Un ultimo esercizio sul campo elettrostatico
Vorrei proporvi un ultimo esercizio che non riesco a capire come svolgere correttamente per intero, mi sembrava ormai di aver capito la tecnica, e invece 
Uno strato di spessore d, di dimensioni infinite e uniformemente carico, ha densità di carica volumica $\rho$. Lo strato è perpendicolare all'asse x ed il suo punto medio coincide con l'origine degli assi. Si calcoli il campo elettrico in funzione della distanza x dal piano mediano dello strato. Discutere separatamente il caso per un punto interno e un punto esterno allo strato in questione.
Per il valore esterno di E ho svolto prendendo una superficie di gauss come un parallelepipedo di base quadrata parallelaal piano. Per simmetria e Gauss mi trovo
$2EA=(\rhoAd/2)/\epsilon_0 => E=(\rhod)/(2\epsilon_0)$ con A area della base
E tale risultato dovrebbe esser giusto.
Il problema è per l'interno.Lamia idea era di prendere il campo generato da un disco perpendicolare ad x che ha tale espressione
$E=\sigma/(2\epsilon_0)(1-x/sqrt(R^2+x^2))$ con R il raggio del disco,quindi facendola tendere a infinito avrei:
$E=\sigma/(2\epsilon_0)(1-0)$
Ho pensato di moltiplicare e dividere per $pir^2$ così da ottenermi anumeratore $\sigmapir^2=dq$
e riscrivere $dq=\rho2pirdx$
e con le dovute semplificzioni del caso:
$dE=(\rhodx)/(r\epsilon_0)$
integrando
$E=\int_0^x (\rhodx)/(r\epsilon_0)=(\rhox)/(r\epsilon_0)$ con $x
Ma il risultato corretto è: $(\rhox)/\epsilon_0$
Credo il problema sia che non posso usare tale strategia per via del raggio R->infinito, quindi dividere e moltiplicare per qualcosa con "r" non va bene.
-----
strategia fallimentare 2:
Ho pensato di prendere come volumetto infinitesimo un derto archetto $ds=r*d\theta$ -> $dV=rd\thetadr$ e integrare sui vai estremi con l'integrale avente dr come integrale improprio a infinito, ma il problema è che poi dovrei prendere la componente di E solo su x e mi trovo un coseno che dipende da x, insomma non riesco a mettere tutto in dipendenza della sola r.
Quindi non so come fare
Vi ringrzio per i vostri indispensabili aiuti, dato che non abbiamo mai esercizi svolti
Uno strato di spessore d, di dimensioni infinite e uniformemente carico, ha densità di carica volumica $\rho$. Lo strato è perpendicolare all'asse x ed il suo punto medio coincide con l'origine degli assi. Si calcoli il campo elettrico in funzione della distanza x dal piano mediano dello strato. Discutere separatamente il caso per un punto interno e un punto esterno allo strato in questione.
Per il valore esterno di E ho svolto prendendo una superficie di gauss come un parallelepipedo di base quadrata parallelaal piano. Per simmetria e Gauss mi trovo
$2EA=(\rhoAd/2)/\epsilon_0 => E=(\rhod)/(2\epsilon_0)$ con A area della base
E tale risultato dovrebbe esser giusto.
Il problema è per l'interno.Lamia idea era di prendere il campo generato da un disco perpendicolare ad x che ha tale espressione
$E=\sigma/(2\epsilon_0)(1-x/sqrt(R^2+x^2))$ con R il raggio del disco,quindi facendola tendere a infinito avrei:
$E=\sigma/(2\epsilon_0)(1-0)$
Ho pensato di moltiplicare e dividere per $pir^2$ così da ottenermi anumeratore $\sigmapir^2=dq$
e riscrivere $dq=\rho2pirdx$
e con le dovute semplificzioni del caso:
$dE=(\rhodx)/(r\epsilon_0)$
integrando
$E=\int_0^x (\rhodx)/(r\epsilon_0)=(\rhox)/(r\epsilon_0)$ con $x
Ma il risultato corretto è: $(\rhox)/\epsilon_0$
Credo il problema sia che non posso usare tale strategia per via del raggio R->infinito, quindi dividere e moltiplicare per qualcosa con "r" non va bene.
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strategia fallimentare 2:
Ho pensato di prendere come volumetto infinitesimo un derto archetto $ds=r*d\theta$ -> $dV=rd\thetadr$ e integrare sui vai estremi con l'integrale avente dr come integrale improprio a infinito, ma il problema è che poi dovrei prendere la componente di E solo su x e mi trovo un coseno che dipende da x, insomma non riesco a mettere tutto in dipendenza della sola r.
Quindi non so come fare
Vi ringrzio per i vostri indispensabili aiuti, dato che non abbiamo mai esercizi svolti
Risposte
Il campo esterno, che hai già trovato, produce evidentemente un campo che è lo stesso di un piano (senza spessore) con densità superficiale uguale a quella del nostro strato, schiacciato su un piano, ossia con $sigma = rho*d$
Quindi $E = sigma/(2epsi_0) = (rho*d)/(2epsi_0)$
ll campo interno è chiaramente nullo nel centro, per $x = 0$, coincide con quello già trovato per $x = d/2$, e dipende linearmente dalle cariche che si lascia "dietro", fra 0 e $x$, quindi non può che valere $(rho*x)/(2epsi_0)$
Poi volendo una trattazione più formale, basta prendere delle superfici gaussiane formate da cilindri diretti come x, che si estendono da 0 a $x$ o da $-x$ a $x$ se non vuoi dare per noto che il campo è zero per $x=0$
Quindi $E = sigma/(2epsi_0) = (rho*d)/(2epsi_0)$
ll campo interno è chiaramente nullo nel centro, per $x = 0$, coincide con quello già trovato per $x = d/2$, e dipende linearmente dalle cariche che si lascia "dietro", fra 0 e $x$, quindi non può che valere $(rho*x)/(2epsi_0)$
Poi volendo una trattazione più formale, basta prendere delle superfici gaussiane formate da cilindri diretti come x, che si estendono da 0 a $x$ o da $-x$ a $x$ se non vuoi dare per noto che il campo è zero per $x=0$
Grazie per la risposta mgrau
in realtà la soluzione è senza quel 2 a denominatore, forse non c'è perché in effetti non èd/2 ma x la coordinata.
In sostanza anziché usare una pratica da "ufficio complicazioni affari semplici" mi stai dicendo che potevo fare (usando gauss):
$2EA=(\rhoAx)/\epsilon_0 => E=(\rhox)/(2\epsilon_0)$ con A area della base
Corretto? Non capisco perché nel risultato manchi il 2 però.
PS: ah forse perché è 2x (essendo x lo "spostamento" nel verso delle x solo a destra)?
"mgrau":
quindi non può che valere $(rho*x)/(2epsi_0)$
in realtà la soluzione è senza quel 2 a denominatore, forse non c'è perché in effetti non èd/2 ma x la coordinata.
In sostanza anziché usare una pratica da "ufficio complicazioni affari semplici" mi stai dicendo che potevo fare (usando gauss):
$2EA=(\rhoAx)/\epsilon_0 => E=(\rhox)/(2\epsilon_0)$ con A area della base
Corretto? Non capisco perché nel risultato manchi il 2 però.
PS: ah forse perché è 2x (essendo x lo "spostamento" nel verso delle x solo a destra)?
"dargo":
PS: ah forse perché è 2x (essendo x lo "spostamento" nel verso delle x solo a destra)?
Giusto, errore mio: senza 2
Perfetto, grazie ancora per l'aiuto.
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