Un robot
Un robot spaziale s'avvicina a Marte seguendo una traiettoria
parabolica che sfiora la superficie marziana.Al momento dell'avvicinamento
massimo entrano in funzione i retrorazzi ed il robot abborda
una traiettoria circolare diventando un satellite del pianeta.
Calcolare la variazione della velocita' del robot
al momento della frenata.
Si suppongano noti massa M e raggio R di Marte.
karl
parabolica che sfiora la superficie marziana.Al momento dell'avvicinamento
massimo entrano in funzione i retrorazzi ed il robot abborda
una traiettoria circolare diventando un satellite del pianeta.
Calcolare la variazione della velocita' del robot
al momento della frenata.
Si suppongano noti massa M e raggio R di Marte.
karl
Risposte
Essendo l'orbita parabolica l'energia totale è nulla per cui nel punto di massimo avvicinamento si ha:
$1/2mv_p^2=(GMm)/R$
Cioè:
$v_p=sqrt((2GM)/R)$
La velocità dell'orbita circolare di raggio R si ricava uguagliando la forza gravitazionale alla forza centripeta. Si trova:
$(GMm)/R^2=mv_c^2/R=>v_c=sqrt((GM)/R)$
La variazione della velocità è dunque:
$v_c-v_p=(1-sqrt2)sqrt((GM)/R)$
Un po' più impegnativo:
Determinare il tempo impiegato dal robot per raggiungere la superficie di Marte se inizialmente si trova a distanza d (con d > R).
$1/2mv_p^2=(GMm)/R$
Cioè:
$v_p=sqrt((2GM)/R)$
La velocità dell'orbita circolare di raggio R si ricava uguagliando la forza gravitazionale alla forza centripeta. Si trova:
$(GMm)/R^2=mv_c^2/R=>v_c=sqrt((GM)/R)$
La variazione della velocità è dunque:
$v_c-v_p=(1-sqrt2)sqrt((GM)/R)$
Un po' più impegnativo:
Determinare il tempo impiegato dal robot per raggiungere la superficie di Marte se inizialmente si trova a distanza d (con d > R).
A parte i calcoli dell'integrale (mi pare esca fuori un logaritmo) a me viene:
$T=int_d^R(dr)/sqrt((2GM)/r-L^2/(m^2r^2))$
con L intendo il momento angolare del robot.
Edit: corretto il risultato, prima mancava una radice... naturalmente il logaritmo non c'è più... chi ha voglia di risolvere l'integrale è benvenuto... a me personalmente non piace!
$T=int_d^R(dr)/sqrt((2GM)/r-L^2/(m^2r^2))$
con L intendo il momento angolare del robot.
Edit: corretto il risultato, prima mancava una radice... naturalmente il logaritmo non c'è più... chi ha voglia di risolvere l'integrale è benvenuto... a me personalmente non piace!
"Thomas":
A parte i calcoli dell'integrale (mi pare esca fuori un logaritmo) a me viene:
$T=int_d^R(dr)/sqrt((2GM)/r-L^2/(m^2r^2))$
con L intendo il momento angolare del robot.
Edit: corretto il risultato, prima mancava una radice... naturalmente il logaritmo non c'è più... chi ha voglia di risolvere l'integrale è benvenuto... a me personalmente non piace!
Il risultato è corretto. Essendo $L=msqrt(2GMR)$ l'integrale diventa:
$t=1/sqrt(2GM) int_d^R r/sqrt(r-R)dr$
Risolvendolo si trova:
$t=sqrt2/3(d+2R)sqrt((d-R)/(GM))$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo