Un tubo di Torricelli troppo corto

[dissonance]

Lo strumento con cui Torricelli ha misurato per primo la pressione atmosferica è, se capisco bene, l'antenato di quelle colonnine di mercurio con cui oggi si misura la pressione del sangue. Su Wikipedia:

http://it.wikipedia.org/wiki/Tubo_di_To ... #Risultati

verso la fine della sezione, si commenta la scelta del mercurio dicendo che

La scelta del mercurio non è casuale: questo materiale, infatti, ha anche allo stato liquido una densità notevole, tale da poter eguagliare la pressione atmosferica con una colonna alta, appunto soltanto 76 cm; ripetendo lo stesso esperimento con dell'acqua, per esempio, sarebbe necessario un tubo lungo 10.33 metri.

Non riesco ad immaginarmi, però, cosa succederebbe se il tubo fosse troppo corto. Con riferimento a questo disegno:



se la colonnina contenente il mercurio fosse troppo bassa, meno di \(h_{\mathrm{Hg}}\), come apparirebbe questo fluido all'equilibrio? Mi vengono in mente due possibilità:
[list=1][*:3kj1h45o]La densità del fluido nella colonnina aumenterebbe, in modo tale che il prodotto \(\rho h g\) eguagli sempre \(1\) atmosfera;[/*:m:3kj1h45o]
[*:3kj1h45o]Il livello del fluido in basso salirebbe, fino eventualmente a debordare fuori dalla vaschetta.[/*:m:3kj1h45o][/list:o:3kj1h45o]

Quale delle due è corretta?

[Falco5x]

Temo di non comprendere le tue ipotesi.
A mio modo di vedere se il tubo fosse più corto di 76 cm, semplicemente il mercurio lo riempirebbe completamente, e la pressione dell'atmosfera sulla superficie della vaschetta verrebbe equilibrata dalla somma del peso della colonnina di mercurio + la reazione d'appoggio offerta dalla sommità del tubo chiuso, divisi per la sezione del tubo.
Quando il tubo è più lungo di 76 cm, invece, non serve alcuna reazione d'appoggio perché il peso della sola colonna di mercurio diviso per la sezione del tubo equilibra esattamente la pressione atmosferica senza bisogno di altri aiuti, e allora rimane uno spazio libero.

[dissonance]

Quindi tu dici che la densità del mercurio rimane costante e che la pressione extra è fornita dalla reazione vincolare. Il che mi convince: secondo questa interpretazione, se la pressione sul mercurio libero fosse molto forte, la colonnina finirebbe col rompersi. E questo mi pare altamente plausibile.

Grazie Falco!

[giacor86]

anche perchè aumentare la densità di un liquido di un fattore considerevole (ad esempio raddoppiarla, se la colonna si dimezza) è dura. Soprattutto agendo solo meccanicamente, i liquidi e i solidi sono considerati in prima approssimazione incomprimibili.

[Falco5x]

"dissonance":Quindi tu dici che la densità del mercurio rimane costante e che la pressione extra è fornita dalla reazione vincolare. Il che mi convince: secondo questa interpretazione, se la pressione sul mercurio libero fosse molto forte, la colonnina finirebbe col rompersi.

Attento però: la massima sollecitazione del tubo avviene proprio quando c'è spazio libero tra la sommità e il mercurio, ovvero quando il tubo è più lungo di 76 cm.
Infatti: chiamiamo $P_a$ la pressione atmosferica e chiamiamo $Pm$ la pressione della colonna di mercurio, la quale dipende dalla sua altezza perché è uguale all'altezza della colonna moltiplicata per la densità del mercurio e ancora per g, l'accelerazione di gravità. Quando il tubo ha lunghezza minore di 76 cm, la pressione interna sulla sommità del tubo è $P_a-P_m$, mentre la pressione esterna è $P_a$. Facendo la differenza tra esterna e interna troviamo la pressione netta che sollecita la sommità del tubo, e dal calcolo si vede che questa è proprio uguale a $P_m$, ed è diretta dall'esterno verso l'interno.
Quando il tubo eguaglia o supera la lunghezza di 76 cm, si ha che la pressione della colonna di mercurio eguaglia quella atmosferica, cioè $P_m=P_a$. Allora in questo caso la pressione interna diventa 0 e la differenza di pressione esterna-interna è proprio $P_a$, ovvero la massima possibile.