Un sistema di equazioni

[cla291]

Buongiorno,
sono bloccato con la risoluzione di questo sistema di equazioni, non riesco a capire il perché, ma non riesco a derivare le soluzioni:

$ lambda _1 sin(vartheta /2) =lambda _2 cos(vartheta /2) e^(-iphi $
$ lambda _1 e^(iphi) cos(vartheta /2) =lambda _2 (1-sin(vartheta /2) ) $

Spero mi possiate aiutare.
Grazie del vostro tempo.

[@melia]

Puoi cominciare separando la parte reale da quella immaginaria.

[cla291]

Ok, qualche altro suggerimento?

[cla291]

se conosco l'angolo theta (pi greco) posso ricavare le lambda?

[gugo82]

Quali sono le incognite?
Le $lambda_i$? $theta$? O $phi$?

[cla291]

lambda1 e lambda2

[gugo82]

Beh, il sistema è lineare ed omogeneo in $lambda_1$ e $lambda_2$, quindi o l’unica soluzione è quella nulla $lambda_1=lambda_2=0$ oppure ci sono infinite soluzioni perché le due equazioni sono proporzionali ed una delle due può essere “buttata a mare”.
Per capire in quale caso siamo basta calcolare il determinante $D$ dei coefficienti del sistema messo in forma normale e discutere il sistema al variare dei parametri. Abbiamo:

$D = |(sin(theta/2), -cos(theta/2) e^(-i phi)), (cos(theta/2) e^(i phi), sin(theta/2) - 1)| = sin(theta/2)*(sin(theta/2) - 1) + cos^2(theta/2) = -sin(theta/2) + cos^2(theta/2) + sin^2(theta/2) = 1-sin(theta/2)$

dunque $D=0 <=> theta/2 = pi/2 + 2k pi <=> theta = pi + 4 k pi$ con $k in ZZ$; dalla teoria dei sistemi lineari allora segue:

[*:1me3lz6g] se $theta != (4k +1) pi$ con $k in ZZ$: il sistema è determinato ed, essendo omogeneo, ha unica soluzione $lambda_1=lambda_2=0$;

[/*:m:1me3lz6g]
[*:1me3lz6g] se $theta = (4k + 1) pi$ con $k in ZZ $: il sistema è indeterminato e, sostituendo il valore di $theta$ nel sistema si trova che la prima equazione è:

$lambda_1 sin(pi/2 + 2k pi) = lambda_2 cos(pi/2 + 2k pi) e^(-i phi) <=> lambda_1 = 0$,

mentre la seconda equazione diventa l’identità $0=0$, quindi le soluzioni sono del tipo $lambda_1=0$ e $lambda_2=t$ con $t in RR$ (o $in CC$, a seconda di dove vuoi prendere i valori per $lambda_2$) parametro.[/*:m:1me3lz6g][/list:u:1me3lz6g]

In particolare, osserva che il parametro $phi$ non gioca alcun ruolo nella faccenda.


Tanto per curiosità: da dove viene fuori il sistema? Non sembrano conti che si fanno usualmente alle superiori…

[cla291]

Gentilissimo,

hai ragione! il sistema viene da un un esercizio risolto di meccanica quantistica. Anche io ottenevo per soluzioni zero per entrambe le lambda. Mentre L'esercizio da per soluzioni:

$ lambda _1 =cos(vartheta /2) ; lambda _2 =e^(iphi ) sen(vartheta /2) $

ero convinto di non riuscire ad ottenere le soluzioni di sopra a causa della mia "ruggine" ed essendo un sistema di equazioni credevo che il posto giusto fosse la sezione per la scuola superiore.

A questo punto mi rimane misterioso come si possa ottenere le soluzioni di sopra.

Ti ringrazio del tuo tempo.

[gugo82]

Ma quella non è una soluzione… Basta sostituire nella seconda equazione per vedere che le cose non tornano.

Sei sicuro di aver scritto bene il sistema?

[cla291]

è vero. ho sbagliato nel derivare la seconda equazione. ma con quella corretta non riesco comunque. Ti posto l'esercizio e mi rimetto umilmente alla tua pazienza:

[Studente Anonimo]

Dovrebbe trattarsi di questo esercizio: