Un ragionamento errato sulla traiettoria di un corpo orbitan

[dissonance]

...te. (Il titolo era troppo lungo. )

Allora, scusate un attimo, io qui ci divento scemo. Stavo leggendo Fisica 1 di Halliday-Resnick-Krane, 5a edizione, capitolo sulla gravitazione. C'è un problema svolto (14.10 pag. 329), vi faccio vedere il disegno:


Ci sono questi due satelliti \(A, B\) sulla stessa orbita attorno alla Terra. \(B\) vuole sorpassare \(A\) facendo la manovra che vedete nel disegno. Ora il libro dice che per fare questo \(B\) deve rallentare, ovvero deve accendere i razzi posti sul muso in modo da fare scendere la propria velocità angolare: facendo così infatti diminuisce l'energia cinetica e si viene a posizionare su un'orbita più vicina alla Terra.

Tutto giustissimo e ne sono convinto. Ma non riesco a capire cosa ci sia di sbagliato nel seguente ragionamento che dimostrerebbe il contrario di quanto scritto sopra.

Per la terza legge di Keplero il quadrato del periodo di rivoluzione di \(B\) è proporzionale al cubo del raggio \(R_T + h\) della propria orbita. Siccome \(T=2\pi/ \omega\), aumentando la velocità angolare il periodo diminuisce e con esso anche il raggio dell'orbita. Quindi, per compiere la manovra raffigurata nel disegno, \(B\) deve accendere i razzi posteriori e aumentare la velocità angolare.[/list:u:ajs4to59]

Che ne dite? Grazie!

[texas971]

Hmmm... allora. Se il razzo fosse obbligato a mantenere una traiettoria circolare intorno alla terra tutto quello che hai scritto sarebbe vero. Infatti aumentiamo così il modulo della velocità del razzo e, come dici, il periodo diminuisce.
Il razzo però non è obbligato a percorrere una circonferenza, bensì un'ellisse. Morale della favola: $\omega$ non è una costante del moto, anzi cambia poichè nel punto in cui il razzo è più vicino alla terra (perielio, mi pare ) il modulo della sua velocità è, per la conservazione dell'energia, maggiore della velocità che aveva appena dopo il nostro impulso, e inoltre la distanza dalla terra è diminuita: due motivi per pensare che $\omega$ sia aumentata sennò dico che il momento angolare si conserva perchè c'è un campo di forze centrali (non sono sicuro che si dica così , quella espressione potrebbe non significare nulla in questo contesto) e quindi la velocità angolare aumenta. In definitiva: non puoi usare quindi quella formula. Potrebbe andare?

[piero_1]

Come texas97, credo anch'io che il baco del tuo ragionamento stia nella formula del perioodo che hai utilizzato. Il periodo di un corpo orbitante attorno alla terra non è quello che indichi tu, ma questo:
\[\displaystyle T = 2\pi \sqrt {\frac{{{\rm semiasse}^{\rm 3} }}{{{\rm G} \cdot {\rm M}_{{\rm Terra}} }}} \]
da qui si vede che per diminuire il periodo occorre diminuire il semiasse dell'orbita (ellittica o circolare che sia).

[Faussone]

"dissonance":..

[...]
Che ne dite? Grazie!

La formula a cui ti riferisci è ovviamente corretta essendo la terza legge di Keplero, tra l'altro piero_ conferma proprio quella formula quantitativamente, quindi il baco del ragionamento non sta nella formula in se, ma nel modo di interpretarla.

Dimentichiamoci un attimo di Keplero e guardiamo solo la legge di gravitazione universale (se devo dirti la verità io sono allergico alle leggi di Keplero, perché soprattutto la terza non me la ricordo mai, ma non mi sforzo più di tanto perché dalla legge di gravitazione universale si ricava tutto).
Considera un satellite in orbita circolare intorno alla Terra per semplicità. Il satellite si mantiene su quella orbita stabile perché la forza centripeta per tenerlo sulla traiettoria circolare è fornita proprio dalla attrazione gravitazionale, o se preferisci la forza centrifuga è bilanciata dalla attrazione gravitazionale (nel sistema di riferimento solidale col satellite). Ora se accendiamo i razzi per diminuire la velocità del satellite questo equilibrio non c'è più e la forza di attrazione gravitazionale diventa maggiore della forza centripeta necessaria, il satellite quindi è attratto verso la Terra e essendo attratto viene accelerato. Terminata la decelerazione dovuta ai motori puoi applicare la terza legge di Keplero (dico Keplero perché sennò occorre fare qualche calcolo in più per ricavare il periodo come espresso da piero_) e vedere che il satellite avrà periodo minore perché si troverà ad un orbita a semiasse maggiore più piccolo (in generale non sarà più un orbita circolare), l'errore principale che commettevi era proprio voler applicare Keplero a un satellite non ancore in orbita stabile. E' possibile anche calcolare come sarà tale orbita nota la velocità tangenziale una volta terminata la decelerazione dovuta ai motori,in particolare se si può trascurare il tratto di orbita percorso quando decelera (come nel disegno postato), decelerazione cioè quasi istantanea, sarà un ellisse con apogeo pari al raggio della precedente orbita circolare.
Se viceversa i motori del satellite lo accelerano, il satellite tenderà ad allontanarsi dalla Terra per gli stessi motivi di prima, la forza gravitazionale tenderà però a decelerarlo e alla fine si troverà su un orbita a distanza maggiore e a periodo maggiore.

[dissonance]

Vi ringrazio ragazzi, ho capito. Infatti anche facendosi uno schemino delle forze si capisce che, accendendo i razzi in modo impulsivo, il satellite si pone su una orbita ellittica. Evidentemente la variazione di momento angolare prodotta dai razzi altera l'eccentricità dell'orbita, fatto che io avevo trascurato completamente. E' chiaro.

[OT]
@Faussone: Bella la citazione di Cavour! Una volta tanto, una citazione sicuramente autentica.