\begin{multline*}
\overbrace{\sum_{\mu < \nu}\left(\frac{\partial Y_\mu^{(\gamma)}}{\partial x^\nu} - \frac{\partial Y_\nu^{(\gamma)}}{\partial x^\mu}\right)\, \mathrm dx^\mu\wedge \mathrm dx^\nu}^{\mathrm d Y^{(\gamma)}} = \sum_{\alpha < \beta}{\color{\red} -C_{\alpha\beta}} \sum_{\mu < \nu} {\color{green}Y_\mu^{(\alpha)}Y_\nu^{(\beta)}}\, \mathrm dx^\mu\wedge \mathrm dx^\nu =\\
\sum_{\mu < \nu}\left(\sum_{\alpha < \beta}{\color{red}-C_{\alpha\beta}^\gamma}{\color{\green}Y_\mu^{(\alpha)}Y_\nu^{(\beta)}}\right)\, \mathrm dx^\mu\wedge \mathrm dx^\nu
\end{multline*}
\] e in definitiva
\[
\frac{\partial Y_\mu^{(\gamma)}}{\partial x^\nu} - \frac{\partial Y_\nu^{(\gamma)}}{\partial x^\mu} = \sum_{\alpha < \beta}{\color{red}-C_{\alpha\beta}^\gamma}{\color{\green}Y_\mu^{(\alpha)}Y_\nu^{(\beta)}}
\] che è (circa[nota]In realtà non so perché a me 1) viene un fattore \( -1 \) davanti a \( C_{\alpha\beta}^\gamma \); 2) viene una somma su \( \alpha < \beta \) mentre a Wald una su tutti gli \( \alpha,\beta \). Cioè, sai che la mia si può scrivere anche come \( \dots = -\frac12 \sum_{\alpha,\beta}{\color{red}C_{\alpha\beta}^\gamma}{\color{\green}Y_\mu^{(\alpha)}Y_\nu^{(\beta)}}\), ma c'è appunto un fattore \( -\frac12 \) di troppo.

Una volta ho chiesto al prof. di GR (corso che l'ultimo semestre ho droppato malamente) se è comune tra i phisitchy usare le convenzioni sui wedge di Kobayashi Nomizu e la risposta è stata tipo "Ah ho capito, vuoi fare come i supergravitisti degli anni '90!". Sono da allora estremamente affascinato da questa piccolissima parte della popolazione.[/nota]) quello che volevi.

Comunque esercizio un sacco carino e il Wald super <3<3<3

[Silente]

Ti ringrazio per le risposte marco2132k, sto avendo difficoltà a seguire la notazione ma ci sto provando.
Al momento più ci provo e più mi sto perdendo su questioni ancora precedenti, di base.
Mi faccio risentire se ci arrivo, grazie di nuovo per la disponibilità.

[axpgn]

"marco2132k":Molto fastidioso. (Non chiedetemi di disabilitare ublock perché vi sparo.)

Scrivi prima il testo da qualche parte e poi lo incolli, così non ti arrabbi più